测地线两种定义的物理意义,牛顿定律和能量最低原理的一致性

下面来分析一下测地线两种定义的物理意义。

第一种把测地线定义为切矢量处处平行的曲线，这对运动质点来说
就是速度保持“不变”。所以这种定义实际上是牛顿第一定律的推
广。

第二种把测地线定义成一个某个泛函极值问题的驻点。把这个泛函
在平直空间的形式写出来，我们立刻会发现这正是狭义相对论的作
用量，如果再考虑它的牛顿形式，实际上就是能量。所以这种定义
是能量最低原理或者说是作用量原理的推广。

从这个角度来理解两种定义的一致性就更清楚了，实际上这种一致
性就是牛顿定律和能量最低原理的一致性。牛顿定律和作用量原理
的一致性从数学上看就是算子方程和泛函极值相对应的表现。从这
些类比中，我有一个问题，算子方程和泛函极值相对应这一事实和
黎曼联络的存在唯一性有什么数学上的关系吗？因为他们导出了一
致的物理结果，所以我怀疑这里面有什么数学原因，但我的微分几
何知识仅限于GR范围内，所以可能回答不了这个问题了，不过我想
所有的这些，都是某一数学对象的局部性质和整体性质之间的关系
，从这里入手大概可以发现点什么。