曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式ds2=g11du2+g12dudv+g21dvdu+g22dv2

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曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式ds2=g11du2+g12dudv+g21dvdu+g22dv2, 其中g11，g12，g21，g22均为变量u和v的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定

本征曲率，类似本征频率

宇宙“望远镜”（II-b)

附录三星体研究历程(续II-a)

(网络材料整编）

八.黑洞与黑洞力学

早在1783年英国地质学家与天文学家米歇尔（1724～1793）就预言有“看不见的天体”存在。1796年，法国天文学家和数学家拉普拉斯（Laplace Pierre Simon，Marquis de 1749～1827）也曾独立地做出相同的预言。米歇尔和拉普拉斯预言的根据是牛顿力学与牛顿的光微粒说。他们认为，根据牛顿力学，在一个质量为M、半径为r的天体上，挣脱引力束缚的最低速度，即逃逸速度为V=2gR开根号，若天体的M与r之比足够大，以致使逃逸速度达到光速，这个天体将不再发光。显然，这一假说把光粒子认作服从牛顿力学的粒子。然而，在19世纪，光的波动说占了上风，光波被认为不受引力作用，这一预想就被搁置了起来。

黑洞设想被重新提起，是在爱因斯坦发表了他的广义相对论之后。1916年，爱因斯坦创立了广义相对论，并建立了引力场方程。在同一年，时值第一次世界大战，德国天文学家、数学家史瓦（Schwarzchild，Karl 1873～1916）正随炮兵部队在俄国前线作战，就在战时，他得到了爱因斯坦场方程的一个解，并首先计算了全部质量集中在一点上的恒星附近的引力现象，很可惜，不久他因一种罕见的代谢失调病而去世。史瓦西所假定的引力源是一个球对称分布的中心天体，史瓦西给出了它的内部与外部引力场分布，即时空弯曲特征。根据史瓦西解，当中心天体质量M足够大、半径足够小时，它的时空弯曲很大，以致任何粒子，包括零质量的光粒子都将不能逃逸出来，这个特殊的时空区域即为黑洞，其边界称为视界，视界的半径即为史瓦西半径，它的大小为rg=2GM/c2。

显然，黑洞是爱因斯坦广义相对论，或者更具体地说是史瓦西解的一个直接推论。从表面看，由广义相对论和牛顿力学得出的黑洞半径完全一致，然而二者却有着本质的差别。拉普拉斯等人的黑洞只是一种球状天体，它成为黑洞完全是根据牛顿引力理论得出的，然而在质量很大、半径很小的星体强引力场中，牛顿的引力理论不再适用，强引力场中的时空不再平直，黑洞即为时空弯曲的产物，或者说它就是特殊的时空区域，黑洞的视界仍是这个特殊区域的一个边界。

史瓦西黑洞是一种最简单的黑洞，它的外面被一个光层所包围，只具有质量，不带电荷和磁荷，也不旋转，它的表面就是视界，奇点则在黑洞的中心。从1916年至1918年，赖斯纳（Reiss-ner）和诺兹特隆（Nordrtrm）又用极坐标得到了具有球对称质量、带电荷或磁荷的引力场方程解，它称为赖斯纳-诺兹特隆解，而具有电荷或磁荷的黑洞就称为赖斯纳-诺兹特隆黑洞。这种黑洞的中心有一个奇点，它有两个视界。若所带电荷或磁荷较少时，内视界半径甚小；反之，外视界收缩、内视界扩大；当M=│Q│（自然单位制）时，两视界合二而一；M＜│Q│时，视界消失，只剩下一个裸奇点；在Q=0时，赖斯纳-诺兹特隆黑洞则退化为一个史瓦西黑洞。

关于黑洞研究的重要进展是在广义相对论提出的半个世纪之后。1963年，正在美国德克萨斯大学执教的澳大利亚数学家克尔（R.P.Kerr）用椭球面坐标得到了球对称质量、转动物体的引力场方程解，由这个解立即得出了转动黑洞，后来它又被证明是唯一解。克尔解的得出是20世纪理论物理学的重要进展之一。克尔黑洞的奇异域为一个环，一般有两个视界。当转动较慢时，两个视界包围住奇异环；转动较快时，两个视界彼此靠近，在极端条件下，合二而一，最后也可能消失而露出一个裸奇异环。在克尔解得出的两年之后，即1965年，以纽曼（E.T.New-man）为首的一个研究小组发表了一个更为复杂的爱因斯坦引力场方程解，这是一个静态、轴对称引力场方程度规，它称为克尔-纽曼解。克尔-纽曼黑洞具有质量、电（磁）荷和角动量三种特征，当电量Q=0时，克尔-纽曼黑洞退化为克尔黑洞；当角动量J=0时，它退化为赖斯纳-诺兹特隆黑洞；而当Q=J=0时，还可以还原为最简单的史瓦西黑洞。

从60年代末到70年代初，理论物理学家和天体物理学家们在探索物质处于黑洞状态时，有哪些特征被保留下来。普林斯顿大学的惠勒（Wheeler，John Archibald 1911～）认为，仅有质量、电荷（或磁荷）及角动量三个基本量为黑洞所保留，而在这三个特征中，质量与角动量又是最重要的，因为，在形成黑洞的引力塌缩过程中，星体的转动速度越来越大，而且在观测中发现，星体的质量越大，转动速度也就越大，角动量越大。在黑洞形成过程，引力场极强，更不可忽视的是潮汐力的作用，强大的潮汐力，将气体分子或原子撕碎，裸露的电荷与磁荷成对中和，使黑洞形成后，只具有少量的电荷或磁荷，因此，在多种黑洞之中，克尔黑洞更具有实际意义。在黑洞力学研究中，用于描述黑洞的重要物理量有：黑洞视界面积■、不可约化质量■、视界表面引力■和视界表面转速■。理论的研究结果表明，克尔黑洞的能层中引力非常强，若粒子以某种速度运动，其引力束缚能有可能超过它的静止能与动能之和，这表明粒子的总能量将是负值，这一奇特性质引起了彭罗斯（R.Penrose）等人的注意。60年代以来，彭罗斯等人引入了整体微分几何方法，大大推进了关于黑洞与引力塌缩的研究。60年代末，彭罗斯又推出了“宇宙信息监督假说”，认为奇点只能出现在黑洞之内，由此认为引力塌缩不可能形成裸奇点，裸奇点在现实世界中是被绝禁的，证明这一猜测已成为当今广义相对论的主要课题之一。1969年，彭罗斯又根据克尔黑洞中粒子可能处于负能态的特性，提出了从黑洞中提取能量的设想。假定从无穷远向克尔黑洞能层中移入一个正能粒子，并在能层中使其分为两个碎片，若其中的一个碎片进入负能轨道，另一碎片穿出能层又飞向无穷远时，根据能量守恒原理，飞出碎片的能量将比原注入的整个粒子能量还大，多余的能量即来自黑洞。次年，克利斯托德洛（Christodolou，D.）从理论上证明，用彭罗斯过程提取黑洞能量（质量）有一个上限，即△M=M-Mir，Mir对应不能提取的那部分质量，又称为不可约化质量。根据能量关系，在黑洞总质量M、不可约化质量Mir和角动量J之间具有确定关系，M2=Mir2+J2/(4Mir)2，这一关系表明，黑洞的总能量由两部分组成，第一部分为与不可约化质量对应的所谓“冻结能”，另一部分则是与转动相关的所谓“活动能”，彭罗斯设想的提取能即来自这部分活动能，随着转动能量被提取，克尔黑洞转速逐渐变慢，能层变小，最终将成为一个不能再提取能量的“死黑洞”，此时，黑洞质量 M=Mir。

从60年代末到70年代初，黑洞力学逐渐发展到成熟阶段，突出的代表是英国理论物理学家霍金（Hawking，Stephen William1942～）等人的工作。霍金毕业于牛津大学物理系，后在剑桥大学获得博士学位。在黑洞的研究方面，他成功地把相对论与量子力学结合，提出了关于黑洞的爆炸理论。在1971年他提出，在宇宙大爆炸后，可能形成数以百万计的微小黑洞，它们既遵守相对论规律，又遵守量子力学规律。1974年，霍金又根据量子力学做出黑洞能不断产生物质、放出亚原子粒子，并在最后耗尽能量发生爆炸的预言。霍金做出的这些预言都已成为目前天文学家观测研究的主要目标。霍金患有严重的肌萎缩性脊髓侧索硬化症，行动、言语极为困难，竟能在物理学的前沿领域做出突出贡献，因此倍受人们尊敬。1974年，他当选为英国皇家学会最年轻的会员，1979年担任剑桥大学卢斯卡讲座教授，这些都是牛顿曾担任过的职务。

从60年代末开始，霍金、巴丁（Bardeen，J.H.）与卡特（Carter，B.）等人就着手证明了一系列有关黑洞的经典理论重要定理，其中包括：①黑洞视界面积■不随时间减少，即δ■≥0；②稳态黑洞视界上引力■处处相等；③不能通过有限的步骤把■降为零；④黑洞质量■的变化一定伴随着黑洞的面积■、角动量J而变化，这一关系可以表示为守恒定律的形式，即d■=(■8?)d■+dJ，式中为黑洞自转角速度。这一规律的奇特之处在于，其中第①的面积不减定理正对应于经典热力学第二定律，两个定律的相似性暗示着黑洞很可能是一个热力学系统，它的温度■与黑洞视界表面积■成正比，如果把黑洞的熵定义为与视界面积成正比的有限值，与热力学第二定律做对比，可以得到黑洞的温度与视界表面的引力成正比。由此，上述定理④恰与转动物体的热力学第一定律dE=TdS+dJ式中E、T与S分别表示转动物体的能量、温度与熵值，Ω与J分别为转动物体的角速度与角动量。上述定理②则恰好与热平衡体系的温度处处相等相对应。据此，仿照热力学的四个定律，有所谓的黑洞热力学四定理，分别称②、④、①为黑洞热力学第零、第一、第二定理，而③则根据这种对应关系推出的一个猜测结果，称为黑洞热力学第三定理，它实际为“宇宙监督原理”的一个结果。

如果说60年代是黑洞力学走向成熟时期，70年代则是黑洞热力学与黑洞量子力学崛起并发展的时期。黑洞的奇特热力学性质，首先使惠勒对热力学第二定律提出了质疑，他撰文指出①，如果向黑洞投入物块，外部世界将由于失去物块总熵将减少，但是物块进入黑洞后，却无法判断其熵是增加还是减少，在这种情况下，热力学第二定律是否还成立？这就是所谓的“惠勒妖”。还有人设想，若黑洞的温度■高于周围热辐射气的温度，根据热力学理论，将有热量从黑洞流向热辐射气，但是根据经典黑洞理论，黑洞将从周围介质吸收热量，这又显然发生矛盾。由于上述质疑，不少人认为黑洞四定理与热力学四定律之间仅仅在数学形式上相似，这种相似性并不具有物理上的实在意义。针对这一看法，贝肯斯坦（ Bekenstein，J.D）利用黑洞视界面积■建立一个与之成正比的有限熵概念，将其定义为Sb=（ηk）（■/L2p）其中η为无量纲常量，其下限的估计值为ln2/8，Lp= ==10-33cm，h与G分别为普朗克常量与万有引力常量，c为真空中光速，k为玻尔兹曼常量。在c=h=G=k=1的自然单位制中，该熵值Sb=η■。接着，贝肯斯坦又根据热力学关系■，得到了黑洞的温度为■=■/8πη。在此基础上，贝肯斯坦把熵的概念加以推广，建立了一个广义熵概念，Sg=Sb+Sm，式中Sb和Sm分别为黑洞熵和黑洞以外物质的熵。他认为宇宙间广义熵不随时间减少，这就是广义热力学第二定律。贝肯斯坦列举了诸如谐振子、辐射气、粒子等落入黑洞的情况。通过计算表明，它们落入黑洞后，外部世界熵Sm即使减少，但是随着物质的落入，黑洞质量、面积随之加大，黑洞熵值Sb的增加量将大于普通物质熵的减少量，广义熵依然大于或等于零，但是限于经典黑洞理论，广义热力学第二定律的普适性依然不能做出普遍的证明。

1974年，霍金引入了黑洞引力场中的量子效应，根据量子场论关于真空涨落的机制，他认为，在黑洞视野外附近的真空中，虚正、反粒子对有可能实化为实正、反粒子对，其中一个进入视界的负能层，使黑洞的质量减少，另一个逃逸到无穷远，形成黑洞的“蒸发”，发射出来的粒子谱恰好对应黑体谱。以史瓦西黑洞为例的进一步计算表明，黑洞黑体谱的温度确实与其质量成反比，黑洞蒸发的放能率与黑洞质量的平方成反比，而黑洞的寿命则与黑洞质量的立方成正比。当黑洞极小时，它将具有极高的温度、极大的放能率与极短的寿命，这实际是一次强烈的爆炸，小黑洞在爆炸后转化为高温的星云。

霍金等人的工作不仅表明，黑洞的温度与熵不仅具有实在的意义，而且证明，由于真空的量子涨落与物质的量子隧道效应，黑洞也像一个黑体一样，具有量子化热辐射过程。计入了量子效应以后，黑洞的经典热力学性质发生了明显的变化，例如在热辐射时，黑洞的视界面积在减小，所谓经典的面积不减定理不再成立。然而，当计入贝肯斯坦的广义熵之后，黑洞的热力学性质在广义热力学第二定律的框架之下，依然满足普遍的热力学规律。

九. 星体引力

1.牛顿引力思想

牛顿在引力研究方面的贡献决不仅限于引力定律的建立。在建立引力定律的同时，牛顿提出了引力研究的重要观点与方法。首先，他强调了引力的普适性与万有性。牛顿观测到，太阳系内的行星运动并非严格的椭圆，根据这一事实，牛顿指出，不仅应考虑太阳的引力，还应计入“行星间的彼此作用”，由此，牛顿在1865年《论运动》一文中进一步指明“一切物体必定相互吸引”，这本身就指明了引力作用的普适性与万有性。

牛顿的引力理论还强调了引力的不稳定性与非平衡性。在写给本特利的信中，牛顿提到，引力作用使宇宙间物质趋向于它们的内部，“其中有些物质将聚集成一个物体，而另一些物质则会聚集成另一个物体，以致产生无数个巨大的物体，它们彼此距离很远，散布于整个无限的空间中”，“很可能太阳和（其它）恒星就是这样形成的”。在这里，牛顿揭示了引力及引力不均匀性的重要作用，并提示人们，宇宙并非走向热死，正是由简单走向复杂，由无结构走向有结构、由热平衡演化到非热平衡的原因正是引力作用。

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2.爱因斯坦前引力思想

从牛顿时代至今，人类对引力的定量研究已有三百余年，在这三百年中，引力研究经历了复杂而曲折的过程。牛顿在1686年所建立的引力定律，涉及的仅只是两质点间的作用力。意大利-法国天文学家和数学家拉格朗日(La-grange,JosephLouisComtede1736～1813)曾致力研究牛顿“留下的一个悬而未解的问题”，这就是找到解决两个以上天体系统运动的数学方法。他与其学生法国天文学家、数学家拉普拉斯(Laplace,PierreSimonMarquisde1749～1827)合作，研究了太阳系的天体摄动问题。1773年，拉格朗日引入引力场概念，并建立了引力势函数。 1782年，拉普拉斯建立了自由空间的引力势函数的微分方程，即拉普拉斯方程 2V=0，并于1799～1825年间，撰写成功五大卷《天体力学》巨著。在这部著名的传世之作中，拉普拉斯对经典引力理论做了系统的总结。以后，拉格朗日及拉普拉斯的学生泊松(Poisson,SimeonDenis1781～1840)又继续了他的两位老师的引力研究，于1813年推广了引力场理论，建立了引力场的泊松方程 2V=4πGρ。引入了引力场概念后，引力理论从牛顿引力形式下得到了推广。尽管，引力理论已发展到相当完善的程度，但是它仍存在有几个较为明显的问题。首先，由于不显含时间，这一引力理论仅能描述超距作用，其二，它不具有洛仑兹变换下的协变形式。普适性是物理理论的生命，而协变性就是普适性的重要特征，一个具体的物理规律如果不能纳入协变性的理论框架，它的普适性就值得怀疑。此外，在引力领域内，人们还发现了牛顿理论所不能解释的水星近日点的进动问题，首先发现这一问题的是海王星的发现者、法国天文学家勒威耶(Leverrier，UrbainJeanJoseph1811～1877)。海王星的发现曾使牛顿引力理论的威信达到了它的顶峰。勒威耶先通过计算预言，以后经观测证实了海王星的存在。在牛顿理论发展的全部历史过程中，通过纯粹的计算发现一颗巨大的行星成为当时人们瞩目的一项伟大成就，可以说，它消除了人们对牛顿理论价值的最后一点疑虑。然而，富有戏剧性的是，正是这位对牛顿理论正确性做出重大贡献的勒威耶，却在发现海王星的头一年，即1945年，通过计算发现了水星的反常运动，水星的近日点进动值比牛顿理论的预期值每百年快35″。这一发现被加拿大天文学家纽科姆(Newcomb，Simon1835～1909)观测证实，他得到的这一进动附加值是43″/百年。虽然牛顿引力出现的这一微小偏差，远不足以使当时的人们产生紧迫感，然而“能在如此完美无瑕的牛顿理论中，发现某种瑕疵，这本身就是一项非常了不起的成就”，因为它们有可能成为新引力理论的生长点。

1906年，法国数学家庞加莱(Poincare，JulesHenri1854～1912)在所发表的一篇论文中，以实现洛仑兹群协变的要求为前提，构造了第一个相对论引力理论。他认为洛仑兹变换下的协变性不仅应体现在麦克斯韦电磁场方程的数学结构中，对于一切非电磁起源的力，包括引力，也应具有类似的协变特征。与此同时，庞加莱还指出，引力作用也像电磁作用一样具有光速的传播速度。以后，俄国-德国数学家闵可夫斯基(Minkowski，Hermann 1864～1909)和德国物理学家索末菲(Sommerfeld，Arnold Johannes Wilhelm 1868～1951)又把这一理论表述为四维矢量分析形式。尽管庞加莱、闵可夫斯基等人的引力协变理论尚存在着一些缺陷，但是他们毕竟找到了第一个协变性的引力理论，由这一理论得出的计算结果与观测值相比较，比牛顿理论的精确度要高，它还成功地给出了引力质量与惯性质量的等同性解释，更注意满足了场论的要求。他们的工作，不仅为以后的物理理论几何化研究奠定了基础，而且这一理论的尝试与缺陷都已成为爱因斯坦建立更为成功的引力理论的借鉴。

3.爱因斯坦新引力理论

虽然洛仑兹与庞加莱对洛仑兹变换都有着农厚的兴趣，但是真正能够理解它，并赋予它物理实在意义的却是爱因斯坦。在这方面，他们之间的主要差异就在于对时间，即同时性的理解。只有认识到，时间与空时不可分割，它们统一在同一个变换方式之中，才能真正地把洛仑兹变换当成一种物理实在，而不仅仅是一种数学手段。

1905年，爱因斯坦发表了《论动体的电动力学》论文，“爱因斯坦用他的相对论发动了物理科学中的一次思想革命”，在这篇论文中，爱因斯坦是这样总结的，“狭义相对论导致了空间和时间物理概念的清楚解释，并且由此认识到运动着的量杆和时钟的行为。它在原则上取消了绝对同时性概念，从而也取消了牛顿所理解的那个即时超距作用概念。它指出在处理同光速相比不是小到可忽略的运动时，运动定律必须加以修改。它导致了麦克斯韦电磁方程形式上的澄清，特别是导致了对电场和磁场本质上同一性的解释。它把动量守恒和能量守恒这两条定律统一成一条定律，并且指出了质量与能量的等效性。” 1907年，爱因斯坦又在《关于相对论原理和由此得出的结论》论文中，进一步阐明E=mc2的意义。1906年，相对论的最早支持者普朗克证明，运动方程可以借助引入拉格朗日函数L=-m0c2（1-v2/c2）1/2利用最小作用量原理推出。1907年，担任普朗克助教的德国物理学家劳厄(Laue, Max The odor Felixvon1879～1960)运用相对论运动学导出了菲涅耳曳引系数，并解释了菲索实验。1909年美国物理学家刘易斯(Lewis, G.N.)和托尔曼对具有绝对时空观的牛顿力学进行了改造，引入了相对论动量，使动量守恒与能量守恒定律具有了协变形式，为相对论动力学研究奠定了坚实的基础。在这些成果中，最引人瞩目的、也是对广义相对论的建立最具有影响的是闵可夫斯基四维时空的提出。1908年9月21日在科隆举行的第八届德国自然科学家和医生大会上，闵可夫斯基做了《空间和时间》的著名讲演。闵可夫斯基不仅是爱因斯坦以外，第一个明确了时空观念的变化，同时还利用他的四维时空给予了相对论理论一个非常优美和简洁的数学形式。他的四维理论在简化了相对论理论体系的同时，也成为狭义相对论向广义相对论过渡的连接纽带，自然为广义相对论的建成奠定了基础。

狭义相对论的两个缺陷是明显的，①它依赖于惯性系，并承认它的特殊地位。②在它的理论框架中，不包容引力理论。最初，爱因斯坦试图在狭义相对论的理论框架之中，建立一个新的相对论理论，以包容引力理论。“最简单的作法是当然保留拉普拉斯的引力标量势，并用一个关于时间微分项，以明显的方式来补足泊松方程，使狭义相对论得到满足。”但是，很快地他就察觉到了其中的困难，而且意识到“虽然惯性和能量之间的关系已经如此美妙地从狭义相对论中推导了出来，但是惯性和引力之间的关系却没能得以说明，我猜想，这个关系是不能依靠狭义相对论来说明的。”

4. 物理几何化

在建立相对性引力理论过程中，爱因斯坦、庞加莱及闵科夫斯基最初的尝试都未能成功，其关键都在于与理论相关的时空结构。

在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的研究。在他1912年2月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中，他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为π，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为π，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的，“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从基塞(Geiser)教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到1912年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”

德国数学家高斯(Gauss, Johann Karl Freidrich1777～1855）从大地测量中受到启发，创立了二维曲面的微分几何理论。他在曲面上引入曲线坐标u和v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式

ds2=g11du2+g12dudv+g21dvdu+g22dv2

其中g11，g12，g21，g22均为变量u和v的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定。根据高斯的曲线坐标和度规，不仅可以确定曲面上的测地线（即弯曲空间的“直线”），还可以找到曲面的曲率，并进一步证明曲面所在空间的非欧几里德性质。高斯曲面即为一种弯曲的二维空间结构，然而在其中一点的任意一个小的邻域上，它应近似为平面，在这个局域，欧氏几何仍将成立，并与局域的笛卡尔系相对应。

爱因斯坦把引力空间与高斯曲面理论做了类比思考，他发现，引力所在的空间具有类似高斯曲面的几何性质，特别是当他把闵可夫斯基对狭义相对论所做的解释与引力问题联系起来以后，就更认识到其中的重要含意，这些观念成为了广义相对论理论形成的重要因素。他曾说“没有这个观念，广义相对论恐怕无法成长”，因为闵可夫斯基的四维世界“与高斯曲面理论相结合，向人们展示，存在引力场时，空间是弯曲的，欧氏几何不再成立，这表面引力场中不存在全局性的或大范围的惯性系，但对每一时空点附近的一个小的局域而言，却是闵可夫斯基平直的，欧氏几何仍成立，同时也存在与之对应的‘局域惯性系’。”这实际就是“爱因斯坦升降机”的思想。爱因斯坦明确地指出，“高斯的曲面理论与广义相对论间最重要的接触点就在于度规的性质，这些性质是建立两种理论概念的重要基础。”在1912年3月，爱因斯坦在《静引力场理论》中又指出，“等效原理只能在局域中成立”，这一系列思想表明，爱因斯坦看到了引力与时空几何结构间的联系，这就是引力场影响着时空结构，乃至决定着它的度规的规律。

在广义相对论建立过程中，更具有重要意义的事情就是爱因斯坦与他的老同学格罗斯曼（Crossmann, M. 1878─1936）的合作。在格罗斯曼的帮助下，他学习了黎曼几何、里奇与列维─契维塔的张量分析，这一理论体系是以高斯-黎曼及克利斯托菲尔关于非欧几何流形的研究为基础发展起来的，它很快地被用到了广义相对论的引力理论之中。从1912年8月开始，爱因斯坦与格罗斯曼合作，先后发表了三篇论文，它们标志着广义相对论走向建成的重要阶段。

在1913年，爱因斯坦与格罗斯曼联合发表的重要论文《广义相对论纳要和引力理论》中①，他们提出了引力的度规场理论，用来描述引力场的不再是标量势，而是以10个引力势函数的度规张量，引力与度规的结合，使黎曼几何获得了实在的物理意义，物理研究向着几何化迈进了决定性的一步。

5.引力场方程

在格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦找到了适用于广义相对论理论所需要的数学工具──绝对微分学。但是，在一开始所得到的引力场方程只对线性变换才是协变的，还不具有广义相对性原理所要求的，在任意坐标变换下所具有的协变性，这是因为在当时，爱因斯坦还不太熟悉张量运算，他只保留了守恒定律而放弃了广义协变关系。尽管这一尝试还不算成功，以研究复变函数、特殊函数，并于1902年得到拉普拉斯方程普遍解而成名于世的英国数学家惠特泰克（Whittacker, Edmund Taylor1873-1956)却给予它很高的评价。他认为用十个引力势函数g??确定引力场是一个巨大的创新，因为它意味着抛弃一个由来以久的信条，即引力场能被一个单一的标量势所描述①。在爱因斯坦重新回到普遍协变要求，并对黎曼-克里斯托菲尔曲率张量有了新的认识以后，相对论引力理论的研究有了真正的进展。此时，引力问题与两个里奇张量联系在一起，

Gim=Rim+Sim

　　再补充以协变性要求，爱因斯坦得到了引力场方程(略).在自由空间中，该方程变为其中R??是里奇曲率张量，R为标量曲率，T??为能动张量，∧为宇宙学常数。

广义相对论理论依赖于两个彼此独立的假定。第一个假定是，引力场对物质的影响可以利用弯曲时空度规g??代替平直时空度规——闵可夫斯基度规描述。其实，这就是等效原理的数学表述，这一假定已被厄阜扭秤实验，以及以后的迪克、贝林斯基(Belinsky)等人的实验所证实。第二个假定便包含在爱因斯坦的引力场方程之中。这个方程假定了描述时空弯曲的度规与物质及能量分布间的联系，又因为能动张量还与其它非引力性质的力有关，这一方程又反映了引力场与其它力的关系。

与麦克斯韦电磁场方程不同，引力场方程所包含的十个关于g??变量的方程组都是非线性的，但是，它对任意曲线坐标变换却是不变的。由于缺乏严格解的普遍方法，只能逐个找到特殊情况下的近似解。例如史瓦西所得到的方程解就是静态球对称引力场方程的特殊解，它已经被著名的三大实验所验证。在得到史瓦西解的同时，一个棘手的问题也随之出现，这就是在史瓦西半径上的度规分量奇点的出现。尽管后来爱丁顿与奥本海默分别找到了消除奇点的坐标系，但是直到40多年以后，即1959年，弗伦斯克尔(Fronskel)、芬克尔斯坦(Finkelstein)及克鲁斯克尔(Kruskal)引入了新坐标系，奇点不仅被消除，在r=2M处还能以“咽喉”将两个渐近平直区域连通起来，此时，人们对奇点有了更进一步的认识。