把1拆成若干个不同的正整数倒数之和的扩展

证明：对任何整数M>=2, 都存在n个整数M=M1<M2<...<Mn>,使得这些整数的倒数之和等于1。

并求出n的最小值。

所有跟帖： 

• 1/2=1/3+1//6;n=2.其它，1/M=1/2M+1/(2M+1)+1/2M(2M+1).n=3. -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 03/13/2023 postreply 19:56:21

• 哈哈！跑题了！ -15少- ♂ (25 bytes) () 03/14/2023 postreply 00:32:21

• 凑成1，只须用上面的公式迭代。n=1+3+3^2+…+3^(M-1) -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 03/14/2023 postreply 03:12:12

• 怎么保证迭代后没有重复项呢？ -万斤油- ♂ (0 bytes) () 03/14/2023 postreply 17:32:02

• 没仔细算。好像不太可能。即使有也可以再分。如果最后生成一收敛为1 的无穷数列，也是一个有意思的结果。 -wxcfan123- ♂ (206 bytes) () 03/14/2023 postreply 23:33:37

• 用你的构造法，拆分M个1/M, 可以保证不重复， n的上限=2^M-1 -15少- ♂ (0 bytes) () 03/14/2023 postreply 23:57:15

• 好！ -万斤油- ♂ (0 bytes) () 03/15/2023 postreply 08:55:39

• 请教, 如何证明不重复.抱歉. 经常跟不上节奏. -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 03/15/2023 postreply 13:11:32

• 好像也不能保证没有重复，我一开始的理解是： -万斤油- ♂ (1038 bytes) () 03/15/2023 postreply 18:01:26

• 谢谢。三项分拆画蛇添足。不过与两项分拆本质相同。想着能从两项分拆的证明中推广一下。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 03/15/2023 postreply 19:16:14

• 对，第p个1/M拆p-1次 -15少- ♂ (262 bytes) () 03/15/2023 postreply 20:10:14

• 质疑 ：不同数量级之间无法交叉。比如M+x=M2+M+y无解 -wxcfan123- ♂ (268 bytes) () 03/15/2023 postreply 23:38:10

• M+x 是M一次方级的通式，x小于M。M平方级的通式是M2+M+y，y小于M-1 -15少- ♂ (22 bytes) () 03/16/2023 postreply 01:04:14

• 平方级的通式不对。第y次迭代时有一项(M+y）*（M+y-1)=M^2+（2y-1)M+y^2-y -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 03/16/2023 postreply 10:07:21

• 确实通式写错了（小了），但并不影响推理 （平方量级的各项，严格大于一次方量级的任何一项，不会交叉） -15少- ♂ (0 bytes) () 03/16/2023 postreply 11:59:48

• 考虑到1/M 有多个两项（1/a+1/b）的拆分方式 -15少- ♂ (496 bytes) () 03/24/2023 postreply 16:23:21