我得的结果是，最大值为10*sqrt(5)。请两位检查。

设AB = X。 由勾股定理，并化简

BC^2 =X^2 + 2X*sqrt(10^2  - X^2) + 10^2 = f(X）0 < X < 10

求导，得方程
2X + 2sqrt(100 - X^2) - 2X^2/sqrt(100 - X^2) = 0

去分母得方程

X*sqrt(100-X^2) = 3X^2 - 100.

平方并化简得方程

X^4 - 70X^2 + 1000 = 0,

可得两个极值点，X = sqrt(20), X = sqrt(50).

比较几处的值，BC的最大值在X = sqrt(50).处得到， 为10*sqrt(5).

此时，BD 恰为AC的中线。

所有跟帖： 

• 可能是这里有误 -kde235- ♂ (195 bytes) () 12/06/2023 postreply 20:53:16

• 谢谢。求极值点的方程确实是 X*sqrt(100-X^2) = 2X^2 - 100。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 12/06/2023 postreply 23:56:46

• 重算了一下。还是不同。请各位有兴趣笨算的网友指正。 -wxcfan123- ♂ (670 bytes) () 12/07/2023 postreply 10:37:34

• 你的公式是正确 -天长地久- ♂ (157 bytes) () 12/07/2023 postreply 13:42:12

• 没错，求导后的方程，若有两边平方运算，有可能产生增根,其实舍去的150+50sqrt(5)才是正解，请看几何解法 -万斤油- ♂ (445 bytes) () 12/07/2023 postreply 16:46:05

• 能不能将几何证明转过来。 -wxcfan123- ♂ (57 bytes) () 12/07/2023 postreply 17:51:56

• X^2=50-10sqrt(5) 代入X*sqrt(100-X^2)=2X^2 - 100后,右边小于0 -万斤油- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:02:25

• 谢谢！ -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:13:26

• 复盘自己的解。还是计算太粗心。求极值点的增根，只要还在定义域内对极大值问题没有本质的影响。 -wxcfan123- ♂ (146 bytes) () 12/07/2023 postreply 19:08:51

• 抖音里的一道题，几何解法只有一张图，解释是我加的，请看： -万斤油- ♂ (345 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:25:41

• 赞, 还是几何解法漂亮! -kde235- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:50:49