质点在引力场中如何运动？在仿射空间上引入一种附加的结构叫做联络，它描述的是张量在仿射空间上平行移动时的变化规律。有了这个，才可以

《我说广义相对论》之引力几何化：运动方程

质点在引力场中如何运动？这应该是广义相对论的中心问题之一。
因为引力被解释成时空弯曲，所以质点在引力作用下的运动实际上
是质点在弯曲时空里的自由运动。在广义相对论以前，自由质点是
遵循牛顿第一定律的，作匀速直线运动。但到了广义相对论中，时
空是弯曲的，没有真正的直线运动，该怎么办呢？

为了实现弯曲时空里的“直线”运动，我们必须把直线这个概念推
广。平直空间中的直线有很多性质，比如它各点处的的切向量总是
平行的、它是连接两点的线中最短的等等。

先看第一条，切矢量处处平行，显然这可以作为直线的定义，在弯
曲空间里是否能实现这种定义呢？可以。实际上，切矢量处处平行
正是测地线的局部定义。测地线是一个仿射几何的概念，不必引入
黎曼度量就可以定义测地线。不过，为了定义什么叫切矢量、什么
叫平行，就必须在仿射空间上引入一种附加的结构叫做联络，它描
述的是张量在仿射空间上平行移动时的变化规律。有了这个，才可
以对张量进行微分和比较。

不过要注意的是，联络是可以随意引入的，不同的联络得到的测地
线也不同，哪种联络是我们需要的呢？黎曼告诉我们，在黎曼几何
里可以确定唯一的无挠联络，它只跟度规张量的形式有关，这种联
络叫做黎曼联络。这样一来我们就把运动方程完全确定了。

再看第二条，两点之间的最短线，因为这里涉及了长度这种度量性
质，所以必须在黎曼几何里进行讨论了。给定两点和他们之间的一
条路经，因为ds已经由度规张量确定，所以只需积分就可以得到整
条路径的长度，之后的问题就是什么样的路径使这个长度最小了，
这只是个简单的泛函极值，用变分法很容易得到这样的路径满足的
方程。结果是令人惊讶而又合情合理的，这种路径正是黎曼联络下
的测地线。

两种方法得到一致的结果，弯曲时空里的自由质点沿测地线运动。
这里的数学原因应该是黎曼联络的存在唯一性。