依據劉維爾定理,定義在整個複平面上的有界解析函數必為常數。此結論對實解析函數不成立,例如:
此外,若一個複解析函數在一個以 x0 為中心的開圓盤內有定義,則在 x0 的冪級數展式在該開圓盤內收斂。對實解析函數則不然。
解析函数
在數學中,解析函數是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數,兩者有類似之處,同時也有重要的差異。此外在超度量域上也可以定義解析函數,這套想法在當代數論與算術代數幾何中有重要應用。
解析函數集有時也寫作 Cω。
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[编辑] 定義
形式地說,一個定義於實數線內開集 上的函數 被稱作(實)解析函數,若對任何 都存在 x0 在 D 中的開鄰域,使得 f 在其內表為下述收斂冪級數:
其中係數 ai 皆為實數。複解析函數的定義類此,僅須將上式的中的實數線換作複平面,並將實數換作複數即可。
實解析函數也可以定義為在定義域 D 內每一點 x0 的泰勒級數皆收斂的光滑函數 f,即:
在 | x − x0 | 夠小時收斂到 f(x)。
[编辑] 例子
以上兩例皆可藉泰勒級數的收歛性證明
[编辑] 基本性質
- 凡解析函數皆屬光滑函數。
- 解析函數的和、積與合成仍是解析函數(惟合成時須留意定義域的問題)。
- 若解析函數在一個開集上非零,則它在該開集上的倒數仍為解析函數。
事實上,假設所論解析函數皆可在原點附近一開集 B(0,r): = {x: | x | < r} 上表為冪級數,則上述運算可以形式地操作:
- (定義域可能會縮小)
其中每個運算結果的係數都可以寫成有限的代數式。
一個多項式的零點數不大於它的次數,解析函數的零點也有類似的限制:若一解析函數在定義域內有極限點,則函數在含該點的連通成份上恆為零。此外,若解析函數在一點的各階導數皆為零,則該函數在含該點的連通成份上為常數函數。
這些性質表明:即使解析函數較多項式來的廣,它仍是一個具相當「剛性」的數學對象。
[编辑] 解析與可微
如上所述,實或複解析函數均在實變數的意義上無窮可微(記作光滑函數,或 )。但是存在光滑卻非解析的函數,典型的例子是
可證明它是光滑的,且在原點的任意開鄰域內都有無窮多個零點,故非解析。
事實上,大部分的實光滑函數均非解析函數:解析函數在光滑函數空間中構成一個真子空間。
複解析函數則不同:凡複解析函數必為全純函數(即複可導,以實變數表示則是滿足柯西-黎曼方程),反之亦然,因此全純函數與解析函數在複分析中是同一類對象。
[编辑] 實解析函數與複解析函數
實解析與複解析函數有些重要差異,一般而言複解析函數更具剛性。
依據劉維爾定理,定義在整個複平面上的有界解析函數必為常數。此結論對實解析函數不成立,例如:
此外,若一個複解析函數在一個以 x0 為中心的開圓盤內有定義,則在 x0 的冪級數展式在該開圓盤內收斂。對實解析函數則不然。
給定實數線上一個區間 I 內的實解析函數 f,則 f 能延拓為複平面上一開集 內的複解析函數。然而定義在整個 上的實解析函數不一定能延拓到整個 ,如前例之 f。
[编辑] 超度量域上的解析函數
冪級數可以定義在任意域上,取帶有絕對值的域則能探討收歛性。實解析函數與複解析函數分別對應到 與 ;在數論上也考慮超度量域,如 p進數域 或 。
由於超度量域滿足強三角不等式 ,遂具備許多獨特性質,例如
∑ | ai |
i |
收斂若且唯若 。雖然超度量分析缺乏實數或複數上的直觀,技術上卻往往簡單得多。
[编辑] 多元解析函數
利用多元冪級數,可將解析函數的定義直接推廣到多變元的情形。它們是局部上形如
s(x): = | ∑ | aI(x − a)I |
I |
的函數,其中 x,a 皆為向量,而 I 代表多重指标。
二維以上的解析函數有一些有趣的新性質,複解析函數的情形尤其特出