引力场方程是联系描述时空弯曲的量和描述物质分布的量的一个方程

下面顺便说说狭义相对论。学狭义相对论是也有张量的概念，但那
时为什么不分逆变和协变呢？现在可以回答了。狭义相对论存在于没有
引力的平直时空，这种平直空间的线元平方为ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，
这是由光速不变原理决定的。因为狭义相对性原理的限制，这里能采用
的坐标变换只有惯性系之间的变换，即洛伦兹变换。用t,x,y,z表示的洛
伦兹变换下，你若去写张量变换式，会发现有逆变和协变之分，如果引
入了x4，那么洛伦兹变换成了正交矩阵，逆变和谐变的关系变成一样的
了，这正是明可夫斯基空间的优越之处，他把非欧空间变成欧氏空间，
因为欧氏空间的张量没有逆变协变之分，所以物理定律又会化简很多。
这两种方式都是正确的，只是后一种更简单些。可是到了广义相对论中
空间根本就不能化成平直的，所以逆变和谐变不可能一样，所以x4就没
有了引入的意义，所以广义相对论中写x0不写x4.
另外，光速不变导致了ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，等效原理导致
了ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}，这都是在仿射流形上引入度量的过程
，所以，光速不变和等效原理可以看成是一类的原理，甚至可以说等效
原理是光速不变的推广，这是我们能够更深刻的认识时空。

关于等效原理还可以讲一些，不过精华区里有一片讲广义相对论的
实验检验已经说的很好了，这里就不重复了。

关于黎曼几何有很多内容，三言两语说不清楚，总之记住一句话：

甚强等效原理要求广义相对论必须使用黎曼几何。
phy 发表于 2007-5-15 10:47

发信人: fft (热血青蛙), 信区: Science
标 题: 《我说广义相对论》之引力几何化
发信站: BBS 水木清华站 (Thu Jun 28 07:55:59 2001)

《我说广义相对论》之引力几何化

如前所述，时空是一个四维流形，引力是时空弯曲的表现，那么这种时空的弯曲
怎么作用在时空中的物质上呢？答案是测地线。

测地线也是微分几何的术语，是指带有度规张量的曲面上两点间距离取极值的点。
设连接两点的的曲线是Xi(s)两个点对应s1,s2那么曲线长度为
s2 s2 _______________ dX{i}
L=∫ ds=∫√g{;i,k}U{i}U{k} ds U{i}=-------
s1 s1 ds
Ui是四速度。之后用变分法求这个泛函极值，就得到测地线需要满足的方程：
dUi 1
-----+Γ{i;kl}UkUl=0 Γ{i;kl}= ---g{i,j;}(g{k,j},l+g{l,j},k-g{k,l},j)
ds 2
那个伽玛叫第一类克里斯托福符号。",i"表示对Xi求偏导
为了知道这个对不对，只需要对平直时空验证一下，
s2 s2 ___________________
L=∫ ds=∫√t'^2-x'^2-y'^2-z'^2 ds
s1 s1
正好就是狭义相对论中的拉哥朗日量。不过平直时空gik为常数，所以克氏符号为零
，根据上面的方程，只有四速度为常数才行，此时粒子运行轨迹是直线，正好相符。
对非平直时空，克氏符号不为零，测地线就是曲线了。
这个克氏符号起着引力场强的作用。

对于一般的时空，根据度规张量算出克氏符号写出测地线方程，解出来就是自
由质点在此引力场中的运动方程了。所以引力问题完全变成了几何问题。引力的动
力学效应完全由时空的弯曲决定，概括起来就是说：

时空告诉物质如何运动


另一方面，时空不会平白无故弯曲的，是因为有物质的存在，时空才会弯曲，
那么物质是怎么影响时空的弯曲呢？答案是爱因斯坦引力场方程
引力场方程是联系描述时空弯曲的量和描述物质分布的量的一个方程。在牛顿
力学中这样的方程是泊松方程：△φ=4πGρ它左边是引力势的二阶偏微分，右边是
物质密度。广义相对论中相当于引力势的东西是度规张量，所以引力场方程左边应
该是g及偏导数组成的。因为广义相对论的零级近似应当是牛顿理论，所以猜测引力
场方程中关于度规张量的偏微分应该也是线性2阶，至于引力场方程的右边，应当是
物质的能量动量张量。那左边应该等于什么呢？恰好黎曼几何中有一条定理，由度规
张量及其不超过线性二阶的导数组成的量中，只有里奇曲率张量、曲率标量和度规
张量自身。这几乎完全把方程左边的形式给确定了下来：

R{ik}+a*g{ik}*R+b*g{ik}=k*T{ik}

下一个要用的定律是能量和动量的守恒定律，即T{ik}的散度为零，由此可定出a=-1/2

b要用另外的方法：牛顿近似。因为广义相对论必须以牛顿理论为低级近似，考虑系统
的低能近似，可以发现为了使低能近似退化为牛顿理论，那么b应当很小几乎接近零。
这就是著名的宇宙项。这样一来，引力场方程写为：
　　　　　　 1
　　　　　　 R{ik} - ---R*g*{ik}+λg{ik}=k*T{ik}
2
通常情况，会去掉宇宙项，但研究宇宙学时还是有可能用的到的。用牛顿近似的方法还
可以确定k的值
这个方程通常根据右边物质的能动张量反解出R这就知道了时空的弯曲情况了，这
一事实概括成一句话就是：

物质告诉时空如何弯曲