近独立子系系统的统计规律(一) 虽然我们讨论的对象是力学体系,遵守力学规律,但是在研究这个力学体系的宏观性质时,我们发现了一种新

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回答: 物理好图普利高津子理论的基本方程（薛定谔方程）描述波函数的时间演化。它将给定初始时刻t0的波函数Ψ(t0）转换为t时刻的波函由 marketreflections 于 2010-12-10 11:00:45

　收稿日期:2006 - 05 - 15 ;修回日期:2006 - 10 - 14
　基金项目:国家物理学基础科学研究人才培养基地资助项目
　作者简介:彭刚(1982 —) ,男,江苏南通人,主要从事生命信息学研究.
近独立子系系统的统计规律(一) ———二维系统统计规律的计算机模拟
彭　钢,李洪芳,钟万蘅
(复旦大学物理系,上海　200433)
　　摘要:利用刚球模型,根据力学规律,对二维近独立子系系统粒子的运动进行了计算机模拟;模拟中,在不同时刻对系统
中各粒子的能量和速率进行多次测量,并对测量结果进行统计平均,得到了粒子数不同的力学系统中粒子按能量和速率的分
布图;根据所得的分布图形曲线,给出了任意数目的粒子系统的统一的分布函数. 从而完全证明了少量粒子构成的力学系统,
其长时间行为也具有确定的统计规律.
关键词:近独立子系;统计规律;计算机模拟;麦克斯韦分布
中图分类号:O 414. 2 　　　文献标识码:A 　　　文章编号:100020712 (2007) 0520007205
　　对于由N 个粒子构成的系统,由刘维定理及各
态历经假设,可以导出微正则系综的分布函数. 对于
近独立子系构成的系统,由正则系综分布函数可导
出处在平衡态的麦克斯韦分布率. 也就是说,在力学
规律的基础上,加上各态历经假设(或准各态历经假
设) ,就能导出统计规律. 统计物理理论指出:“虽然
我们讨论的对象是力学体系,遵守力学规律,但是在
研究这个力学体系的宏观性质时,我们发现了一种
新的、本质上与力学规律不同的规律性———统计规
律性. ”[1 ,2 ] 这种规律性———所谓统计规律性———正
是以存在大量的构成物体的粒子为其先决条件的.
不论怎样都不可能把它们归结为单纯的力学规律
性. 其特点表现在:当把它们应用到自由度不大的力
学系统上时,它们便失去了任何意义. 由此可见,具
有大量自由度的系统的运动虽然与粒子数不多的系
统的运动遵循同样的力学规律,但是大量自由度的
存在,却导致了性质上全新的规律[ 3 ] .
对于由大量粒子构成的系统处在平衡态时的各
种宏观性质,统计理论给出的结果与实验测量值符
合得很好,这表明统计理论对这种系统是正确的. 但
是长期以来,对统计理论的基本假设还存在很大的
争议;对于少量粒子构成的系统,是否存在统计规律
也一直持否定态度.
近年来,我们利用刚球模型对二维近独立子系系
统中粒子的运动,进行了计算机模拟[4] . 系统中的粒子
按牛顿定律进行碰撞. 如果每隔一定时间,对系统中所
有粒子的速率和能量作一次实时测量,并对多次测量
进行统计平均,则可以发现,当N = 2 ,3 , ⋯时,粒子按
速率和能量的分布不同于麦克斯韦分布;而当系统粒
子数N > 50 时,粒子按速率的分布已经比较接近麦克
斯韦分布律. 由此可见,由刚球模型构成的力学系统,
不论粒子数是多还是少,在动量、能量守恒的条件下,
碰撞后经统计平均,每个粒子都以一定的概率处在某
个速率或能量间隔内. 这表明统计规律是力学规律加
统计平均的结果.
下面给出利用刚球模型对二维近独立子系系统
进行计算机模拟的结果.
1) 2 个粒子的系统
设在面积为A 的矩形或方形容器中,有2 个半
径都为r 的刚性粒子. 现在我们来考察这2 个粒子
在不同初始条件下运动的情况.
① t = 0 时,a 、b 2 个粒子以垂直于壁的速率v0
相向做对心碰撞运动,如图1 所示. 碰撞前后,系统
的动量和能量守恒,则可以发现,这两个粒子会长时
间一直往返碰撞下去.
图1
② t = 0 时,a 、b 2 个粒子以速率v0 从正方形
容器相邻两边的中点与壁成45°角沿线1 运动,如图
第26 卷第5 期大　学　物　理Vol. 26 No. 5
2007 年5 月COLL EGE 　PHYSICS May 　2007
图2
2 所示. 它们相碰后分别返回,再沿线2 和线3 运
动,在线4 处相遇,然后分别沿原路返回,在线1 处
相碰. 我们从计算机模拟中发现,这2 个粒子经几十
小时的碰撞也不会偏离它们的运动路线. 这表明,对
于刚球模型下的运动方程,在计算机模拟中产生的
误差在较长时间内的积累,并不会改变粒子遵循的
运动轨道. 这两种情况还是“准各态历经”中排除的
点,但这些点的集合其测度是零,也就是说,在作统
计平均时,这些点的权重为零,不影响统计平均值.
③ t = 0 时,a 、b 2 个粒子以相同的速率v0 向
任意方向运动,经过一定时间后,它们可能相遇发生
非对心弹性碰撞. 每次碰撞前后,系统的动量和能量
守恒,但每个粒子的速率和能量都发生了改变,而且
碰撞后每个粒子的能量和速率是完全确定的. 我们
每隔一段时间,对每个粒子的运动状态进行一次测
量,并对2 个粒子的能量和速率的多次测量进行统
计平均. 例如,经过103 次测量的统计平均结果如图
3 和图4 中的直方图所示;经过105 次测量的统计
平均结果如图5 和图6 中的直方图所示.
图3 　2 个粒子的系统经103 次测量后
统计平均所得的能量分布
在图3 和图5 中,横坐标为能量ε,纵坐标为
ΔN′
N′Δε
,这里N′为测量次数乘以系统的粒子数N ,对
图4 　2 个粒子的系统经103 次测量后
统计平均所得的速率分布
2 粒子系统N = 2 ;ΔN′为测得的粒子能量处于ε→ε
+Δε范围中的次数. 2ε0 为系统的总能量,ε0 为粒
子的平均平动能,这里为粒子的初始能量. 图4 和图
6 表示粒子按速率的分布. 其中, v0 =
2ε0
m
,为每个
粒子的初速率. 在模拟中我们可以看到,粒子按能量
和速率的分布是随时间变化的,当测量的次数较少
时,例如10 次,则对每10 次测量结果统计平均所得
的分布图都不一样,且相差很大. 随着时间的延长和
　8 大　学　物　理　　第26卷
测量次数的增加,统计平均后所得的分布逐渐趋于
稳定,呈现出明显的统计规律.
2) 3 个粒子的系统
设在面积为A 的矩形容器中有a 、b 及c 3 个半
径均为r 的粒子,开始时以初速率v0 向任意方向
运动,然后发生弹性碰撞. 我们每隔一定时间对它们
的能量和速率进行一次测量,并对105 次的测量数
据进行统计平均,可以得到如图7 、图8 中的直方图
所示的结果.
图7 　3 个粒子的系统经105 次测量后
统计平均所得的能量分布
图8 　3 个粒子的系统经105 次测量后
统计平均所得的速率分布
3) 4 个粒子的系统
当容器中的粒子为4 个时,采用2) 中的方法可
以得到如图9 及图10 所示的结果.
4) 50 个粒子的系统
同样,对于50 个粒子构成的粒子系统, 经过
104 次测量的统计平均结果如图11 及图12 中的直
方图所示.
5) 1 000 个粒子的系统
当系统的粒子增加到1 000 个时,对系统的状
态进行2 ×103 次测量后作统计平均,得到的能量和
速率的分布如图13 、图14 中的直方图所示.
在图3 到图14 中,实线都是根据模拟图形(直
方图) 得到的公式画出的. 图13 、图14 中的黑点是
图9 　4 个粒子的系统经105 次测量后
统计平均所得的能量分布
图10 　4 个粒子的系统经105 次测量后
统计平均所得的速率分布
图11 　50 个粒子的系统经104 次测量后
统计平均所得的能量分布
二维理想气体麦克斯韦能量和速率分布的理论值,
可以看到此时由模拟图形所得到的分布曲线和麦克
斯韦的理论曲线已经非常接近了.
6) 二维近独立子系系统的分布函数
从上面给出的计算机模拟结果中可以看到,在
刚球模型下,对于孤立的二维近独立子系系统,不论
系统粒子数N 是多是少,都存在相应的统计规律,
即系统具有稳定的分布函数,而且分布函数与系统
的粒子数N 有关.
我们对上面模拟所得的图形中的分布曲线作了
深入的分析研究,找到了统一的能量分布函数:
第5 期　　　　彭　钢等:近独立子系系统的统计规律(一) ———二维系统统计规律的计算机模拟　9
图12 　50 个粒子的系统经104 次测量后
统计平均所得的速率分布
图13 　1 000 个粒子的系统经2 ×103 次
测量后统计平均所得的能量分布
图14 　1 000 个粒子系统经2 ×103 次
测量后统计平均所得的速率分布
f N (ε) =
N - 1
Nε0
1 -
ε
Nε0
N - 2
(1)
式中N 为系统中粒子的数目,ε0 为粒子的平均能
量, Nε0 为系统的总能量; f N (ε) 表示在能量ε附近
单位能量间隔内粒子出现的概率,即
f N (ε) =
ΔN′
N′Δε
式中ΔN′为测得的粒子能量处于ε→ε+Δε范围中
的次数, N′= 测量次数×N .
当N = 1 时, 　　　f 1 (ε) =δ(ε- ε0 ) (2)
当N = 2 时, 　　　f 2 (ε) =
1
2ε0
(3)
当N = 3 时, 　　　f 3 (ε) =
2
3ε0
1 -
ε
3ε0
(4)
当N = 4 时, 　　　f 4 (ε) =
3
4ε0
1 -
ε
4ε0
2
(5)
⋯⋯⋯⋯
当N →∞时,
f ∞ (ε) = lim
N →∞
N - 1
Nε0
1 -
ε
Nε0
N - 2
=
　1ε0
lim
N →∞
1 -
ε
Nε0
N
=
1ε
0
e -
ε
ε
0 (6)
本模拟是对孤立体系进行的,对应于微正则系
综. 若系统处于平衡态,则ε0 = 2·
1
2 k T = k T ,所以
f ∞ (ε) =
1
k T
e -
ε
ε
0 (7)
式中k 为玻尔兹曼常量. 上式就是二维孤立理想气
体系统的麦克斯韦分布函数. 由能量分布函数不难
得到速率分布函数:
f N ( v) =
2 ( N - 1)
N v2
0
v 1 - v2
N v2
0
N - 2
(8)
当N →∞,且系统处于平衡态时,有
f ∞ ( v) = m
k T
ve - mv
2
2 k T (9)
图3 至图14 中的实线,就是根据式(1) 和式(8)
画出的,从图中可以看到,它们恰巧是直方图形中的
包络线. 对于N = 1 的情况,虽然没有给出模拟图
形,但很容易想到它的形状,正好为式(2) 所描述.
在各分布函数关系的研究中,我们还得到了一
个积分方程:
∫Nε
0
ε
f N ( Nε0 - ε′,Nε0 ) ·f N- 1 (ε,ε′) dε′= f N (ε, Nε0 )
(10)
将式(1) 所表示的各个分布函数代入上面的方程,都
能很好的满足. 这表明式(1) 是该方程的一个解.
7) 统计规律与粒子数及统计平均测量次数的
关系
从上面的计算机模拟中可以清楚地看到,对于
少量刚性粒子组成的系统,对它们的状态进行多次
测量后作统计平均就能得到稳定的分布规律. 当粒
子数N > 50 时,其分布律与麦氏分布律已经比较接
近. 而且粒子数目越多,测量的次数越多,统计平均
所得到的结果与理论值越接近. 从上述结果还可以
看到,模拟分布曲线的最大值f′( v′p ) 与最概然速率
v′p 随着粒子数的增加而减小,逐渐趋近于麦克斯韦
分布律的相应值f ( vp ) 和vp .
　10 大　学　物　理　　第26卷
下面我们利用σ=
f′( v′p ) - f ( vp )
f ( vp ) 来表示两者
的差异,看看σ与粒子数及测量次数的关系. 图15
及图16 分别表示200 个粒子及500 个粒子构成的
图15 　200 个粒子的系统的σ随统计
平均的测量次数的变化
图16 　500 个粒子的系统的σ随统计
平均的测量次数的变化
系统的σ值随统计平均的测量次的变化关系. 从图
15 及图16 可以看到,随着统计平均的测量次数的
增加,系统的σ值迅速减小,然后变化逐渐趋缓. 对
于粒子数不同的系统,在统计平均的测量次数相同
时,σ的值不相同. 例如,同样对104 次测量结果进
行统计平均,200 个粒子的系统的σ值为0. 183 ,而
500 个粒子的系统的σ的值为0. 038. 而且对于500
个粒子的系统来讲,对几千次测量进行统计平均后
σ值就已在0. 05 左右了,也就是说,500 个粒子的
系统经几千次测量后统计平均所得的结果,其速率
分布就已经十分接近麦克斯韦分布律了.
本文的结果不是偶然的,因为数学上已经证明,
弹性碰撞的球构成的系统是“准各态历经”的系
统[5 ] ,于是对时间的平均等于在相空间中的平均.
致谢:对孙鑫教授给我们工作的关心、指导表示
衷心地感谢.
参考文献:
[1 ] 　王竹溪. 统计物理导论M . 北京:人民教育出版社,
1961 :34236.
[2 ] 　苏汝铿. 统计物理M . 上海:复旦大学出版社, 1990 :
58259.
[3 ] 　朗道,栗弗席兹. 统计物理M . 杨训恺,等译. 北京:
人民教育出版社, 1964 : 122.
[4 ] 　钟万蘅,等. 热学计算机辅助教学软件简介J . 物理
与工程,2004 ,14 (1) :53254.
[5 ] 　Sinai Y. Ergodic hypothesis for a dynamical system of
statistical mechanics J . Sov Math Dokl , 1963 , 4 :
1 818.
The statistical law of the nearly independent particle system ①———Computer
simulation of the statistical law of 2D nearly independent particle system
PENG Gang , L I Hong2fang , ZHONG Wan2heng
(Department of Physics , Fudan University ,Shanghai 200433 ,China)
Abstract :Based on the model of hard sphere , the computer simulation of particles of the two2dimensional
nearly independent particle system is reported in accordance with mechanical laws. In the simulation ,multi2mea2
surement are taken on the energy and speed of particles of the system at different time. The statistical average is
performed over the result s of measurement s. The dist ribution diagrams of particles against their energy and
speed in the mechanical system , with different number of particles , are obtained , and hence the universal dist ri2
bution function is acquired. This completely proves that the long2term behavior of mechanical system that con2
sist s of a few particles has definite statistical law.
Key words :nearly independent particle system ; statistical law ; computer simulation ; Maxwell dist ribution
第5 期　　　　彭　钢等:近独立子系系统的统计规律(一) ———二维系统统计规律的计算机模拟　11