完备空间
完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间:空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
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[编辑] 例子
- 有理数空间不是完备的,因为的有限位小数表示是一个柯西序列,但是其极限不在有理数空间内。
- 实数空间是完备的
- 开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。
- 令S为任一集合,SN为S中的所有序列,定义SN上序列(xn)和(yn)的距离为1/N,其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。
[编辑] 直观理解
直观上讲,一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”,两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点,不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲,一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中:完备空间的闭子集是完备的。