彭桓武：用矩阵描述位置和动量却是海森伯首先根据光谱频率的里茨组合原理想到

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回答: 近独立子系系统的统计规律(一) 虽然我们讨论的对象是力学体系,遵守力学规律,但是在研究这个力学体系的宏观性质时,我们发现了一种新由 marketreflections 于 2010-12-10 13:45:29

第20卷第7期
2oD1年7月
大学物理
COLLEGE PHYSICS
V01．2O No．7
July．2001
爱因斯坦对光子的想象
— — 辐射与分子间能量动量转移的动平衡
彭桓武
(中国科学院理论物理研究所，北京 100080)
擅耍：介绍并赏析爱因斯坦对量子力学理论的发展起过重要推动作用的文章一篇．他和J用带有动量及能量的
光子的想象，引入自发辐射、诱发辐射及吸收3种跃迁概率，验证了分子的麦克斯韦一玻尔兹曼分布与辐射的普朗
克分布之问的动量能量转移的动平衡．结合这一工作前后的物理学背景和发展，本文也着重用明学术思想的发生
和发展过程．
关■ 词：光子；自发辐射；诱发辐射；光吸收；麦克斯韦一玻尔兹曼分布；相对论变换；能量动量转移
中田分类号：O 4—09；O 413 文献标识码：A 文章鳙号：1000．0712(2001)o7-0001-0．5
大家都承认量子论和狭义相对论为本世纪
物理科学有重大影响的发现．现在让我们一起
来欣赏爱因斯坦在量子论早期发展中的一项重
要工作uj，从中体会学术思想的萌生和发展．像
读好文章一样，希望这对提高科研人员的素质
和修养或能有所帮助．
首先简要提供到1916年时有关的物理学
背景 j．先是普朗克第一篇文章(1900．10．19)，
从经典理论的瑞利公式和半经验的维恩公式出
发，用能量涨落相加而凑出普朗克公式．结果与
实验完全符合．普朗克公式给出辐射的能量密
度，按辐射频率的分布如下：
U(y)dr=[(81xhv ／c )／{exp(hv／kT)一1}]dy (1)
在他的第二篇文章(1900．12．24)中，引入崭新
的量子假设给普朗克公式作了证明．即：辐射能
量在吸收或发射时以整个能量量子e=hv进
行，量子的能量正比于辐射的频率，比例常量^
现通称为普朗克常量．证明中将电磁场分解为
大量辐射振子的运动，频率为I，到I，+dv的辐
射振子数密度为8rcv dv／c ．普朗克是将辐射能
量共计为P个量子e分配到N 个辐射振子，用
熵公式S=klogW (热力学概率W =总分配数
= (N+P一1)!／[(N 一1)!P!])和热力学公
式求出辐射振子的平均能量为^I，／{exp(^I，／
kT)一1}，再乘以频率为I，到I，+dv的辐射振
子数密度便得普朗克公式．洛伦兹在1910年指
出，以一维简谐振子为例，求热平衡时其能量的
平均量，只须将经典力学的连续分布的玻氏因
子权重改为离散的量子态的玻氏因子权重便
可．辐射振子的量子态的能量可取为篱：shy，s
=0，1，2，⋯ ，在温度T时，其平均能量即为
Σ seexp(一s~／kT)／{Σ exp(一st／kT)}=
e／{exp(e／kT)一1l，(e=hv) (2)
而相应的经典理论的平均能量为熟知的愚T：
I[(户 +∞ q )／2]唧{一[(户 +∞ q )／2志丁]ldpd口
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — - — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一=
Iexp{一[(户 +∞ q )／2志丁]ldpd口
J
kT (3)
这即导致瑞利公式．上述量子假设意味着对每
个辐射振子的运动，须在经典力学给出的全部
闭合轨道解中，加上量子化条件以挑选其一部
分为可能实现的量子态．象这样用经典力学闭
收一日期：2001一O3一O7
作者■介：彭桓武(1915一)，男，湖北麻城人，中国科学院院士，理论物理所名誉所长．
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2 大学物理第2O卷
合轨道加量子化条件，我们现称之为老量子论
(前期量子论)．量子化条件表现有不同的表述
方式．对一维简谐振子而言是振子的守恒能量
等于能量量子的整数倍．根据卢瑟福1911年的
核原子模型，玻尔1913年用老量子论定氢原子
中作圆周运动的电子的量子态时，用的量子化
条件是守恒的角动量为h的整数倍．这里量子
态间的能量差是不相等的，因而导致光谱谱线
的频率不同，但满足里茨组合原理．玻尔采纳量
子假设e=hv并根据能量守恒原理，导出原子
从高能态E 向低能态E 跃迁，发射光量子的
频率 =( 一E )／h．这也是原子由低能态
E。向高能态E 跃迁的吸收光谱频率．利用量
子态间的跃迁以解释光谱，里茨组合原理自然
得到解释，如频率(E 一E )／h+频率(E 一
E )／h组合为频率(E 一E )／h．我们注意，无
论是原子、分子、还是辐射振子吸收或发射光
(包括辐射)量子产生能量转移时，总能量总是
守恒的．顺便提一下，量子化条件的较一般的表
述为1915年索末菲的 pdq为h 的整数倍，
J
q，P为正则坐标和正则动量．这形式后来为玻
恩改造为矩阵力学中的正则对易关系，但用矩
阵描述位置和动量却是海森伯首先根据光谱频
率的里茨组合原理想到的，虽然他那时还不懂
矩阵这门数学．
爱因斯坦早在1905年便采纳了普朗克的
量子假设，解释了光电效应，1907年利用普朗
克关于简谐振子的平均能量公式，解释了晶体
热容的低温行为．他在1905年还发表了狭义相
对论和布朗运动的文章，而这都对他1916年这
项工作有学术思想上的影响．
爱因斯坦认为，根据狭义相对论，光量子具
有能量同时也应具有单一方向的动量，原子或
分子发射或吸收光量子时，不仅发生能量转移，
还应受到反冲而发生动量转移．他的1916年的
这个理论工作的目的，就是认真地检查，他这个
具有单一方向动量的光量子想象能否成立，在
热平衡时，分子和辐射间的能量，特别是动量转
移是否能维持辐射的普朗克分布，特别是分子
的麦克斯韦分布不变．下面让我们来欣赏这一
工作．请原谅我没去查对原文，仅依我听薛定谔
报告这篇名文时的旧笔记，补些推导．边讲它也
边加深我对它的理解．
爱因斯坦在1916年这工作中首先利用分
子的玻氏分布给普朗克公式一个新的推导．这
点在教科书中常讲到，可参看我书中习题．考虑
一个分子的两个量子态，E 和E 为其能量，
E >E ，即m 态高而态低．因为光与辐射都
是电磁波，不过波的频率范围不同，所以联想玻
尔对氢原子光谱的解释，爱因斯坦想象每个分
子在下列态跃迁时发射或吸收辐射，计有如下
3种：1)自发辐射，在d￡时间中发生的概率为
ds 一 =A dt，发出的辐射频率为 =(E
一E )／h；2)吸收，在d￡时间中发生的概率为
dW 一 =B U( )d￡，与相应频率的辐射能量
密度对频率的分布U( )成正比；3)诱发辐射，
在d￡时间中发生概率为d 一 =B U( )
d￡，也与相应频率的【，( )成正比．爱因斯坦很
可能是根据态m ，间的对称而想象到诱发辐
射的．这是个创新，为若干年后的激光技术奠
基．热平衡时，按玻氏分布，在m 态的分子数
N 占总分子数N 的分数为N ／N = {exp(一
E ／kT)}／Z，分母z 为玻氏因子exp(一E，／
kT)对所有量子态r的求和．这个分数{exp(一
E T)}／z也是一个分子处在态m 的概率．
考虑频率为 =(E 一E )／h的辐射和分子的
m，两个态．这时由于分子吸收辐射而从辐射
向分子转移的能量(E 一E )N dW 一，应与
由于分子的自发辐射和诱发辐射而从分子向辐
射转移的能量(E，．一E )N (d 一 +
ds 一 )相等．这样，加上简单的合理假设，当
T一∞ 时，U( )一∞ ，便得B =B 关系和U
( )=(A ／B )／[exp(hv／kT)一1]．后者与普
朗克公式相同，如果另一关系A √B ：
8nhv。／c。也成立的话．爱因斯坦把上面的前一
个不对称过程，即自发辐射(m一，z)，称做Aus—
strahlung[外辐射]，而把上面后两个具有量子
态m 与，z互换的对称的过程，吸收(，z— m)和
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第7期彭桓武：爱因斯坦对光子的想象—— 辐射与分子间能量动量转移的动平衡 3
诱发辐射(m一 )，合称做Einstrashlung[内辐
射]．注意上述的能量转移平衡，如去掉公共因
子(E 一E )则给出吸收辐射和发射辐射的分
子数平衡；如再除以总分子数N，则可理解为
一个分子在d￡时间间隔内由低能态跃迁到
高能态m 的概率(吸收)与由高能态m 跃迁到
低能态的总概率．(诱发辐射加自发辐射)相
等．我用诱发辐射与蔡建华书用受迫辐射是翻
译之差．
在同一篇文章中爱因斯坦又想象，伴着吸
收和发射时的能量转移也有动量的转移．根据
狭义相对论，在惯性参考系的变换中，时间和空
间，能量和动量，电场和磁场，电磁波(包括光和
辐射)的频率和波矢(包括方向和波长)彼此牵
连混成一体．这正是爱因斯坦提出光量子具有
能量和单一方向动量的学术思想基础．而在布
朗运动中，布朗粒子在短时间内受水分子的多
次碰撞是作为随机过程处理的．仿此，爱因斯坦
更具体地想象，分子之多次吸收和发射具有单
一方向性的光量子，也需作为随机过程处理．这
样他便可以作具体计算，来检查验证热平衡时
辐射的普朗克分布是否恰好维持分子速度的麦
氏分布．这两个分布都有实验证实．这检查验证
结果将对学术思想有影响．
计算分两步．为了不让大家在数学中感到
茫然，我先概括一下爱因斯坦这工作的两步中
每步的目标和作法，然后把两步倒过来讲．
第一步：只对一个分子作计算．目标是，由
于辐射和吸收光量子的动量反冲，将产生一个
与这个分子速度成正比的平均阻力一Rv．爱
因斯坦的作法是，利用狭义相对论的变换关系，
从实验室系变到分子静止系中计算好该分子所
受到反冲动量的总和，再变换回到实验室系．所
有计算都只要求准确到／c一次方项．这样得
出阻力系数R．
第二步：对随机过程作统计处理．目标是，
验证当辐射满足普朗克分布时，这个阻力对分
子速度的麦氏分布的影响恰好与随机过程的影
响统计地抵消．爱因斯坦的作法是，直接在实验
室系中仿效布朗运动对随机过程作统计计算．
这样得出所需要的阻力系数R．
如果这两步计算出的阻力系数相等，便是
验证成功，想象得好．
下面先讲这第二步，即统计计算．热平衡
时，考虑到分子动量的麦氏分布和光量子动量
的分布在实验室系K 中都是各向同性的，我们
可以只检查某任意方向的动量分量，比如轴
方向，但附标则省去不写．取时间间隔At，
在这间隔中，对一个分子而言共发生L次能量
动量转移的随机过程，一半是吸收，一半是发
射，两者次数相等：
L ={exp(一E ／kT)IZ}B U(v)+{exp(一E ／kT)／
z}[B U(v)+A 。】At=
2{exp(一E．／kT)／Z}B—U(v)△f (4)
L
共转移动量分量△ = 了： △ ，△ =(hv／c)
COS Ot，Ot为光量子的方向与z 轴方向的夹角，
在0至7c间随机取值．我们可以将包括阻力和
随机力的朗之万方程积分短时间At，或直接考
虑动量的向分量在时间间隔At的变化，得
时间为零时和时间为At时一个分子的动量分
量分别为My和My—RvAt+Ap．要维持麦氏
分布不变，必须满足如下的均方不变关系：
(My—RvAt+Ap) =(My) (5)
代A．Apf=0，所以Ap=0，又My =kT，注意
代表向分量，并忽略At平方项，上式化为
(Ap) =2RkT(At)．而从随机过程得
—— r—一 L
= (Σ『r Ap )=ΣT =L(hv／c) ／3=
(2]3)(hvlc) {e】【p(一E ]kT)IZ}B—U(v)△f (6)
所以要验证分子的麦一玻分布与辐射的普朗克
分布间动量转移的细致平衡，只需要验证上两
式右侧相等，即要求阻力系数R 为
R=(1／3kT)(hvlc) {e】【p(一E IkT)IZ}B—U(v) (7)
再讲第一步，计算实验室系K 中一段时间
内一个分子所损失的动量的平均值．爱因斯坦
是利用相对论变换来作这个计算的．这里取定
z轴方向为该分子运动的方向，而引入该分子
静止的参考系K ，其z 轴方向即是轴方向．
由于分子热运动速度远小于光速f，我们将
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4 大学物理第20卷
忽略／c的平方项和更高次项，对下面的相对
论变换和演算等式一律理解为只准到／c的
一次方项，而不再作说明．这样有变换关系式
z =z—vt=z一( ，c)( )，ct =ct一( ，c)
z，P =P一( ／c)(1r,／c)，E ／c=lr,／c一( ／c)
声，其中声代表z轴方向的动量分量，而E 代
表能量．将这里的第三个变换关系式用在该分
子上，而考虑上述1)、2)、3)3种过程引起变化
的总和(简称为总变化)．注意到能量平衡即能
量的总变化在K参考系中为零，所以得知该分
子在K参考系中的动量分量的总变化与其在
分子静止的参考系K 中的动量分量的总变化
相等．下面让我们跟随爱因斯坦在K 参考系中
作这个计算，再把结果用K参考系的量表达，
这样得到该分子在K 参考系中的动量分量的
总变化，因而计算出阻力系数R．首先我们给
出关于辐射的变换关系式．考虑一束辐射，其传
播方向在K 系和K 系中分别用(0， )和(0 ，
'‘ )表示，与共同的z轴亦即z 轴的夹角为0
和，而 = ．其能量密度在K 系和K 系中
分别表示为U(y)dusin d d ／4耳、U (y ，0 )
dv sin 0 dO d ／4 ，注意到普朗克公式中U
( )已经包含了对传播方向的积分，所以这里
对方向细分时需要引入分母47r，又请注意在实
验室系K 中普朗克分布的辐射能量密度分布
是各向同性的，在分子静止系K 中的辐射能量
密度分布将由变换决定而将带有非各向同性部
分．对一束辐射的能量密度有如下的变换关系，
即可以从相应传播方向的平面电磁波得出：
U (y ，0 )d sin dO ／U(v)dvsin OdO=
(En+H心)／(E +H ) (8)
这是因为辐射是电磁波，后者用电场强度矢量
E 和磁场强度矢量H 描述．根据电磁场强的变
换关系，近似到v／c一次方有
E =E+ XHIc (9)
JI =JI一口XE／c (10)
E +日 =E +H +2E·(口X u)／c一
2B·(口X E)／c=E +H 一4(E×H)·蕾／c (11)
对于平面电磁波，如所熟知，(E×H)矢量的方
向为波的传播方向，而其大小则与电场强度矢
量E 的大小和磁场强度矢量H 的大小皆相等．
所以对于平面电磁波，有能量密度的简单近似
变换关系：
(E蛆+jf心)／(E +j )=1—2( ／c)c0s o (12)
而这关系对相应方向传播的一束辐射自然也成
立．
u (y ，o )dr sin dO Iu~)aysin OdO=
1—2(口／c)∞s 0 (13)
根据相对论的变换关系，(如所熟知，多普勒效
应和视仰角的变化，皆可从电磁波的相位为洛
伦兹不变量得到)得：
y=y [1+(v／c)c0s o ] (14)
c0s o=(c0s o +v／c)／[1+( ／c)c0s o ]=
c0s o +v／c一(v／c)c062 o (15)
所以上面的比值1—2( ／c)cos 0=[1—2(v／c)
COS 0 ]．再利用
dude~ 0：Jdu dc0s 0 (16)
J=[1+(口／c)c0s 0 ][1—2(v／c)c0s 0 】=
1一(v／c)c0s 0 (17)
和展开式
U (y)：U(y +y ( ／c)c0s o )=
u(y ){l+( ／c)c0s [d k)g u(y )／d k)g y 】}(18)
这样我们便完成了将在实验室系中各向同性的
辐射能量的密度U( )变换到分子静止系K
中，得到其辐射能量的密度U ( ，0 )为
U (y ，0 )=U(y ){1—3(口／c)c0s 0 +
(v／c)c0s ，[d U(v)，／d v，】I (19)
而定出其含有( ／c)一次方的非各向同性项，
这项含有c0S 0 因子．现在我们可以在分子静
止系K 中计算该分子在一段时间△￡内，由于
内辐射(吸收和诱发辐射)和外辐射(自发辐射)
的反冲而获得的z 向的动量分量．吸收具有能
量E 一E 的光量子时，分子由低能态，l跃迁
到高能态m，获得z 向的动量分量[(E 一
E )／c]c0s 0 ．当分子由高能态m 跃迁到低能
态，l时，发射能量为E 一E 的光量子而损失
z 向的动量分量[(E 一E )／c]c0s 0 ．注意到
这段时间△f 内该分子共发生的由低到高和由
高到低能态的跃迁次数分别为：
{[exp(一E。／kT)]／z}B u (y ，o )[ dO rl~ ／
4'【]△t (20)
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第7期彭植武：爱因斯坦对光子的想象— — 辐射与分子间能量动量转移的动平衡 5
{【e．xp(一E，／kT)]／Z}【B 。U’(v ，0’)十A ]·
[sin d dj‘ ／4~]Zxt (21)
将这两式分别乘以[(E，，．一E )／c]COS 0 和一
[(E 一E )／c]o0s 0 ，对8 和拳积分后相加，便
得该分子在△￡时间内获得向动量分量的总
和．注意此处积分时，外辐射部分即含A 的自
发辐射项自相抵消．内辐射部分．在积分中U
(v ，0 )中的各向同性部分也自相抵消．非各向
同性部分带着因子(v／c)cos 0 ，其贡献是v／c
一次方项．
『U ，0 )cos 0"sin 0"d0 ／4'c=
(t，／c){[d log U(v )／d log v ]，3—1}U(v )(22)
利用B =B 关系，和E 一E = hu，得该分
子在△￡时间内获得向动量分量的总和为
(其中l即代表上面的积分的结果)
J
{【e。‘p(一E．[kT)]IZI{1一exp(一h~／kT)I·
B ( ／c)△￡ J． (23)
变换回到实验室K系时，注意到能量变化总和
为零，上式也给出该分子在△￡时间内获得
向动量分量的总和．严格说来，上式中出现的
K 系中的带搬的量。如v 和△￡还需通过变换
以K系中的量表示．但由于积分中已有tI／c一
次因子，与此相乘的其它因子只须准确到vie
的零级已足够．At 可近似为△￡，y 可近似为y．
将结果写为一Rvat，则得
R=(hulc ){[e．xp(一E ／量T)]IZ}{1一exp(～^v／
kT)IB U(v){1一【d tog U(v)／d tog y]13I(24)
从普朗克分布得log U(y)=常数+3log y—log
{exp(hv／kT)一1}，和
1一[d log U(v)／d log v]／3=1—1
(1／3)(h~lkT)l{1一e)【p(一h~／kr)} (25)
得
R：(1／3kT)(h~lc) l[exp(一E ／kT)]IZ}B u(y)
(26)
这与为维持分子速度的麦氏分布所要求的阻力
系数一致．这表明对光量子不但具有能量而且
具有单方向的动量的想象是合理的，对3种过
程的每个跃迁时的能量动量转移都满足守恒律
的想象和动量反冲作为随机过程的生动图象也
是合理的．讲完了他的工作，不能不对他富于想
象和巧于计算感到佩服．
最后提一下后来有关的物理学发展．
1922-1923年康普顿采纳爱因斯坦的具有单
方向的动量的光量子，解释了X光散射时波长
的变化．吴有训帮助康普顿扩大了实验范围，让
人信服．这些实验证实了爱因斯坦的想象．具有
能量并具有单方向的动量的光量子，象个粒子，
现在称为光子．电磁波的光有这样的粒子表现。
所谓波粒二象性在这里已是事实．德布罗意
1923年认为这是普遍现象，反过来想象粒子
(如电子)也应有波的表现，并用波长的整数倍
来解释氢原子中电子玻尔轨道的量子化条件．
后来薛定谔想象电子为波，给出德布罗意波所
满足的波动方程，常称为薛定谔方程，而发现了
波动力学．电子的德布罗意波被1927年藏维孙
和革末以及汤姆孙各自独立进行的衍射实验所
证实．与普朗克公式直接相关的，可以提到
1924年玻色认为辐射为全同的光子组成，用统
计热力学推导出普朗克分布．爱因斯坦认为这
个新推导是个重要贡献，把它推广度玻色一爱
因斯坦统计．在量子力学发现后不久。爱因斯坦
在本文中想象到的3种跃迁和3个系数间的两
个关系式都得到证实．普朗克公式给出能量涨
落的两项分别相当于经典的波与经典的粒子的
各自贡献，这也表明量子理论的根本特点，即正
确地反映了波粒二象性．
参考文献：
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ikaliehe Zeit3ch t，1917，18：121．
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版社。1998．
(下转13页)
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第7期范洪义等：均匀磁场中电子运动轨道的剖析 13
m 轨道的这种分布引．
参考文献：
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[2] Albert Foldman，Arnold H Kahn．Landau Diamagnetism
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niteAngularMomentum in aStaticMagneticField[J]．1n—
ternational Journal of Quantum Chemistry，1996，57(1)：
35 ．
Analysis of orbit track of electron’S m otion in constant m agnetic field
FAN Hong—yi，LIN Jing—xian
(De 巾T蜘t 0f Materials Science and B 咖，University Sdence and Teehndogy 0f China，Hdd，Anhtfi，23OO26，a血1a)
Abstract：To the system of charged particle in constant magnetic field，popular schoolbooks only
offer the system ’s energy band and wave function．This article analyzes the details of motion’s orbit
track，and presents the intuitionistic physical figure．
Key words：orbit track of electron’S motion；Two-mode vacuum state；Landau state
(上接5页)
Einstein’S photon hypOthesis— — the kinetic equilibrium of
energy—m om entum transfer between molecules an d radiation
PENG Huan-wu
(Institute of Theoretical Physics，The Chinese Academy of Science，13~jing，100080，China)
Abs tra ct：Here we appreciate a paper by Einstein which played an impo rtan t role in the early de—
velopment of quan tum theory．He proposed that the energy quantum of Plan ck possesses further a uni—
directional momentum ．Considering three kinds of transitions，i．e．spo ntaneous emission，absorption
and induced emision。he verified the kinetic equilibrium for the energy an d momentum transfer be—
tween molecules with M axwell——Bohzmann distribution an d radiation with Plan ck distribution at the
same temperature．The relevant background and further development of physics are also described to
illustrate the birth and growth of a scientific idea，like that of photon or the wave—particle duality．
Key words：photon；spo ntaneous emision；induced emision；absorp tion；M axwell—Bohzmann
distribution；relativistic transformation；energy—momentum transfer
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瑞利原理[回目录]　　瑞利-瑞利原理瑞利原理用以计算振动系统固有频率的近似值，特别是最小固有频率（即基频）的上界的一个原理，是英国的瑞利于1873年提出的。它是振动理论中的一些极值原理以及计算固有频率和振型的瑞利－里兹法的理论基础。对于一个在稳定平衡位置附近振动的保守系统，假设它以某一满足变形连续条件和位移边界条件的可能位移为振型作简谐振动，它的角频率为[kg]。由于机械能守恒,[kg]系统最大势能[y1]等于最大动能[y1][kg]。[y1]可写成[y1]=[y1],式中[y1]为最大动能系数。最大势能和最大动能系数之比[412-50]称为瑞利商，它是可能位移的泛函。瑞利原理可表述为：当可能位移取某阶固有振型时，瑞利商取驻值，且该值就是对应阶固有角频率的平方。特别地，当可能位移取对应于基频的振型时，瑞利商取最小值，其值就是基频的平方。将瑞利原理应用于固有频率和振型的近似计算，就得到著名的瑞利－里兹法。它将可能位移表达成若干个给定的可能位移的线性组合，从而使瑞利商成为这个线性组合的系数的函数。利用瑞利商的驻值条件将问题化为以这些系数为未知量的代数特征值问题，而特征值就是固有频率近似值的平方，它们可以很容易地求出。其中，最小特征值是基频平方的偏大的近似值。再求出特征矢量就得到振型。作为特殊情形，若可能位移只用一个给定函数近似表达，就得到瑞利法，用它计算基频的上界非常简便有效。若可能位移和振型的差为一级小量，则用瑞利法求出的频率的误差为二级小量。例如，对一根两端固定且长为的均匀弦,可能位移可以取[412-05] ≥0；当[412-01a]。与此对应的瑞利商为： [412-12]，式中[kg2][kg2]为弦中的张力；为单位弦长的质量。由此得到的基频[kg]的近似值为 /2[kg]。若分别取＝1[kg2]2[kg2]和对应于[kg][kg]取极小时的[412-1]，则对应的近似值分别为[412-2]、 [412-3]以及[412-07]。而两端固定的均匀弦的基频的准确值为(1/2)[412-06]。所以基频的上述三个近似值和准确值的相对误差为 0.1、0.007和0.001。随着科学的发展，瑞利商和瑞利原理的应用远远超出了原来的范围，它在许多物理和数学领域的理论分析和数值计算技术中起着重要的作用。