在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。

来源: marketreflections 于 2011-12-19 11:38:56 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 0 次 (140624 bytes)

回答: 黎曼01 近代幾何的發展丘成桐由 marketreflections 于 2011-12-18 09:02:11

Wiener 测度

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路径积分的数学基础

chernzy

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1^#大中小发表于 2011-3-30 15:18 只看该作者

路径积分的数学基础

请问有人熟悉这方面的研究吗，

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henring

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2^#大中小发表于 2011-3-30 17:28 只看该作者

回复 1# 的帖子

你指物理学中的路径积分吗？如果是，基础就是微积分。能算的情形只有高斯型的。

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chernzy

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3^#大中小发表于 2011-3-30 20:53 只看该作者

回复 2# 的帖子

不是计算的问题，一般听说路径积分还缺少严格的数学基础，所以问问。

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fnsy

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4^#大中小发表于 2011-3-31 09:03 只看该作者

回复 3# 的帖子

路径积分问题是否可以以微分几何为基础得以解决。

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henring

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5^#大中小发表于 2011-3-31 10:24 只看该作者

回复 3# 的帖子

哦数学基础阿。这个问题以前这里略微讨论过。你可以翻老帖/。

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chernzy

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6^#大中小发表于 2011-3-31 12:20 只看该作者

回复 5# 的帖子

不知道是哪个贴，没找到。

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PENG_Bo

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7^#大中小发表于 2011-3-31 18:51 只看该作者

你说的是测度问题吗

Essentially, all models are wrong, but some are useful.

In the long run, we are all dead.

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chernzy

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8^#大中小发表于 2011-3-31 21:44 只看该作者

回复 7# 的帖子

是的，就是轨道空间给测度做积分，这应该就是随机积分，也不知道两者有什么不同，所以不知道为什么没有严格的数学基础

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PENG_Bo

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9^#大中小发表于 2011-3-31 23:52 只看该作者

这不是随机积分。

这个测度需要在非常无限维的路径空间上定义，所以很困难。

Essentially, all models are wrong, but some are useful.

In the long run, we are all dead.

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chernzy

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10^#大中小发表于 2011-4-1 00:32 只看该作者

回复 9# 的帖子

"非常无限维的"怎么理解？

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PENG_Bo

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11^#大中小发表于 2011-4-1 00:38 只看该作者

特别高阶的无限。

Essentially, all models are wrong, but some are useful.

In the long run, we are all dead.

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季候风

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12^#大中小发表于 2011-4-3 12:48 只看该作者

引用:

原帖由 chernzy 于 2011-3-31 21:44 发表
是的，就是轨道空间给测度做积分，这应该就是随机积分，也不知道两者有什么不同，所以不知道为什么没有严格的数学基础

非常不同。随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积（好像连续型随机变量在实数轴的分布那样，分解为概率密度和 Lebesgue 测度的乘积）。而物理学家预期的，正是 $e^{iS}$ 配上一种 “无穷维 Lebesgue 测度”，满足平移不变性和更多有限维 Lebegue 测度所具有的良好性质。这样的测度不可能在任何无穷维 Banach 空间存在。

如果像随机积分一样把 $e^{iS}$ 和并不存在的无穷维 Lebesgue 积分绑定，也许可以构成某种数学上可定义的测度（至少 Witten 似乎在尝试从 cohomology 的角度来定义它），但现在还不确切地知道其可行性。

然而，现代物理并不依赖于这种积分的存在性。任何物理理论都定义于某个能标，从较高能标 $\Lambda$ 作用量导出较低能标 $\lambda$ 作用量可以完全由有限维积分描述
$e^{iS_\lambda(\phi_\lambda)} = \int_{F_{\Lambda,\lambda}} e^{iS_\Lambda(\phi_\lambda + \eta)} d\eta$
其中积分域 $F_{\Lambda,\lambda}$ 包含两个能标之间的所有（有限个）自由度。当然，这个积分虽然肯定有定义，其收敛性却是个问题。通常用“虚时间”方法解决，而 Witten 最近有些新的见解。即便如此，也并不能说物理学可以如此被数学简单描述，因为在不同的能标上，需要运用不同的自由度组合来方便地表述同一个理论，这似乎远在数学所能控制的范围之内。再有，我们必须有一个参考点，即，必须在某个能标处确切地知道理论的形式，这样才能得到更低能标的作用量。至今为止，我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处，所以需要用重整化这种非数学的手段来实现从无穷能标到有限能标的积分。真实的物理并非发生在无穷能标处，即使无穷维积分的数学理论存在，它也并不是在描述真实的物理。如果一定要让数学来完全地描述物理，我认为必须要有新的数学概念和数学工具，传统的 “测度” 或 “积分” 恐怕难以胜任。

[ 本帖最后由季候风于 2011-4-3 12:54 编辑 ]

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henring

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13^#大中小发表于 2011-4-3 19:19 只看该作者

回复 12# 的帖子

经常从季老师这里获益，赞。

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一直想思考

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14^#大中小发表于 2011-4-3 20:09 只看该作者

回复 12# 的帖子

witten最近的那篇文章太数学了，看了一页看不下去了，数学能力还很差...按季兄这么简练说的话，我怎么感觉这观点不新了？比如我觉得物理学家分析重整化群轨道的角度，如要求紫外不动点，就能预言高能有新物理，比如超对称，这样我们可以简单的在重整化轨道.
因此我上次就和fantadox兄在车上胡说，随着能标一直加，不同的拉氏项将进来，路径积分就不是那么简单的了。只是我们在物理上如何判断所有能标的物理了，加速器也有极限吧?比如普朗克能标上面还有物理么.因此数学上看来也只能简单建toy model?
有大牛认为在普朗克能标上物理是“随机的"当然这和弦论或者大统一观点相悖.
witten文章的技术都在推导什么了?(论坛没有膜拜的表情

)谢谢

至今为止，我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处
-------------------------------------------------------------------------------
其实（E）RG一直把裸量所需要的截断选在一个有限的值，这个值可以变到无穷。当然无穷的好处是洛伦兹对称性显然保持，但群流结构给搞"简单"了.

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chernzy

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15^#大中小发表于 2011-4-9 18:23 只看该作者

回复 12# 的帖子

后面物理不太懂。
照这样说，路径积分是要有新的积分理论，请问平移不变性的物理意义是什么呢。

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漫谈几何量子化（四，五，六）

本主题被作者加入到个人文集中

季候风

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1^#大中小发表于 2008-1-27 00:32 只看该作者

漫谈几何量子化（四，五，六）

漫谈几何量子化（四）表象

在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。我们已经看到在 Stone-von Neumann 的处理中（即 Schrodinger 表示），平方可积函数空间 $L^2(\mathbb R)$ 可以作为态空间，而平方可积是对 Lebesgue 测度而言的。但是在无穷维，没有这么一个“典则”的测度。

再来看 Fock 表象。重新审视对有限维相空间的处理。在没有约束的情况下，只要固定了坐标系，有限维相空间可以看作向量空间。所有可能的位置组成向量空间 $V\cong \mathbb R^n$ ，所有可能的动量应该被视为对偶空间（线性泛函组成的空间） $V^*$ （这是因为动量由 Legendre 变换定义，数学上来说是一种对偶），使得经典相空间可以写成 $X=V\oplus V^*$ . 这是一个“辛向量空间”，就是说，上面配备了一个非退化的反对称双线性型 $\sigma: X\times X\to \mathbb R$ ,

$\sigma\Big( (v_1,\alpha_1),\quad (v_2,\alpha_2)\Big) = \alpha_2(v_1)-\alpha_1(v_2)$

实向量空间上的“复结构”是指一个线性变换，其平方是负恒等， $J^2=-I$ . 辛向量空间上的“相容复结构”是指这个复结构要保持辛形式，即，

$\sigma(Jx, Jy)= \sigma(x,y)\qquad \forall x,y$

容易看到复结构的本征值是 $\pm\mathrm{i}$ . 要谈论它的本征向量，必须把原来的实向量空间“复化”，即考虑复向量空间 $X_{\mathbb C} = X\otimes \mathbb C = X\oplus \mathrm{i}\,X$ ，把 J 扩张到这个复向量空间上成为复线性变换。这个复向量空间可以分解成 J 的本征子空间的直和， $X_{\mathbb C}=W\oplus \overline{W}$ . 不同的复结构对应不同的这种直和分解。如果复结构还是跟辛结构相容的，那么以上直和分解必须满足“正性条件”

$\mathrm{i}\, \sigma(\bar{w}, w)>0 \qquad \forall w\in W$

和 Lagrange 条件，即 $W$ 是极大的迷向子空间，所谓迷向是指

$\sigma|_W =0.$

之前讨论谐振子的时候采用的复结构是（省略系数）

$W=\langle\ e_q+\mathrm{i}\, e_p\ \rangle,\qquad J(e_q)=-e_p,\quad J(e_p)=e_q$

那么容易看到，Fock 表象中的态矢量一一对应到反全纯部分的多项式，用多重线性代数的语言，即 $\overline{W}$ 上的对称张量。Fock space $=S(\overline{W})$ .

这个程序可以用于无穷维辛向量空间，即，固定一个正性直和分解（复结构），态空间就可以用反全纯部分的对称张量来组成。不过注意这只适用于玻色理论，其中正则关系是交换子。对费米理论，有类似的程序，以后再谈。

真空态的构造问题涉及复结构的第三种形式，下节继续。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-3 15:07 编辑 ]

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星空浩淼

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2^#大中小发表于 2008-1-27 22:34 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

所有可能的位置组成向量空间 $V\cong \mathbb R^n$ ，所有可能的动量应该被视为对偶空间（线性泛函组成的空间） $V^*$ （这是因为动量由 Legendre 变换定义，数学上来说是一种对偶），使得经典相空间可以写成 $X=V\oplus V^*$ . 这是一个“辛向量空间”，就是说，上面配备了一个非退化的反对称双线性型 $\sigma: X\times X\to \mathbb R$

这个地方可否这样“翻译”：如果由广义坐标构成的位形空间M={q1,q2,q3,...qn}={q}作为底空间，则其上的切丛TM={q,δq/δt} （δq/δt是广义速度）即是状态空间，余切丛T*M={q,p}是相空间（其中p是广义动量）。利用Legendre 变换，可以让切丛TM过渡到余切丛T*M，相应地，把Lagrange力学变换到Hamilton力学。

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星空浩淼

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3^#大中小发表于 2008-1-27 22:38 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

上面配备了一个非退化的反对称双线性型 $\sigma: X\times X\to \mathbb R$ ,
$\sigma\Big( (v_1,\alpha_1),\quad (v_2,\alpha_2)\Big) = \alpha_2(v_1)-\alpha_1(v_2)$

这个地方看得不太明白，不知道上面这个公式的具体含义，如果举个例子就好了。这个“非退化的反对称双线性型”是M上的辛形式吗？还是类似Poisson括号的东西？

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星空浩淼

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4^#大中小发表于 2008-1-27 22:55 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

之前讨论谐振子的时候采用的复结构是（省略系数）
$W=\langle\ e_q+\mathrm{i}\, e_p\ \rangle,\qquad J(e_q)=-e_p,\quad J(e_p)=e_q$

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季候风

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5^#大中小发表于 2008-1-27 23:59 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

上面配备了一个非退化的反对称双线性型 $\sigma: X\times X\to \mathbb R$ ,
$\sigma\Big( (v_1,\alpha_1),\quad (v_2,\alpha_2)\Big) = \alpha_2(v_1)-\alpha_1(v_2)$

这个地方看得不太明白，不知道上面这个公式的具体含义，如果举个例子就好了。这个“非退化的反对称双线性型”是M上的辛形式吗？还是类似Poisson括号的东西？[/quote]

这里的确省略了说明，为了不至于满篇都是公式 . 这里 $(v_i, \alpha_i)\in V\oplus V^*$ , 这是一个典型的数学家的记号，又回到以前讨论的直和有关问题。线性空间的直和，其底层集合是直和因子底层集合的笛卡儿积，所以用有序对来标记。因为 $\alpha_i$ 是线性函数，等式右边的括号就是取值。

在谐振子的情况， $e_q,\ e_p$ 分别是 $V,\ V^*$ 的基，而且互为对偶。用基展开， $v_i =a_i e_q,\quad \alpha_i=b_i e_p$ , 那么

$\sigma\Big((a_1 e_q, b_1 e_p),\quad (a_2 e_q, b_2e_p)\Big)= (b_2a_1-b_1a_2)\ e_p(e_q) =\ b_2a_1-b_1a_2$

现在只考虑了辛向量空间，而不是辛流形，所以不必要涉及 Poisson 结构，一切都是线性的。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-6 01:15 编辑 ]

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季候风

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6^#大中小发表于 2008-1-28 00:16 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

之前讨论谐振子的时候采用的复结构是（省略系数）
$W=\langle\ e_q+\mathrm{i}\, e_p\ \rangle,\qquad J(e_q)=-e_p,\quad J(e_p)=e_q$

实形式下，J对应一个斜对角矩阵，由正负两个单位矩阵作为斜对角元；不知道在复结构下，它的表达形式如何？它本身相当于复向量空间中旋转90度的变换，即把坐标与动量互换（可能相差一个负号）。我只知道，实形式下，如果一个变换满足MJM'=J（M'是M的转置），则M对应一个辛变换（正则变换，其全体构成辛群），它保持Hamilton方程形式不变，保持Poisson括号不变，保持辛形式不变。

为了对季兄表示支持，我勉为其难地凑一下热闹，可惜本人水平实在有限。希望其他更为内行的人向我学习，踊跃参与讨论，这不象下棋，用不着观棋不语 [/quote]

星空兄谦虚了，你的问题和意见都很好。多谢星空兄捧场。

实向量空间复化以后，原来的基还保持为基， $\mathrm{dim}_{\mathbb C}X_{\mathbb C} = \mathrm{dim}_{\mathbb R} X$ . 所以线性变换扩张以后的矩阵还跟以前的矩阵一样。我在谐振子情况用的复结构矩阵是很特殊的一个，它的矩阵正好同辛形式 $\sigma$ 的矩阵一样。这是一个巧合，但复结构和辛形式是完全不同的概念，分别属于 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ . 在谐振子相空间上还有很多别的相容复结构。矩阵形式的方程往往引起很多歧义，内在的不依赖于基底选取的表述才更加准确，更利于理解。辛变换的内在定义是

$\sigma(Mx, My)=\sigma(x,y), \qquad \forall x,y$

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星空浩淼

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7^#大中小发表于 2008-1-28 01:09 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

但复结构和辛形式是完全不同的概念，分别属于 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ . 在谐振子相空间上还有很多别的相容复结构。矩阵形式的方程往往引起很多歧义，内在的不依赖于基底选取的表述才更加准确，更利于理解。辛变换的内在定义是
$\sigma(Mx, My)=\sigma(x,y), \qquad \forall x,y$

谢谢季兄的解释！上面的 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ 是否应该是 $X\otimes X^*,\quad X\wedge X^*$ ？有的书上把辛形式记做 $dq\wedge dp$

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季候风

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8^#大中小发表于 2008-1-28 01:52 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

但复结构和辛形式是完全不同的概念，分别属于 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ . 在谐振子相空间上还有很多别的相容复结构。矩阵形式的方程往往引起很多歧义，内在的不依赖于基底选取的表述才更加准确，更利于理解。辛变换的内在定义是
$\sigma(Mx, My)=\sigma(x,y), \qquad \forall x,y$

谢谢季兄的解释！上面的 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ 是否应该是 $X\otimes X^*,\quad X\wedge X^*$ ？有的书上把辛形式记做 $dq\wedge dp$ [/quote]

非也非也。用物理词汇，线性变换是一阶反变，一阶协变的混合张量，而双线性函数是二阶协变张量，反对称双线性函数就是“2-形式”.

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星空浩淼

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9^#大中小发表于 2008-1-28 12:30 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

非也非也。用物理词汇，线性变换是一阶反变，一阶协变的混合张量，而双线性函数是二阶协变张量，反对称双线性函数就是“2-形式”.

[/quote]
呵呵，原来如此

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那一剑的寂寞

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10^#大中小发表于 2008-1-29 15:16 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

给季候风提个小建议：能不能在帖子中多加一点数学公式？
你的这篇“漫谈几何量子化”对我帮助很大，谢谢你的工作！

12 hours a day, 7 days a week, and 12 months a year for 20 years！

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季候风

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11^#大中小发表于 2008-1-30 01:08 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

呵呵，客气客气。数学公式多了会不会太占空间？

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shanqin

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12^#大中小发表于 2008-1-30 23:36 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

虽然会，但是影响不大，所以有公式尽管用。

假如不曾一起逆着风
破着浪
我还不明了倔强
原来是一种力量

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Hui

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13^#大中小发表于 2008-1-31 13:51 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

占的是72松的空间，不是客栈的，不要紧。呵呵。

$\int_{\mathrm{birth}}^{\mathrm{death}}\,\mathrm{work} \,dt = \mathrm{life}$

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季候风

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14^#大中小发表于 2008-2-1 11:44 只看该作者

漫谈几何量子化（五）真空

在 Fock 表象中，真空态被全纯部分湮灭， $Z|0\rangle =0$ . 现在考查有限维相空间，取一个一般的复结构 $(V\oplus V^*)_{\mathbb C}=W\oplus \overline{W}$ ，希望把“全纯部分”的元素用某种方式写出来。

先来说明，投影 $W\to V_{\mathbb C}:\ (v,\alpha)\mapsto v$ 是同构。首先，它是单射，这是因为，如果 $0\neq w=(0,\alpha)\in W$ , 那么

$\mathrm{i} \sigma(\bar{w},w) = \mathrm{i} (\bar{\alpha}(0)-\alpha(0)) = 0$

与正性条件矛盾。又因为它们维数相同，所以是同构。（在无穷维的时候应该有其它办法可以论证这一点，我暂时还没有想到。）这样，对每一个 $v\in V_{\mathbb C}$ , 有唯一的 $(v, \alpha_v)\in W$ . 现在就可以定义线性算子

$A: V_{\mathbb C} \to V^*_{\mathbb C},\quad Av=\alpha_v$ .

迷向条件说明这个算子作为 $V^*_{\mathbb C}\otimes V^*_{\mathbb C}$ 的元素是对称的，而正性条件说明它的虚部是正定的。 $W$ 和 $A$ 的关系可以总结为：前者是后者作为映射的图像。

反之，只要有了一个虚部正定的对称双线性型 $A$ ，它的图像就给出一个复结构。这是辛向量空间上复结构的第三种形式--- Gauss 测度。现在“全纯部分”的元素可以写作 $(v,Av)$ .

上一节只说了经典相空间上的复结构，由谐振子的类比，态空间与反全纯函数空间同构。然而，还没有涉及可观察量及其在态空间上的作用。有限维情形，可以用 Stone-von Neumann 定理。在谐振子的时候用了 Schrodinger 表象，现在对于多维相空间，采用新的表象（等价于 Schordinger 表象），即，态空间是 $L^2(V)$ ,

$v\mapsto \mathrm{i}D_v,\qquad \alpha\mapsto m_\alpha, \ \textrm{meaning,}\ (m_\alpha f)(u)= \alpha(u)\,f(u)$
计算交换子，

$(D_vm_\alpha f)(u) = D_v(\alpha(u)\,f(u)) = \alpha(v)f(u)+\alpha(u)\,D_vf(u)$

就是说，

$[\mathrm{i}D_v, m_\alpha]= \mathrm{i}\ \alpha(v)\ \mathrm{id}= \mathrm{i}\ \sigma(\ (v,0),\ (0,\alpha)\ )$ .

这是 Heisenberg 正则量子化。

结合关于 Gauss 测度的讨论，来看什么样的函数被全纯部分湮灭。简单计算一下，

$\mathrm{i}\,D_v\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} (Au)(u)/2} = -(Av)(u)\ \mathrm{e}^{\mathrm{i} (Au)(u)/2}$

形式地重写以上等式，

$\Big(\mathrm{i}D_v+m_{Av}\Big) L_A = 0$

左边括号里的算子其实是经典变量 $(v,Av)\in W$ 在 Stone-von Neumann 表示里对应的算子。这个简单计算就是说，以上 Gauss 指数函数被全纯部分 $W= \mathrm{Graph}(A)$ 对应的所有算子湮灭。相容复结构通过 Gauss 测度的形式给出了真空态。

总结一下：
（1）辛向量空间 $V\oplus V^*,\quad \sigma\Big(\ (v_1,\alpha_1),\ (v_2,\alpha_2)\ \Big)$ ;

（2） $V\oplus V^*$ 上相容复结构的三种形式：
（一）辛同构 $J: V\oplus V^* \to V\oplus V^* \quad \mathrm{s.t.}\quad \sigma(Jx,Jy)=\simga(x,y)$ ;
（二）极大正性迷向子空间 $W\subset (V\oplus V^*)_{\mathbb C} \quad \mathrm{s.t.}\quad (V\oplus V^*)_{\mathbb C} = W\oplus \overline{W}$ ;
（三） $V$ 上的 Gauss 测度 $A$ , 即虚部正定的对称双线性型。

（3）选取一个相空间上的相容复结构，Fock 空间即为对称张量空间 $S(\overline{W})=\oplus_{k\ge 0}S^k(\overline{W})$ . 它同平方可积函数空间 $L^2(V)$ 的关系如下：

$S(\overline{W})\to L^2(V),\quad \bar{w}_1\cdots \bar{w}_s\ \mapsto\ \rho(\bar{w}_1\cdots \bar{w}_s)\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,(Av)(v)/2}$
这里 $\rho$ 指 Stone-von Neumann 表示。

如果 $V$ 是一个无穷维的拓扑向量空间，比如某个时空场方程的所有解在等时截面附近的“芽”（场的初值）组成的空间，那么以上概念和程序都依然有效（需要更加精细的定义）。相容的复结构将给出一个 Fock 表象及真空态。与有限维不同的是，所有这些 Fock 表象并不等价，而且平方可积空间没有自然的定义，这时候（3）里面的式子应当被视为在选取的相容复结构（Gauss 测度）意义下的 $L^2(V)_A$ 的定义. 在一个带边的时空流形上，Lagrange 作用量和类空边界将给出经典相空间，时空内部（即系统的历史）将给出一个特殊的复结构，这个复结构帮助确定 Fock 空间及真空态。下一节准备将以上概念体现于自由玻色场。

参考文献：

Graeme Segal's notes on QFT.

Gerald B. Folland: Harmonic Analysis in Phase Space. (AM-122)

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-3 13:06 编辑 ]

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白云深处有人家

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15^#大中小发表于 2008-2-1 12:26 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

季兄的学术真的很厉害

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季候风

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16^#大中小发表于 2008-2-1 12:47 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

呵呵，这个只是试图理解一下大牛们随便说的几句话，离“学术”还有很大距离......

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星空浩淼

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17^#大中小发表于 2008-2-1 16:04 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

如果说从第三部分开始，我看的有些吃力的话，那么这第五部分开始让我有点发晕
等整个系列写完，我联系前后一起看下来，再讨教，可能效果更好

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-2-6 01:03 编辑 ]

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季候风

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18^#大中小发表于 2008-2-3 14:35 只看该作者

漫谈几何量子化（六）实例

一个带边的 n 维时空流形 $M$ 上的自由玻色场作用量是

$I=\int_M \Big(-\frac12 d\phi\wedge *d\phi -\frac12 m^2 \phi\cdot *\phi\Big)$

或者更清楚一点，

$I= \int_M \Big(-\frac12 \| d\phi\|^2 - \frac12 m^2 \|\phi\|^2\Big)\ dV$

在它的类空边界 $\partial M$ 上，可以进行“正则量子化”程序。首先，找到时空里的经典场位形，即，对作用量作变分，得到 Euler-Lagrange 方程（Klein-Gordon）

$(\Box-m^2)\phi=0$

这个方程的算子解 $\phi(\mathbf x,t)$ 经常称为“在壳”的场。它们被视为相互作用图像中随时间演化的力学变量，在现在的自由理论情形，实际上也是 Heisenberg 图像中随时间演化的力学变量。在一个固定的时刻 t，不同空间位置的场算子 $\{\phi(\mathbf x,t)\}_{\mathbf x}$ 组成系统的“正则位形”。经过 Legendre 变换，找到系统的“正则动量”空间 $\{\partial_t\phi(\mathbf x, t)\}_{\mathbf x}$ . 所有的正则位形和正则动量实际上给出了 Klein-Gordon 方程的初值（或者末值），根据方程的性质，这组初值是颇为任意的，比如，对任何光滑的初值，总能找到方程的解。

如果一个类空边界分支 $K\subset \partial M$ 是等时面，那么系统的经典相空间（所有正则位形和动量），用几何的语言，就是 $\Omega^0(K)\oplus \Omega^{n-1}(K)$ , 即，场的初值及法向导数。这里的记号分别指 K 上的 0 阶微分形式（即函数）和 (n-1) 阶微分形式。它们正好互为对偶，通过配对

$(f, \alpha)\ \mapsto \ \int_K f\alpha$

这个积分有意义是因为函数乘上顶阶形式还是顶阶形式，从而可以在流形上积分。这样经典相空间成为之前研究过的标准的辛向量空间。

要构造 Fock 表象和真空态，必须引进相容复结构。这个复结构来自于整个时空流形（可以被视为系统的历史，如果把经典相空间作为末值的话）。时空里场方程的所有解（在壳的场）组成空间 $W$ , 它可以嵌入 $\big(\Omega^0(K)\oplus \Omega^{n-1}(K)\big)_{\mathbb C}$ 作为子空间，

$\phi\ \mapsto\ \Big(\phi |_K,\ \mathrm{i}\,(*d\phi)|_K \Big)$

就是把场方程的解对应到其初值，再用虚数单位“扭”一下。这个映射是嵌入由初值问题解的唯一性以及连续依赖性保证（双曲方程好像没有这么好的性质，所以这里在严格性上有很大的问题，解决的办法是归结为另一个不够严格的过程---先用虚时间，把双曲方程化为椭圆方程，在完成量子化手续，算出散射概率或者关联函数以后再回到 Lorentz 时空指标）。

这么巧的是，这个嵌入的像定义了一个相容复结构，

$\big(\Omega^0(K)\oplus \Omega^{n-1}(K)\big)_{\mathbb C} = W\oplus \overline{W}$

这样就可以构造出 Fock 空间和真空态（有兴趣的同修可以考虑一下这里的细节）。事实证明，这个表象只依赖于边界 K 的邻域，而与任一有限时间之前的时空无关。这个现象，我还没有领会。盼熟悉物理的同修加以点拨。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-5 09:01 编辑 ]

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季候风

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19^#大中小发表于 2008-2-3 15:05 只看该作者

在写完了这一节以后，我不得不感叹一下，真是“有心无力”。为了叙述简洁，使用了很多未加解释的数学记号，给非数学专业的网友带来了一点小麻烦。在物理方面，又省略了一些关于量子力学和场论初步的名词解释，可能让没有接触过这方面材料的数学爱好者有些迷惑。恐怕对很多愿意看这些帖子的人来说，看过以后，知道的仍然知道，不知道的仍然不知道。希望将来有时间有机会我还可以再回到这些帖子，多添加一些注解。

谨向耐心读我这几篇帖子的网友致意。多谢捧场。

以上各节所述也许可以称为 “数学物理”，试图将物理语言翻译成数学语言。接下来如果时间允许，我将进入所谓 “物理数学”，谈论一些受物理方法启发而出现的数学对象和数学理论，或者对已有数学理论的新的解释和看法。这些也都是 “几何量子化” 的一部分。

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星空浩淼

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20^#大中小发表于 2008-2-3 15:41 只看该作者

以后季兄有时间的时候，可以通过重新编辑来尽量进行两个方面的补充解释，争取为物理学子和数学学子之间提供一个桥梁。

以前我试图彻底弄清几何量子化，结果没有来得及打完相关基础，又去忙别的。对我而言，一旦停下来，再想进去又得从头开始。如果那时一次性的拿了下来，也许现在可以当一名翻译进行一些补充解释。如果我现在从事物理研究，我还会有动力弄清几何量子化。我有自己的动机。