量子波包之古典行徑

把振动物体看作不考虑体积的微粒（或者质点，点电荷）的时候，这个振动物体就叫谐振子

谐振子

所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。

电学谐振指的是电磁学物理量的强度在一个中值上下进行波动，也是类似运动学谐振的。

振动是粒子运动的另一种形式，谐振子（harmonic oscillator)的振动，也是最简单的理想振动模型。这里将把定态薛定谔方程应用于一维谐振子和三维谐振子系统，求解得到其波函数和能量


量子波包之古典行徑
國立彰化師範大學物理研究所
薛哲修、楊淳青
E-mail: [e-mail]
一、前言
量子力學是從原子和分子開始的微觀世界的理論。作為更精確和更普遍的理論，它也應對宏觀世界適用。而古典力學只是量子力學在涉及的作用量比 大得多時的極限情況。從 1925 年量子力學初創時開始，如何能演示一下以上的敘述一直是熱烈的討論和爭議的問題。 􀀽
從一個簡單的問題說起；量子力學中諧振子本徵態和經典振子的行為極度不同。量子力學諧振子是否具有和古典振子相似的狀態呢？在 1926 年 Schrödinger 從本徵態構成了一個模擬古典振子往復運動的波包。這就是後來人們稱之為相干態( coherent state )的特殊狀態[1]。對於諧振子，這種狀態已經找到了，然而類氫原子中能描述 Kepler 軌道運動的永不擴散的波包迄今尚未找到。
諧振子能級是等間距的，所以波包不擴散，而氫原子的能級卻不是，所以 Schrödinger 並未找出類氫原子中模擬 Kepler 軌道運動的相干態。
另外一方面，按照 Bohr 的對應原理：在大量子數極限下，量子力學系統的行為將逐漸地趨於與經典力學系統相同。所以近年來對於 Rydberg 態(高量子數 n 的能態)的制備與研究，不論實驗或理論上都是非常活躍的，而且已有長足的進展[2]。
與古典粒子的軌道運動對應的量子態，絕不是一個簡單的定態，而只能是由若干定態的相干疊加所構成的非定態。為模擬古典粒子的軌道運動，它們應該是一個在空間運動的較窄的局域波包( localized wave-packet )。而由許多 Rydberg 態相干疊加形成的波包我們則稱為 Rydberg 波包。
近年來，由於短脈衝雷射技術的進展，已可能在實驗室中產生和檢測各種體系(電子、分子、半導體量子井等)中由許多定態相干疊加所形成的定域波包。這種波包的演化和動力學是目前物理和化學很多領域都很感興趣的課題。
從量子力學誕生起，它和古典力學的關係一直是熱門研究的課題。古典力學適用於宏觀系統，粒子運動遵循確定的軌道。量子力學適用於微觀系統，其規律是概率性的。但作為物理學的基本規律，量子力學也應適用於宏觀系統。相干態在量子力學中是一個非常重要的概念，在物理學許多領域都有應用。在本文中，我們將針對諧振子的相干態，以及一些量子體系(諧振子、無限深方形井、平面轉子、彈跳球，以及類氫原子)的 Rydberg 波包做一個簡單的介紹，並利用電腦軟體描繪出波包機率密度的行為，比較其與經典粒子行為的相似或相同性。
二、 Schrödinger 的諧振子相干態
在創立量子力學的過程中，W. Heisenberg 的
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觀點是：類似電子軌道的這類概念應該完全否定；E. Schrödinger卻更多地考慮量子力學和古典力學間的聯繫。
量子力學中的一維諧振子是很好的例子。在低激發態，粒子的位置機率分布和古典分布差別極大，而當量子數 n 變得相當大時，量子力學分布逐漸接近古典分布，這是 Bohr 對應原理的表現。
但能量本徵態是定態，位置分布是與時間無關的，所以是否能找到模擬古典諧振子運動的量子力學波函數(與時間有關)，也就是能否找出滿足
()()tAtxtωψψcos= (1)
關係的波函數(
tx, ) ψ。這就是Schrödinger在1926年解決的問題[1]。
以下來討論量子力學相干態波包與古典對應的一些性質。假設處於諧振子位能
()2222121xmkxxVω== (2)
中的粒子在初始時刻(狀態為 ) 0=t
()()202221010,xAxexx−−=πψ (3)
A為振幅，ωmx􀀽≡0為自然長度，可定義無單位變數0xx=ξ，0xAm=ξ。
將(0,x ) ψ用諧振子能量本徵態[3]展開
()(Σ∞==00,nnnxCxϕψ ) (4)
經過計算可得!242nennmnmξξ−=/tiEn−C ，然後於各項分別乘上相應的動力學相因子e，結果就得到符合初始條件(1)，並滿足Schrödinger方程的波函數 􀀽
()()􀀽tiEnnnnexCtx−∞=Σ=0,ϕψ (5)
將C代入(5)式可得其機率 n
()(2cos021,tmextxωξξπψ−−= ) (6)
並得到位置及動量平均值
tAtxxmωωξcoscos0== (7)
與(1)式完全相同
dtxmdp=tAωωsin−= (8)
位能平均值
ωω􀀽41cos2122+=tkAV (9)
可得位置平方平均值
21cos222+=txmωξ (10) ■ 567 ■
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由(7)，(10)可得
()ωmxxx222􀀽=−=Δ (11)
Hamilton 量平均值
Σ==nnECEH2 ωξξ􀀽

+⋅=Σ∞=−21!2222nnennmm
n 0
Σ∞=−⋅

+=022!2212nnnmnnemξωξ􀀽 (12)
由Hamilton量平均值可以得到能量平均值
ωξω􀀽􀀽212121222+=+=kAEm (13)
由(9)，(13)可得動能平均值
+==21sin212222tmpTmωξω􀀽 ωω􀀽41sin2122+=tkA (14)
動量平方平均值
+=21sin222tmpmωξω􀀽 (15)
由(8)，(15)可得
()222ω􀀽mppp=−=Δ (16)
由(11)，(16)可得不準度2􀀽=Δ⋅Δpx。
從以上的結果可以發現，諧振子相干態的運動性質與經典振子很相似；在此狀態下，諧振子的能量平均值(零點能除外)與經典振子能量相同，而座標和動量的平均值(即波包中心的位置和動量)隨時間演化的關係也和經典振子完全相同，並且符合最小的不準度。 圖一：顯示諧振子相干態是侷限在空間中一個小區
域中不擴散的波包。 ■ 568 ■
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圖二：諧振子相干態波包在時間0 classicalTt≤≤
的演化情形。
三、 Rydberg 波包
一開始Rydberg態是用來稱原子或分子中量子數n很大的束縛態。而現在對於其他體系中大量子數 n 的束縛態，習慣上也稱為Rydberg態。由許多Rydberg態相干疊加形成的波包稱為 Rydberg 波包[4]。
在 n 很大的情況下，我們假設組成這個局域波包(Rydberg 波包)的各種定態波函數nϕ的比重為高斯分布，波包是對稱的，標準偏差值為σ (以下所舉的例子σ均取為1.5，n為25，但類氫原子σ 取為2.5，n為320)，即
()2222221σπσnnneC−−= (17)
由(17)得知這些定態的能量只有在n附近貢獻較大。在此我們將能量做泰勒展開可以得到
()()221nnEnnEEEnnnn−′′+−′+≈ ()......613+−′′′+nnEn (18)
定義nclassicalE′=π2T，nrevivalEt′′=212π，nerrevivalEt′′′=61sup2π(取自然單位)。 1=􀀽
實際我們有興趣的一些體系(諧振子、無限深方形井、平面轉子、彈跳球，以及類氫原子的 Rydberg波包)，T。保留較低羃次的前三項，忽略掉其他高次項，我們可以將波函數改寫成 errevivalrevivalclassicalttsup ■ 569 ■
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()()()Σ−−≈nclassicalnnTtnnirCtr(2exp[,πϕψ ()())]sup32errevivalrevivalttnnttnn−+−+ (19)
classicalTerrevivaltsup稱為古典週期，在Rydberg波包形成後的短時間內(大概只有幾個古典週期)，波包能以近似的保持週期運動(週期T)。長時間之後波包會因為組成之各定態波函數間的相位差而導致波包崩塌(collapse)，而再經過一段時間之後，波包的形狀有可能部分或完全恢復。t稱為恢復時間，稱為超恢復時間。這幾個特徵時間的長短與能量隨量子數 n 的變化及波包的組成有關，以下將以幾個常見的體系(諧振子、無限深方形井、平面轉子、彈跳球，以及類氫原子圓軌道的 Rydberg 波包)來說明。 classicalrevival
A、諧振子
解Schrödinger方程式可以得到能級+=21nEn1===ωm􀀽，(取自然單位 )，...3,2,1=n1=′nE，0=′′′=′′nnEE∞=，所以，。 π2=classicalT=revivaltsuperrevivalt
圖三顯示諧振子Rydberg波包的演化圖像特別簡單，總是以自然(古典)週期ωπ2演化。這種簡單的演化規律是由於諧振子能級分布均勻的結果，而更深層次的根源是來自於諧振子在相空間的旋轉不變性。
圖三：諧振子 Rydberg 波包在時間的 classicalTt≤≤0
演化情形。 ■ 570 ■
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圖三是諧振子Rydberg波包在時間為一個古典週期內運動的情形。波包一開始位於古典簡諧振盪右邊反折點的位置。值得注意的是，Rydberg波包雖然是局域性的波包，但是因為它不是高斯波包的型式，所以它與相干態波包是不同的。諧振子Rydberg波包以週期做來回的週期性運動，它的波形是隨時在改變的。諧振子Rydberg波包是一個完美的週期性運動，這是因為恢復時間t無限大所致。 classicalTrevivalclassicalT
Rydberg波包2nC成高斯分布，波包會隨時間而崩塌變形，經過一個古典週期T之後又再度恢復原來的形狀，但這與相干態波包的波形始終保持不變不同。相較之下，相干態波包比Rydberg波包的演化規律更為簡單。 classical
B、無限深方形井
粒子在無限深方形井中，
()otherwiseLxxV∞≤≤=00{ (20)
無限深方形井本徵函數[3]
()LxnLxnπϕsin2=( ) (21) Lx≤≤0
能級222πnEn=1==L，(取自然單位 )，得到...3,2,1=n=m􀀽πnclassical2=T，clssicalTrevivalnt24==π，。 ∞=errevivaltsup
圖四：無限深方形井Rydberg波包在時間
classicalTt≤≤0 的演化情形。 ■ 571 ■
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圖五：無限深方形井 Rydberg 波包在時間
revivaltt≤≤0 的演化情形。
圖四顯示了無限深方形井中波包演化的情形。時間等於 0 時，波包位於左邊原點附近，這時的波包呈現劇烈振盪的形狀，這是來自於左邊無窮大的位能壁的衝擊，同理，當時間為2classicalT，以及T時也是如此。而當波包遠離位能壁的時候，波包呈現平滑的形狀，這是由於此時粒子為自由移動粒子的緣故。另外從圖四亦可以發現經歷一個古典週期T後，波包已經從井的左邊跑到右邊，然後再度回到左邊，完成一個迴路，但此時波包形狀只是大致恢復原狀，並沒有完全恢復，這與諧振子只需一個古典週期波包就恢復原來形狀的情形不同。 classicalclassical
圖五可以發現無限深方形井的 Rydberg 波包一直到時間等於t時波包的形狀才完全恢復，這也是因為超恢復時間無限大的關係。 revivalerrevivaltsup
C、平面轉子
量子力學體系中，平面轉子能級與波包恢復情形與一維的無限深方形井很類似。平面轉子的Hamilton量
ILHz2ˆˆ2= (22)
zLˆ
=􀀽為角動量，I為轉動慣量(取自然單位 )。 1=I
平面轉子本徵函數
()φπφϕinne21= (23)
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能級為22nEn=，，二重簡併( 除外)。得到 ...3,2,1,0±±±=n0=nnTclassicalπ2=， classicalrevivalTnt2=，
∞=errevivaltsup。
其Rydberg波包演化的情形與無限深方形井類似；在經歷一個T後波包形狀大致恢復，經歷classicalrevivalt21errevival後波形更接近原來形狀，在時波包將完全恢復，同樣的，這也是因為超恢復時間 無限大的關係。 revivaltt=tsup
比較圖三、圖四，與圖五、圖六可以發現，二維平面轉子與一維無限深方形井很相似；因為能級都是與量子數 n 二次方成正比，所以能量三階以上的導數均嚴格為 0 (也就是超恢復時間無限大)，所以平面轉子與無限深方形井在經歷一個後波形都只是部分恢復，而要經歷一個之後才完全恢復。 errevivaltsupclassicalTrevivalt
事實上不論是無限深方形井還是平面轉子，只要時間經過2revivalt後波形就會完全恢復(無限深方形井在時間等於 0 與時間等於2revivaltrevivalt時波包左右顛倒)，不同於初始狀態的是這時波包在空間中的位置與初始位置不同，它位於與初始位置對稱的位置上。所以我們稱之為恢復時間的，不僅僅是波包形狀恢復而已，而是連帶空間中的位置都要完全恢復。
圖六：平面轉子Rydberg波包在時間為一個古
典週期的演化情形。 ■ 573 ■
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圖七：平面轉子Rydberg波包在時間為一個恢
復週期的演化情形。
D、彈跳球
考慮一個質量為 m 的粒子在地球表面附近的均勻重力場中垂直上下運動。假設與地球的碰撞是彈性的，且取地球表面為座標原點，以及位能的零點。因此粒子在此均勻重力場中的位能為
()00{=xxmgxxV (24)
考慮一個能量為的粒子的運動。按照古典力學來看，粒子能達到的高度為(0>E
)
mgEx=0，為古典不允許區域，0為古典允許區域。現在我們用量子力學來處理，並討論其與古典力學的關係。 0xx>0xx≤ 邊界條件為
()00=ψ (25)
()0=∞ψ (26)
(25)式表示地球表面相當於一個無限高的位壘，粒子不能鑽進地表。(26)則為束縛態的邊界條件，表示粒子不能跳到無窮高。
不含時間的Schrödinger方程為
()()()02222=−+−xEmgxdxxdmnnnϕϕ􀀽 (27)
定義特徵長度31222

=gmg􀀽l特徵時間3122=mgtg􀀽，得到無單位變數glxx=′，()gnnmglEx=，則 (27) 式可化簡為 ()022=−′−′nnnxxxddψψ (28) ■ 574 ■
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上述(28)式的解為Airy function[5] 或者是。因為Airy function Bi在無窮遠處發散，所以彈跳球問題的本徵函數 ()nxxAi−′(nxxBi−′ )
()()nnnxxAiNx−′=′ϕ (29)
nNAi為歸一常數。由邊界條件(25)式得知 ，為Airy function Ai的節點位置。在大量子數 n 的情況下卻可以得到相當準確的近似解 ()0=−nxnx324123−≈nxnπ (30) ()6124132−≈nNnπ (31)
由(30)式可以求得3141232

−=nclassicalπT(單位)。 gt
圖八：彈跳球Rydberg波包中心與古典彈跳球軌跡左邊為時間2classicalTt≤≤0的演化情形，右邊為
時間classicalclaiiscalTt≤≤2T的演化情形。 ■ 575 ■
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不同於前面的幾個例子(諧振子、無限深方形井、平面轉子)，彈跳球能級的高階導數(三階以上)並不嚴格為 0 ，這將導致波包難以完全恢復。
圖八左邊為描述半個古典週期(從開始落下至地面的時間)，黑點為古典彈跳球運動軌跡相對於同時刻彈跳球 Rydberg 波包的位置。
圖八右邊為描述後半個古典週期(從地面反彈到最高點的時間)，黑點為古典彈跳球運動軌跡相對於同時刻彈跳球 Rydberg 波包的位置。
可以發現波包中心位置的確與古典彈跳球的軌跡相同。圖中因為波包並非高斯波包這種對稱的型式，所以古典軌跡點對應到的並非波包的峰點位置，而是位於波包峰點偏上的位置。
有關彈跳球 Rydberg 波包與時間有關一些物理量的平均值的計算因計算繁雜，在此我們並不贅述。
E、類氫原子圓軌道波包
Schrödinger在1926年文章中提到，氫原子中電子的運動軌道也可以用類似諧振子的辦法處理，即用疊加能量本徵態得到的量子力學波包來模擬。但在 1929 年他寫給 Lorentz 的信中說他在這個問題上遇到極大的計算上的困難，此後就沒再提起這件事了。
分析一下諧振子波包的構成，就不難明白構成氫原子 Kepler 軌道波包的困難。(5)式是嚴格的週期函數，它在經過一個週期ωπ2=T或其整數倍後總要恢復原狀。這是由於動力學相因子是()()tnitEieenω21+−−=􀀽，對 n 求和的疊加不會改變其週期性。這只是在諧振子能級隨 n 的變化是嚴格線性的，即各能級是等距的情況下才會出現。氫原子的能級不是等距的，特別對低激發態更是如此。要想模擬電子在類氫原子中軌道的量子力學波包，只能利用很高激發態的能級。
量子力學氫原子波函數最接近圓軌道的是， ，m這些定態。l的氫原子本徵函數在徑向上沒有節點，l，m的球諧函數有因子，使本徵函數在n1−=nl(sin(1−±=n)lθ
) 1−=nl±=2πθ=( xy 平面)有極大值，，由於相應波函數為φ，可以和動力學相因子配合作為正反向運動的波包。 lm+=lm−=ile±
以下由於篇幅的關係我們只將類氫原子圓軌道波包( m 只取正值)的演化情形以圖表現出來，其中相關的一些繁雜計算就省略不表。
類氫原子能級22nZEn−=，(採用自然單位，而且取 )，因此我們可以得到 1=Z32nTTclassicalKeplerπ==，KeplerrevivalTn3=t。
圖十一上方有一個圓，此即束縛在庫侖位能之古典粒子的圓形運動軌跡，半徑等於徑向座標 的平均值。 r
()[allnr13212+−= ] (32)
1−=nl ，代入 (32) 式
22nnr+= (取自然單位 1 ) (33) =a
圖十一中圓的高度為在時間為 0 時波包的最高點。可以發現，經過一個古典週期之後， ■ 576 ■
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圖十一：類氫原子圓軌道波包在時間
()KeplerclassicalTTt≤≤0 的演化情形。
波包最高點與圖中的圓高度已經有落差了，這就代表了波包隨著時間而擴散了。另外我們也可以從圖中發現，圓軌道波包中心運動的速率是等速的，經過四分之一古典週期就繞了4π，與古典的情形相符。
四、結果與討論
相干態是由無窮多個佔有數本徵態的一種特殊的相干疊加，其易於展現粒子之間的合作行為( cooperative behavior )。
在60年代，相干態這個概念被廣泛的應用於量子光學等領域。Glauber[6] (首先提出相干態這個名詞)、Klauder，及Sudarshan[7] 等廣泛地應用相干態來處理光場的相干性質和光子統計學。
儘管相干態已經有如此廣泛的應用，但在一般量子力學教材中卻很少提到，較系統的介紹往往只能從一些專著中去尋找，所以文章中，我們為量子力學相干態這個概念作初步的介紹。
關於文章主體的第二部分，以氫原子為例，對於的Rydberg態，100≥nmarμ5.0~104≥，已經接近宏觀尺度了。因此，Rydberg態最適合用來研究微觀世界和宏觀世界的聯係，或者量子力學與古典力學的關係。Rydberg 波包也符合 Bohr 的對應原理；n越大波包擴散的情形越不明顯，而且波包中心運動的軌跡也與古典的情形相符。
文章中介紹了一般處理局域性波包演化及恢復的方法： 1.對於局域性波包我們認為疊加組成波包的各定態是緊密的分布在量子數平均值 n 附近(可由短脈衝雷射技術製造出)。 2.我們假設波包組成成分((17)式)為高斯分布(只是為了簡化計算，並不影響所得出的定性結論)。 3.引進了三個
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時間尺度T、t、t來控制波包的演化與恢復。 classicalrevivalerrevivalsup
我們分析了幾個不同的量子力學體系的局域性波包的演化與恢復；諧振子波包具有完美週期(T)運動，無限深方形井波包、平面轉子波包經歷 完全恢復，以及不會完全恢復的彈跳球波包、類氫原子圓軌道波包。只要給定該量子體系的能級，我們就可以預測其局域性波包恢復的情形。解析這種波包的演化及動力學性質在物理及化學領域都有很多的應用。 classicalrevivalt
參考資料：
[1] E Schrödinger Naturwissenschaften , 14 ( 1926 ) , 664 .
[2] M Nauenberg , Stroud C , Yeazell J. Scientific American , 1994 , N , p.24 .
[3] Quantum Mechanics , Eugen Merzbacher.
[4] R. Bluhm , A. Kostelecky , and J. A. Porter , Am. J. Phys. , 64 ( 1996 ) , 944 , The evolution and revival structure of localized quantum wave packets.
[5] M. Abramowitz and I. A. Stegun ( eds ) , Handbook of Mathematical Function ( Dover , New York , 1972 ) , Sec. 10.4 .
[6] R. Glauber , Phys. Rev. , 131 ( 1963 ) 2769 . Dewitt C al. Quantum Optics and Electronics ( New York , Gordon ＆ Breach , 1964) .
[7] J. R Klauder ＆ Sudarshan , E. C. G. Fundamentals of Quantum Optics , New York , Benjamin , 1968 .
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• 电子只有吸收了一定频率的光能才能运动到离原子核远的轨道，释放出光能才能回到离原子核近的轨道 -marketreflections- ♂ (1541 bytes) () 01/14/2010 postreply 09:16:22

• 当原子从较高能级向低能级跃迁时，要辐射出光子，因此总能量减少，但是动能是增大的。 -marketreflections- ♂ (1626 bytes) () 01/14/2010 postreply 09:19:26

• 化学 能量最低原理 燃烧时，电子获得能量，从能量较低的轨道跃迁到能量较高的另一条轨道。跃迁到新轨道的电子处在一种不稳定的状态，它 -marketreflections- ♂ (14299 bytes) () 01/14/2010 postreply 09:51:25

• 无机化学 wave function best explained -marketreflections- ♂ (246 bytes) () 01/14/2010 postreply 10:06:20

• wave function best explained 2 -marketreflections- ♂ (123 bytes) () 01/14/2010 postreply 10:51:58

• "轨道离核越远" google,cn -marketreflections- ♂ (292 bytes) () 01/14/2010 postreply 11:59:51

• splitting buy-side orders into smaller orders which are then sen -marketreflections- ♂ (2681 bytes) () 01/14/2010 postreply 12:11:11

• www.advancedtrading.com block trade -marketreflections- ♂ (14089 bytes) () 01/14/2010 postreply 12:20:59

• block trade Purchases are associated with persistent order book -marketreflections- ♂ (758 bytes) () 01/14/2010 postreply 15:23:13

• Block trader A dealer who will take a position in the block tra -marketreflections- ♂ (354 bytes) () 01/14/2010 postreply 15:47:10

• block trader, blockdesk.com (图) -marketreflections- ♂ (2642 bytes) () 01/14/2010 postreply 15:52:48

• In 90% of these trades the broker has to buy or short some part -marketreflections- ♂ (155 bytes) () 01/14/2010 postreply 15:54:40

• block trader, The best informed investors are those with the mos -marketreflections- ♂ (126 bytes) () 01/14/2010 postreply 16:02:25

• Lee MannionEquity Trader UBS Investment Bank:Block Trader/Market -marketreflections- ♂ (2722 bytes) () 01/14/2010 postreply 16:11:30

• All the above mechanisms have in common a process of search for -marketreflections- ♂ (57941 bytes) () 01/15/2010 postreply 09:03:08

• Asset management traders are increasingly running out of options -marketreflections- ♂ (3633 bytes) () 01/15/2010 postreply 09:14:31

• Market microstructure theory By Maureen O'Hara -marketreflections- ♂ (291 bytes) () 01/15/2010 postreply 09:31:53

• “China knows it has problems,” said Liu Chao-shiuan, Taiwan’s fo -marketreflections- ♂ (2008 bytes) () 01/15/2010 postreply 11:20:28

• 内存芯片, dram,价格上涨 -marketreflections- ♂ (356 bytes) () 01/17/2010 postreply 07:48:55

• relative performance of regional banks (KRE) to the broader bank -marketreflections- ♂ (1516 bytes) () 01/17/2010 postreply 07:56:38

• gold, U.S. Treasuries, dow -marketreflections- ♂ (5133 bytes) () 01/18/2010 postreply 11:45:12

• David Rosenberg S&P 500, econ growth is 5%; corporate bonds,2.5% -marketreflections- ♂ (3846 bytes) () 01/18/2010 postreply 11:53:28

• 10-year yields above 5% could prove “destabilizing", supply ris -marketreflections- ♂ (8955 bytes) () 01/18/2010 postreply 11:59:37

• Prediction market, without any risk for the bookmaker -marketreflections- ♂ (16509 bytes) () 01/19/2010 postreply 11:20:57

• only six previous studies consider forecasting of non-actual -marketreflections- ♂ (39962 bytes) () 01/19/2010 postreply 11:28:24

• 资金管理的核心思想: if u hv cash, 等价鞅制度, 总有交易机会! -marketreflections- ♂ (68593 bytes) () 01/19/2010 postreply 12:38:43

• 保守场总是在运动，平衡及平衡的偏离, 关键要有现金,捕捉运动 -marketreflections- ♂ (152 bytes) () 01/19/2010 postreply 13:19:11

• 周达的博客 北京大学概率专业在读博士 -marketreflections- ♂ (53 bytes) () 01/19/2010 postreply 13:41:11

• ：“如果作用于系统的力是保守力，则系统运动时，其能量，即动能与位能之和保持不变” -marketreflections- ♂ (23839 bytes) () 01/22/2010 postreply 19:56:16

• 牛顿把所有的物质用质量 (与任何运动过程无关) 和位置(随着运动过程变化的空间点) 来表示 -marketreflections- ♂ (15277 bytes) () 01/23/2010 postreply 20:41:46

• 这样就和牛顿物理框架中的对应于每一个空间点的数字一样。在牛顿框架下这个数字是粒子的位置，也可以表示为速度或能量。在电磁波的物理框 -marketreflections- ♂ (12596 bytes) () 01/25/2010 postreply 09:08:08

• 但是随着信息时代的来临，那些从来只作为物质运动的伴随现象的“波”，终于登上了物理世界主角的宝座。一种在空间连续分布的，占满整个空 -marketreflections- ♂ (17406 bytes) () 01/25/2010 postreply 09:50:51

• 牛顿瞬时作用: 只要其中每一个过程是只须用无限小的时间就能完成的过程 -marketreflections- ♂ (1560 bytes) () 01/25/2010 postreply 09:55:58

• "极性光人眼睛看不见" -marketreflections- ♂ (1321 bytes) () 01/25/2010 postreply 10:09:38

• 极化光（一个方向的电磁振荡）人眼睛识别不料 -marketreflections- ♂ (6660 bytes) () 01/25/2010 postreply 10:18:58

• 电磁波全空间分布，类似没有方向,频点，有能量密度，也有方向了 -marketreflections- ♂ (182 bytes) () 01/25/2010 postreply 10:22:54

• 获得某一时刻 t在?t 内时间平均的瞬时图像，而且这个?t 也不是越小越好，而必须与所用的电磁波的频率相适应 -marketreflections- ♂ (18435 bytes) () 01/25/2010 postreply 10:25:23

• 伽利略相对性原理的物理内容就是：对于一个理想的封闭系统，外力等于零，所以一定是惯性系统 -marketreflections- ♂ (17000 bytes) () 01/25/2010 postreply 10:45:36

• 牛顿的与距离平方成反比的引力可以用一种势函数来表示，这种函数属于 S空间，这一空间中的函数在全空间内是平方可积的，它的场称为保守 -marketreflections- ♂ (24315 bytes) () 01/25/2010 postreply 10:52:57

• 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念 -marketreflections- ♂ (3299 bytes) () 01/25/2010 postreply 10:58:42

• 一般说来对于深层次物质及其运动形式的描述应该比前一个层次的物质形式有更宽的包容性，所以场的数学描述形式可以包容局域粒子的数学描述 -marketreflections- ♂ (16011 bytes) () 01/25/2010 postreply 11:14:50

• 保守场在运动过程中不会引起像旋量场那样的振荡, 振荡频率的k=0。 -marketreflections- ♂ (12649 bytes) () 01/25/2010 postreply 11:24:28

• 把代表电磁波的旋量场与代表空间电荷力 (类似于库仑力) 的无旋场严格分离开来 -marketreflections- ♂ (16662 bytes) () 01/25/2010 postreply 11:28:13

• 把代表电磁波的旋量场与代表空间电荷力 (类似于库仑力) 的无旋场严格分离开来 -marketreflections- ♂ (16742 bytes) () 01/25/2010 postreply 11:39:17

• 与波相联系的物理量并不是测不准的，只是它在欧氏空间的尺度中是测不准的，而在波函数空间的尺度上是可以测得准的 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 01/25/2010 postreply 11:42:27

• 刘绍棠教授讲光的波动性和粒子性争论时，他说，如果光是粒子，会像一般粒子那样相互碰撞，那么我们怎么还能看得见远方的景物呢？光的空间 -marketreflections- ♂ (14648 bytes) () 01/25/2010 postreply 11:46:05

• 物理世界，有质物质的以质量、位移和速度等作为表征的实物运动特性和对应的以频率、波长和波函数等为表征的暗物波运动 -marketreflections- ♂ (14766 bytes) () 01/25/2010 postreply 11:51:08

• 而表达波的运动形式时，实物运动的量必须首先变换为矢量表函数空间中的射影 -marketreflections- ♂ (21146 bytes) () 01/25/2010 postreply 12:04:27

• 波是由两个模式模式所组成，基本的方程都可化为标量波动方程，但标量波动方程不能直接求场，而只能求态函数，再通过对态函数进行不同的矢 -marketreflections- ♂ (214 bytes) () 04/18/2010 postreply 07:44:02

• 波退化为拉普拉斯方程，所以对于背景场来说，它的数学形式也退化为可以在欧式空间内求解，即时间可以从方程组中分离出来，这就是牛顿理论 -marketreflections- ♂ (3449 bytes) () 04/18/2010 postreply 07:47:55

• 爱因斯坦的时空关系也是实物 (粒子)与暗物(波 )之间的相互作用关系的一种表现，由于现在被“物化”不再是一种物(暗物 ),而是两 -marketreflections- ♂ (17475 bytes) () 01/25/2010 postreply 12:16:25

• 第一场麦，二场爱，三场杨振宁 -marketreflections- ♂ (290 bytes) () 01/25/2010 postreply 14:26:25

• 场的产生必定是以物质的某种形态消失为前提，即场和实物是可以相互转换的，如光子产生电子偶 (图) -marketreflections- ♂ (3936 bytes) () 01/25/2010 postreply 14:56:21

• 不同教科书对“电场”“磁场”概念的解释, 场空间，函数,逻辑空间 -marketreflections- ♂ (3445 bytes) () 01/25/2010 postreply 14:59:16

• §8麦克斯韦电磁理论和电磁波 best graphics! (图) -marketreflections- ♂ (4680 bytes) () 01/25/2010 postreply 14:32:23

• § 5 电磁感应和暂态过程 涡旋电场 位移是牛顿粒子，场的运动是旋转 -marketreflections- ♂ (19865 bytes) () 01/25/2010 postreply 14:49:24

• 高斯波包, 量子波包的演化與散射 (图) -marketreflections- ♂ (226 bytes) () 01/26/2010 postreply 10:40:51

• song1 -marketreflections- ♂ (66 bytes) () 01/26/2010 postreply 12:47:10

• song11 -marketreflections- ♂ (42 bytes) () 01/26/2010 postreply 14:09:47

• 电极化强度与电场的关系,因为电极化而产生的电偶极子称为感应电偶极子 -marketreflections- ♂ (18805 bytes) () 01/26/2010 postreply 15:46:58

• 稳恒磁场的安培环路定理：. 穿过以 为边界的任意曲面的传导电流. 非稳恒情况如何？ -marketreflections- ♂ (584 bytes) () 01/26/2010 postreply 16:01:13

• "静电场电流线闭合"google.cn,维持静电场不需要能量的转换. 稳恒电场的存在总要伴随着能量的转换 -marketreflections- ♂ (401 bytes) () 01/26/2010 postreply 16:59:46

• 电势是反映静电场性质(静电场强环路积分为零)的物理量 -marketreflections- ♂ (160 bytes) () 01/26/2010 postreply 17:10:33

• 真空中静电场场强的计算 -marketreflections- ♂ (3998 bytes) () 01/26/2010 postreply 17:16:22

• 与宏观物质不同，电磁场理论中的实物是带电体，由于宏观物质总体上上的电中性，使它的引力场具有整体的相加性，而波主要存在于介质之中， -marketreflections- ♂ (16087 bytes) () 01/26/2010 postreply 15:32:46

• 波恰由于电的两极性而可以在真空中传播 -marketreflections- ♂ (1142 bytes) () 01/26/2010 postreply 17:07:07

• 对于稳恒电流，以L为边界的各个S面的电流相等，从而上式右边的积分不随S 的变化而变化。但对于非稳恒电流，这个积分有可能随S的不同 -marketreflections- ♂ (26273 bytes) () 01/26/2010 postreply 17:20:10

• 在传导电流线中断的地方，必然存在随时间变化的电荷分布，而电荷的变化导致存在变化的电场 ，致使 成为连续。 -marketreflections- ♂ (26476 bytes) () 01/26/2010 postreply 17:26:17

• 第六章麦克斯韦电磁场理论和电磁波 -marketreflections- ♂ (333 bytes) () 01/26/2010 postreply 17:40:10

• 元素失电子，化合价升高、被氧化, 情感变化 -marketreflections- ♂ (1081 bytes) () 01/26/2010 postreply 22:39:23

• 恒定电流不产生磁场,均匀变化的电流产生恒定的磁场 -marketreflections- ♂ (74 bytes) () 01/26/2010 postreply 15:35:49

• "market maker algorithm" google.com -marketreflections- ♂ (37 bytes) () 01/19/2010 postreply 13:20:33

• 在充分條件下，「預測市場」的價格和市場投資人的平均看法相符。若投資人財富與其看法相關，「預測市場」的價格會等於財富的加權平均值 -marketreflections- ♂ (6977 bytes) () 01/20/2010 postreply 09:01:11

• 交易者数目，方向，携带的能量 -marketreflections- ♂ (129 bytes) () 01/20/2010 postreply 09:08:01

• 曾自洲 美国: market maker -marketreflections- ♂ (10113 bytes) () 01/20/2010 postreply 11:27:08

• 交易系统 系统交易方法 -marketreflections- ♂ (126 bytes) () 01/20/2010 postreply 13:20:07

• 系统交易: 不到目标价位系统不启动交易 -marketreflections- ♂ (118 bytes) () 01/20/2010 postreply 13:24:28

• 所谓对冲，也是围着主力平衡点相反布局 -marketreflections- ♂ (100 bytes) () 01/19/2010 postreply 13:27:26

• China ranks second with a PEG of 3.66 (图) -marketreflections- ♂ (1314 bytes) () 01/19/2010 postreply 19:30:15

• doji at top or bottom: loss of momentum (图) -marketreflections- ♂ (153 bytes) () 01/26/2010 postreply 08:17:26

• 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时 -marketreflections- ♂ (1963 bytes) () 01/26/2010 postreply 09:01:20

• 如果某点E散度为0，那么此点就没有电荷。这是麦克斯韦方程。 -marketreflections- ♂ (277 bytes) () 01/26/2010 postreply 09:06:23

• 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。 -marketreflections- ♂ (660 bytes) () 01/26/2010 postreply 09:10:00

• 梯度：梯度是一个函数变化最为剧烈的方向，所以梯度是一个标量场不均匀性的标志 -marketreflections- ♂ (338 bytes) () 01/26/2010 postreply 09:14:18

• http://mpettis.com/ on china -marketreflections- ♂ (19 bytes) () 01/26/2010 postreply 15:16:15

• 上证在5个月内破掉2009年9月的前期低点 (图) -marketreflections- ♂ (3835 bytes) () 01/31/2010 postreply 17:57:19

• In Play China Eastern Airlines -marketreflections- ♂ (522 bytes) () 01/14/2010 postreply 12:33:57

• trader Michael J. Zerinskas when the markets continually go into -marketreflections- ♂ (4759 bytes) () 11/28/2010 postreply 09:00:47

• a market maker：go into the futures market to hedge their short c -marketreflections- ♂ (349 bytes) () 11/28/2010 postreply 09:05:18

• trader David Morrison VIX's long-term average 20 -marketreflections- ♂ (3732 bytes) () 11/28/2010 postreply 10:12:08

• vix future premium level (图) -marketreflections- ♂ (1156 bytes) () 11/28/2010 postreply 14:15:48

• vix options premium level 11/15/2010 closing price (图) -marketreflections- ♂ (748 bytes) () 11/28/2010 postreply 14:18:56

• VXX：The put-call ratio is .25, normally considered bullish,but i -marketreflections- ♂ (1475 bytes) () 11/28/2010 postreply 14:23:26

• NYSE McClellan Summation Index,Transportation Average Index (IYT -marketreflections- ♂ (2855 bytes) () 11/28/2010 postreply 14:26:22

• trader www.advicetrade.com/nightlyreport (图) -marketreflections- ♂ (7745 bytes) () 11/28/2010 postreply 14:34:40

• trader Lawrence McMillan if actual 20-day historic volatility of -marketreflections- ♂ (3737 bytes) () 11/28/2010 postreply 10:21:25

• The equity-only put-call ratios are both on buy signals again. A -marketreflections- ♂ (231 bytes) () 11/28/2010 postreply 10:22:29

• 20-day 历史波动率》13，s&p指数 跌到20天均线下，可能是非偶然事件，下跌趋势开始？ May 4, 2010 ：The -marketreflections- ♂ (2929 bytes) () 11/28/2010 postreply 10:38:56

• 20-day 历史波动率》13，s&p指数 跌到20天均线下，可能是非偶然事件，下跌趋势开始？ -marketreflections- ♂ (781 bytes) () 11/28/2010 postreply 10:42:04

• HL：IV/HV ratio of 1.36 and an extremely bullish put-call ratio o -marketreflections- ♂ (6266 bytes) () 11/28/2010 postreply 13:41:03

• 物理好图：脱离能量供应体系，激发态不稳定 化学教学资源- 晶体结构解析联合网站 -marketreflections- ♂ (446 bytes) () 11/28/2010 postreply 09:14:57

• 整体地理性地想人的的工作活动，那么一份工作活动就是由工作岗位这个空间范围来表示，两个人占据的空间点是不能迭加的，但两个人所处的空 -marketreflections- ♂ (9358 bytes) () 01/11/2010 postreply 09:31:58

• 最终幻想--东方文化复兴 -marketreflections- ♂ (36 bytes) () 01/11/2010 postreply 13:13:51

• 那么基本粒子的自由落下，为什么就没有规律呢？原因是基本粒子具体运动受到波动性的严重影响，能使这个运动有规律的粒子性不是矛盾的主要 -marketreflections- ♂ (10105 bytes) () 01/12/2010 postreply 10:18:54

• 波函数的符号是Ψ，它的物理意义是表示微观体系的运动状态,Ψ的自变量就是粒子的坐标和时间 -marketreflections- ♂ (606 bytes) () 01/12/2010 postreply 13:17:55

• 在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性 -marketreflections- ♂ (8363 bytes) () 01/12/2010 postreply 13:24:25

• 波函数ψ(r,t)是坐标和时间t的复函数。ψ(r,t)的绝对值二次方乘上r 处的体积元dτ与粒子在这个体积元中出现的几率p(r, -marketreflections- ♂ (228 bytes) () 01/12/2010 postreply 13:27:23

• 在原子或分子跃迁的过程中自发辐射，受激吸收和受激辐射三种状态是同时. 存在 -marketreflections- ♂ (244 bytes) () 01/12/2010 postreply 13:37:03

• 1860年，麦克斯韦开始研究电磁力性质。进展：可见光是电磁辐射；电荷可以任意频率ν振荡 -marketreflections- ♂ (23420 bytes) () 01/12/2010 postreply 17:20:24

• 带电的高速的物质流，只是它的颗粒度非常小，与带电体发生碰撞，只能使其受到作用力，虽然它也是物质性的，它的质量具有“不可测性”，在 -marketreflections- ♂ (9287 bytes) () 01/12/2010 postreply 17:43:22

• 光的粒子性就是光子所带的电荷，光的波性就是光子电荷向周围空间以光速c辐射的电磁场！ -marketreflections- ♂ (1477 bytes) () 01/12/2010 postreply 17:48:21

• 电通量的理解，如果借助于光学中的点光源（相当于点电荷）发光现象，将会加深印象 -marketreflections- ♂ (285 bytes) () 01/12/2010 postreply 19:28:24

• 虚空的BLOG -marketreflections- ♂ (2148 bytes) () 01/12/2010 postreply 19:45:42

• 把一块烧红的铁放到冷水中迅速降温，则铁块的硬度增加而韧性减弱；如果缓慢降温则铁块的韧性增强而硬度下降。两个过程之间的初始温度和末 -marketreflections- ♂ (28497 bytes) () 01/13/2010 postreply 07:54:32

• 辐射 物体由于具有温度而辐射电磁波的现象。热量传递的3种方式之一。 -marketreflections- ♂ (1912 bytes) () 01/13/2010 postreply 07:57:46

• e／m随速度增大而减小。这是电荷不变质量随速度增加而增大的表现，与狭义相对论质速关系一致 -marketreflections- ♂ (11768 bytes) () 01/13/2010 postreply 10:12:41

• 原子中的电子只能在分立的轨道上运动，原子具有确定的能量，它所处的这种状态叫“定态”，而且原子只有从一个定态到另一个定态，才能吸收 -marketreflections- ♂ (6709 bytes) () 01/13/2010 postreply 08:11:57

• 在量子力学中，一个物理体系的状态由态函数表示，态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方 -marketreflections- ♂ (19974 bytes) () 01/13/2010 postreply 08:19:13

• "态函数状态随时间变化线性微分方程" google.cn -marketreflections- ♂ (3105 bytes) () 01/13/2010 postreply 08:29:41

• 相对时空观和相对运动观否认世界的整体性，认为世界是相互平行的、没有隶属关系的并列事物的堆积，这样的世界是没有内在结构的，是单调的 -marketreflections- ♂ (30031 bytes) () 01/13/2010 postreply 11:05:35

• 对车子来说，它与地球之间的关系是内在的、本质的，地面才是反映车子运动的真正参照系。 -marketreflections- ♂ (57 bytes) () 01/13/2010 postreply 11:09:20

• 刘金刚 每一个具体事物，都与特定的尺度相连系 -marketreflections- ♂ (9947 bytes) () 01/14/2010 postreply 13:49:24

• 一个混沌的曲线，可以用傅立叶变换分解为若干个正玄函数的叠加。有序和因故就是其中一个正旋函数从某一个角度和属性来看所表现的状态。混 -marketreflections- ♂ (756 bytes) () 01/14/2010 postreply 13:57:33

• 透过物理看人生：人生悟理 -marketreflections- ♂ (3382 bytes) () 01/14/2010 postreply 14:15:32

• 原子物理理论，最内壳为K壳(n=1)，只能允许存在2个电子 -marketreflections- ♂ (4046 bytes) () 01/14/2010 postreply 14:21:52

• 原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用波函数给出的概率密度描述。 -marketreflections- ♂ (1554 bytes) () 01/14/2010 postreply 15:27:47

• 电子的运动特征就与宏观物体的运动有着极大的不同----它没有确定的轨道 -marketreflections- ♂ (5156 bytes) () 01/14/2010 postreply 15:36:15

• 在一个稳定的原子中，电子应该从内向外依次填充到轨道上，这样形成的原子能量最低，最稳定 -marketreflections- ♂ (2221 bytes) () 01/14/2010 postreply 14:24:37

• 主量子数 决定能量E 角量子数 ，决定角动量L 磁量子数 ，决定角动量的空间量子化 -marketreflections- ♂ (6747 bytes) () 01/14/2010 postreply 14:47:33

• 主量子数n是用来描述原子中电子出现几率最大区域离核的远近，或者说它是决定电子层数的 -marketreflections- ♂ (934 bytes) () 01/14/2010 postreply 14:50:06

• 量子数:主量子数，角量子数，磁量子数 自旋量子数ms -marketreflections- ♂ (2241 bytes) () 01/14/2010 postreply 14:59:18

• 功能性，意味着明显的连续性,几何化; 结构，就是由分立的元素彼此联系在一起的。电磁场是结构性的场,量子化 -marketreflections- ♂ (2379 bytes) () 01/11/2010 postreply 13:24:42

• 物理学上或数学上讲的多维，都不是真正的维，即不是事物的本质面或本质方面，而是事物的具体的面或具体方面。其实系统的演化时间，也是有 -marketreflections- ♂ (2195 bytes) () 01/12/2010 postreply 10:10:54

• 动量就是与位置关系规律并存的本质概念，能量是与时间关系并存的本质概念，角动量是与角度关系并存的本质概念，惯性静质量是物体运动关系 -marketreflections- ♂ (6340 bytes) () 01/12/2010 postreply 11:01:57

• 相对论 从事高强度体力工作，身体很结实的人，其身体的新陈代谢节奏 -marketreflections- ♂ (2642 bytes) () 01/12/2010 postreply 11:09:24

• 力学研究物体连续性的运动，就看不到物体的间断性的变化，一遇到间断，在数学表示上就出现无穷大，而对无穷大的理解，也是那么的不灵活， -marketreflections- ♂ (12811 bytes) () 01/12/2010 postreply 11:15:04

• 物理学上的可处理为质点的物体看成是空间性的存在；而相对静止的事物，如物理学上的作匀速直线运动的物体看成是时间性的存在 -marketreflections- ♂ (11724 bytes) () 01/12/2010 postreply 11:30:37

• EPR 两个粒子的总动量和它们之间的距离。过一段较长的时间，当我们决定去测量一个粒子的动量时，自然会知道另一个粒子的动量应当是多 -marketreflections- ♂ (8978 bytes) () 01/12/2010 postreply 11:39:44

• 　物质最基础的质量是机械质量，也就是惯性质量或引力质量。 -marketreflections- ♂ (8722 bytes) () 01/12/2010 postreply 11:58:53