有了黎曼几何，相当于在流形上引入了度量，使其成为距离空间

说了这么多还没说黎曼几何是什么。事实上并不想大多数科普材
料上写的那样，黎曼几何是与欧氏几何和罗巴切夫斯基几何相并列的
那种椭圆几何，那个只是初级的成果，黎曼几何要更广泛些，它描述
一切曲面上的内蕴几何，也就是说只研究它表面上的度量关系，而不
研究曲面在它所在空间中的几何性质。它实际上是三维微分几何中曲
面的第一基本形式的多维推广，属于微分几何的内容。
从比较高的角度看，没有黎曼几何的微分几何只是从拓扑和仿射
空间的角度刻画流形。有了黎曼几何，相当于在流形上引入了度量，
使其成为距离空间。具体方法是在每个点附近定义线元的平方：
ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}
gij叫做度规张量，是一个二阶的协变张量，dX是坐标的微分。这实际
是勾股定理的推广，平直空间里gij就是单位对角阵了。对于弯曲空间
中的无限小邻域，其中的度规张量可以看成常数，于是可以选一个特
殊的坐标系，把线元平方对角化，根据二次型理论，这总可以办到，
这就实现了用平面逼近曲面。但对于整个弯曲流形，因为对角化的方
式逐点不同，所以不能全局的平直化。