拓扑01 拓扑信息只考虑构成几何实体的各几何元素的数目和它们的连接关系。拓扑关系是允许三维实体作弹性运动，即它可以随意地伸张扭曲

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4.2.1 几何建模的基本概念
4.2.2 CAD几何建模方法
线框模型
面模型
实体模型
混合模型




4.2.1 几何建模的基本概念

1）几何信息和拓扑信息

（l）几何信息
几何信息是指物体在空间的形状、尺寸及位置的描述。它们可以用数学表达式来描述，表4．l给出了常见的几何元素的数学表达式。但是数学表达式的几何元素是无界的，在实际应用中需要把数学表达式和边界条件相结合。

（2）拓扑信息

拓扑信息只考虑构成几何实体的各几何元素的数目和它们的连接关系。拓扑关系是允许三维实体作弹性运动，即它可以随意地伸张扭曲，这些运动使得三维实体上的点仍为不同的点，而不允许把不同的点合并成一个点。对于两个形状和大小不一样的实体的拓扑关系恰可能是等价的。典型的例子是立方体和圆柱体，这两个实体的几何信息是不同的，而其拓扑特性是等价的，如图4．2所示。



在几何建模中，基本的几何元素有三种：面（F或f）、边（E或e）和顶点（V或v），这是拓扑信息的术语，若按几何信息术语则称为平面或曲面、直线或曲线和点。这三种基本元素有多种可能的连接关系。以平面立体为例，其顶点、边和面的连接关系共有九种，如图4．3所示。



2）形体的定义

几何实体在计算机内通常采用五个层次的拓扑来定义，如果考虑到壳，则为六层结构。
各层定义：
（l）体　　是实体拓扑结构中的最高层，由封闭表面围成的有效空间。
（2）壳　　由一组连续的面围成，实体的边界称为外壳，如果壳所包围的空间是个空集则为内壳。对于一个体至少有一个壳或多个壳组成。
（3）面　是几何实体表面的一部分，具有方向性。
（4）环　是有序、有向边组成的面的封闭边界，环中各条边不能自交，相邻两边共享一个端点。环有内外之分，面积最大外边界的环为外环，确定面中内孔或凸台边界的环称为内环。因此，对于一个面至少有一个环（即外环）或若干环组成。
（5）边　是实体中两个相邻面的交界，一条边只能有两个相邻面。一条边有两个端点定界，分别称为该边的起点和终点。
（6）顶点　是边的端点，它是面中两条不共线线段的交点。



3）集合运算

集合运算定义如下：
交集：C＝A∩B=B∩A是形体C包含所有A，B共同的点。
并集：C= A∪B=B∪A是形体C包含A，B的所有的点。
差集：C=A－B（但C≠B－A）是形体C包含从A中减去A和B共同点的其余点。这些定义的图形描述如图4．6所示。




经过集合运算生成的形体也应具有边界良好的几何形体，并保持初始形状的维数。图（4．7（b））表示两个三维形体经过交运算后，产生了一个退化的结果，在形体中多了一个悬面。悬面是一个二维形体，在实际的三维形体中是不可能存在悬面的，也就是，集合运算在数学上是正确的，但是有时在几何上是不恰当的。为解决上述问题，则需采用正则化集合运算来实现。正则集合运算与普通集合运算的关系为：

式中∩*、∪*、－*分另为正则交、正则并和正则差，K是封闭的意思，i是内部的意思。图4．7（b）为图4．6（a）两个三维形体的非正则求交结果，出现了悬面。而图4．7（c）为图4．6（a）两个三维形体的正则求交结果。集合运算是几何建模的基本运算方法，用它去构造复杂的形体是多种建模系统所采用的。

4）欧拉检验公式

在几何建模中如何保证建模过程的每一步所产生的中间形体的拓扑关系都是正确的，对于平面立体欧拉提出了一个检验公式：
V-E＋F＝2
V为顶点数，E为边数，F为面数。
为使欧拉公式能适用于任意形体，则欧拉公式扩展为
V-E＋F＝2（S－H）＋ R
式中增添了三个参数：S为不连续的形体数，H为穿过形体的孔洞数，R为实体面上的环数。在此，环数仅计入由凸台或开孔在面上形成的内环数。



如图4． 8（a）在一个长方体上开了一个不通的方孔，则 V=16，E＝24，F＝11，S＝l，H=0，显然R=1，代人欧拉扩展公式　16- 24＋11=2（1-0）＋l，等式两边相等。图4．8（b）在长方体中开有一个通孔，可在圆柱孔上取A、B、C、D四个顶点　V＝12，E=18，F＝8，S＝1，H＝1和R=2，满足欧拉扩展公式的。欧拉公式和欧拉扩展公式不仅可以用以检验几何建模的正确性，还可用欧拉算子构造三维形体。

 

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• 拓扑01 拉普拉斯方程 若u 是调和函数，那么u 在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调 -marketreflections- ♂ (47694 bytes) () 06/26/2011 postreply 07:51:47