微分几何小记上述局域坐标系称为图，它们的**称为流形M的一个图册。而图册的取法不是唯一的，若两个图册不相容（存在两个图间a,b不

微分几何小记

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共有26篇贴子 微分几何小记
sxq深
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1楼

定义了开子集的 set 叫拓扑空间(topological space)。
定义的方法：对任意非空 set X 用适当方式指定其中某些子集的开的。满足：
1.X本身和空集为开子集；
2.有限个开子集之交为开子集；
3.任意个开子集之并为为开子集。
这种指定给 set X 赋予了一种附加结构，称为拓扑结构。
X中所有开子集的组成的全体也组成一个 set，称为 X 的一个拓扑。
易知，指定方式不唯一，不同的指定形成X的不同的拓扑。
指定了拓扑的set X 称为拓扑空间,记作（X,T）。X 称为底集。同一个底集X，不同的指定形成不同的拓扑空间。
离散拓扑
凝聚拓扑
R^n的通常拓扑，所有可表为开球之并的子集组成的拓扑空间，记作（R^n，Tu）
诱导拓扑：（X,T），对X的任一子集A可定义（A,T'）,开子集的指定方式为：A与X的任一开子集之交定义为（A,T'）的开子集。T'称为A的、由T导出的诱导拓扑（induced topology）。（A,T'）称为（X,T）的拓扑子空间(topological subspace).

2010-12-12 19:23 回复

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2楼

拓扑空间（X,T）,（Y,F）,若映射f：X--->Y满足：任一开子集像都有原开子集像。则称该映射是连续的。
拓扑空间（X,T）,（Y,F）若存在连续的一一映射，则称两者互相同胚（homeomorphic to each other）。该映射称为从（X,T）到（Y,F）的同胚映射。注：同胚映射不仅建立了两个拓扑空间的点对点的一一对应，还建立了开子集与开子集之间的一一对应。例：1.物像关系，透镜就是映射工具，成像规律就是该映射。2.傅里叶变换。

2010-12-12 19:45 回复

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3楼

若存在X的开子集O，使得x属于O包含于N包含于X,则N称为点x的一个领域。若N为开子集，则称开领域。把点换为一子集A，则N称为子集A的领域。
定理：若A是任意内点的领域，则A一定是开集（因为A可表为无穷多内点的开领域之并）

2010-12-12 20:06 回复

sxq深
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4楼

闭集的定义：若一个子集的补集是开集，则自身为闭集。
由于闭集的定义建立在开集定义的基础之上，所以闭集的性质可由开集的性质导出：
1.X本身和空集为开子集； ------》 1’X本身和空集为闭子集；
2.有限个开子集之交为开子集； ------》 2’有限个闭子集之交为闭子集；
3.任意个开子集之并为为开子集。------》 3’任意个闭子集之并为为闭子集。
若一个拓扑空间除空集和本身两个之外再无既开又闭得子集，则称该拓扑空间为联通的。

对于任意X的子集A：
所有含A的闭集之交称为A的闭包。 （当且仅当A为闭集，闭包就等于A本身。）
所有含于A的开集之并称为A的内部。（当且仅当A为开集，内部就是A本身。）
A闭包中除去A的内部，剩下的部分称为A的边界。（边界一定是闭集）

2010-12-12 20:34 回复

sxq深
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5楼

开覆盖的定义：若X得一些开子集之并覆盖X的子集A，则这些开子集的之并称为A的一个开覆盖。
若开覆盖的有限个子集也覆盖A，就说该开子集之并又有限子覆盖。
若A得任一开覆盖都有有限子覆盖，则称A是紧致的。

2010-12-12 20:48 回复
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6楼

拓扑空间（X,T），若任意两个元素存在互不相交的开领域，则为T2空间或豪斯多夫空间（Hausdorff space）
定理：对于豪斯多夫空间，若A紧致，则A闭。
若（X,T）紧致，且A闭，则A紧致。

2010-12-12 21:07 回复

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7楼

在同胚映射下保持不变的性质称为拓扑性质（topological property）或拓扑不变性（topological invariance）

2010-12-12 21:44 回复

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8楼

n维微分流形的定义：（M,T），在这种拓扑下，存在满足一定条件的开覆盖，这个条件是：组成开覆盖的每一个子集存在到R^n开区域（通常拓扑下）的同胚映射，而且，如果两个子集有交集的话，那么交集部分在这两种对应的不同映射下映射到的两个实数开区域一般是不重合的，这两个满足实数开区域之间的间接映射必须是光滑的，即坐标变换函数（n元n阶方程，n阶变换矩阵）是光滑的。
开子集到R^n开区域的同胚映射为该开子集建立了一个坐标空间，覆盖范围称为坐标域（局域坐标系）。开覆盖中的子集们建立的局域坐标系一起覆盖了整个流形，为整个流形建立了一种完备的描述（描述语言的完备定义为研究的严谨性奠定了基础）。

2010-12-13 13:16 回复

sxq深
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9楼

上述局域坐标系称为图，它们的**称为流形M的一个图册。而图册的取法不是唯一的，若两个图册不相容（存在两个图间a,b不相容），则称这两个图册把M定义为两个微分结构不同的微分流形。若相容，则为同一个微分流形，若将所有相容的图册合并为一个最大的图册，这样是有好处的（可以进行任意的坐标变换）

2010-12-13 13:39 回复

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10楼

若微分流形M和M'存在一一光滑的映射，则称互相微分同胚。

2010-12-13 13:47 回复

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11楼

理论在一点一点的生长，渗透~

2010-12-13 13:48 回复

sxq深
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12楼

M,N两流形，则做卡式积M*N，则M*N也构成一个流形，维数为两流形的维数之和。

2010-12-13 13:54 回复

sxq深
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13楼

映射f：M----》R，构成M上的标量场。M上某个点的值确定，与图的选择无关，但不同的图所表为的n元函数是不同的（坐标系依赖）

2010-12-13 13:59 回复

sxq深
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14楼

在同一个图下，一个映射f成为一个具体的n元函数，不同的f（n元函数）构成流形M上不同的标量场。


2010-12-16 15:30 回复

sxq深
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15楼

一种矢量的定义：矢量是映射，作用在一个标量场上就定义为是对标量场求方向导数这么一个运算（映射）（具体形式就是借助微分同胚映射M---->R^n，使M上的每一点通过n个有序实数唯一地定位，每一点的标量值得到了一个坐标表示即n元函数，同时默认地对流行上的点按照n维欧几里得空间的布局排了位置，也就有了方向的概念，对该n元函数求方向导数就定义为或者说等价于对流行上的点求方向导数），结果就是一个标量场变成了另一个标量场，这是一个矢量对整个流形作用的结果。



2010-12-16 15:30 回复

sxq深
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16楼

但是不是说M上每一点上的矢量都必须相同，所以，对M上一定点p，求某方向导数（矢量的方向就体现在这里），则该运算称为在p点的矢量。方向导数算子前乘以一个实数也定义为一个与前者平行的矢量，方向导数算子之和也定义为一个矢量，

2010-12-16 15:32 回复

sxq深
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17楼

p点所有矢量的gather以及求和和数乘以及混合运算构成一个线性的矢量空间（因为这些运算是线性的，且满足莱布尼兹律，因此满足线性空间的定义）。可以在此矢量空间中找到一组正交的基矢，这组基矢是n个偏导数。由线性空间的知识可知这样做是有好处的的，一组基矢通过上述定义的运算可以生成整个线性空间。



2010-12-16 15:32 回复

sxq深
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18楼

矢量的一般定义：流形上的连续函数到实数的映射称为矢量，满足线性性和莱布尼兹律。注意，这里没有说矢量的定义是方向导数，但莱布尼兹律导致任何矢量都能由方向导数的定义所生成的矢量空间中的基矢组展开。所以等价的可以说方向导数的定义方式已经概括了所有的定义形式所生成的矢量形式。（不知道理解的对不对，反正书上说所有矢量都可以由由这种基矢展开，而且在参考书中有详细证明，所以可以放心的先接受下来）

如果在流行上的每一点确定了一个矢量，那么就说流行上确定了一个矢量场。

注意，矢量场相同不代表矢量场作用在一个流行上所得的标量场相同。只有矢量场和标量场都相同，所得的结果才是唯一的。所以一个矢量只是个算子，矢量之间的运算就是算子的运算。两个矢量的相等就是分别作用在任意一个标量场上所得的结果相等。


2010-12-16 15:33 回复

sxq深
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19楼

靠，怎么就不能一起发，百度抽什么风，有个毛的不适当言语和广告，妈的

2010-12-16 15:34 回复

sxq深
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20楼

在同一个图下，一个映射f成为一个具体的n元函数，不同的f（n元函数）构成流形M上不同的标量场。

一种矢量的定义：矢量是映射，作用在一个标量场上就定义为是对标量场求方向导数这么一个运算（映射）（具体形式就是借助微分同胚映射M---->R^n，使M上的每一点通过n个有序实数唯一地定位，每一点的标量值得到了一个坐标表示即n元函数，同时默认地对流行上的点按照n维欧几里得空间的布局排了位置，也就有了方向的概念，对该n元函数求方向导数就定义为或者说等价于对流行上的点求方向导数），结果就是一个标量场变成了另一个标量场，这是一个矢量对整个流形作用的结果。

但是不是说M上每一点上的矢量都必须相同，所以，对M上一定点p，求某方向导数（矢量的方向就体现在这里），则该运算称为在p点的矢量。方向导数算子前乘以一个实数也定义为一个与前者平行的矢量，方向导数算子之和也定义为一个矢量，每晚下楼继续---

2010-12-16 15:38 回复

sxq深
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21楼

p点所有矢量的gather以及求和和数乘以及混合运算构成一个线性的矢量空间（因为这些运算是线性的，且满足莱布尼兹律，因此满足线性空间的定义）。可以在此矢量空间中找到一组正交的基矢，这组基矢是n个偏导数。由线性空间的知识可知这样做是有好处的的，一组基矢通过上述定义的运算可以生成整个线性空间。

矢量的一般定义：流形上的连续函数到实数的映射称为矢量，满足线性性和莱布尼兹律。注意，这里没有说矢量的定义是方向导数，但莱布尼兹律导致任何矢量都能由方向导数的定义所生成的矢量空间中的基矢组展开。所以等价的可以说方向导数的定义方式已经概括了所有的定义形式所生成的矢量形式。（不知道理解的对不对，反正书上说所有矢量都可以由由这种基矢展开，而且在参考书中有详细证明，所以可以放心的先接受下来）

如果在流行上的每一点确定了一个矢量，那么就说流行上确定了一个矢量场。

注意，矢量场相同不代表矢量场作用在一个流行上所得的标量场相同。只有矢量场和标量场都相同，所得的结果才是唯一的。所以一个矢量只是个算子，矢量之间的运算就是算子的运算。两个矢量的相等就是分别作用在任意一个标量场上所得的结果相等。


2010-12-16 15:38 回复

sxq深
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22楼

20楼和21楼竟然不能发在同一楼，百度真让人无语。影响阅读..

2010-12-16 15:40 回复

sxq深
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23楼

对偶矢量的定义：一个对偶矢量定义为一个映射，这个映射使矢量空间V映射为一维实数空间R，即把V中每一个成员映射为一个唯一的实数。不同的的对偶矢量一般把矢量映射成的实数是不一样的。但一个很好的定义了的对偶矢量把V映射到R的结构是不同的。
V上全体对偶矢量的gather称为V上的对偶空间。对偶矢量空间中的矢量之间的运算的定义依赖于V中的运算的定义。可以说，对偶矢量空间是由矢量空间和实数空间的映射生成的。
对偶基底的定义是很有用的。具体定义方法是：用V中的n个基底和detla符号（正交性）定义n个对偶基底，那么任何对偶矢量都可以用此基底展开。原因是对偶矢量空间是由矢量空间生成，证明方法就是从对偶矢量与矢量的关系入手，证明过程很自然很简单。

2010-12-16 16:41 回复

sxq深
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24楼

%C9%EE

2010-12-21 13:48 回复

sxq深
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25楼

*%C9%EE#


2010-12-21 13:49 回复

sxq深
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26楼

*#%C9%EE#


2010-12-21 13:49 回复
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