IMO 2011

       

   

 

    

 

 

 

 

1

 

. 对任意由 4 个不同正整数组成的集合A ={a1, a2 , a3 , a4}，记SA =  a1+ a2+ a3+ a4，设 nA  是满足 ai+aj 整除 SA 的数对（i，j）的个数．求所有由4 个不同正整数组成的集合A

，使得 nA 达到最大值．

 

2

. 设S 是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上．

 

 

 所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过 S 中单独一点的一条直线 l 开始，以 P 为旋转所中心顺时针旋转，直至首次遇到 S 中的另一点，记为点Q

．接着这条直线以 Q为新的旋转中心顺时

针旋转，直到再次遇到中的某一点，这样的过程无限持续下去．

 

 

 

 

 

 

证明：可以适当选取 S中的一点P，以及过P的一条直线 l，使得由此产生的“风车”将S中

 

的每一点都无限多次用作旋转中心．

3

．设f : R->R是一个定义在实数集上的实值函数，满足对所有实数x，y，都有

f(x+y) <= yf(x) + f(f(x)).

证明：对所有实数x<= 0，有f (x) = 0

．

4. 给定整数n > 0．有一个天平和n个重量分别为2^0, 2^1, ..., 2^(n-1)的砝码．

现通过 n步操作逐个将所有砝码都放上天平，使得在操作过程中，右边的重量总不超过左边的

重量．每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至所有砝码都被放上天平．

求整个操作过程的不同方法个数．

5. 设 f 是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数m，n，差f (m) - f (n )

能被f (m - n)整除．证明：对所有整数m，n，若f (m) <= f (n)，则f (n)被f (m) 整除．

6. 设锐角三角形 ABC的外接圆为G，l 是圆G的一条切线．记切线 l 关于直线BC，CA和 AB

的对称直线分别为la，lb 和lc．证明：由直线la，lb 和lc构成的三角形的外接圆与圆G相切．

所有跟帖： 

• Where are the high mathematicians in this forum? -wxcfan123- ♂ (112 bytes) () 08/01/2011 postreply 07:19:49

• They all got jobs, and don't come any more -康MM- ♀ (0 bytes) () 08/01/2011 postreply 08:50:02

• IMO 2011 simple solution or... -jinjing- ♀ (336 bytes) () 08/01/2011 postreply 08:32:03

• 4) Sigma(......) i from 1 to n. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/01/2011 postreply 08:41:39

• 4)Too old to be fast, It should be (n+1)!/2 by recursive. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/01/2011 postreply 14:01:06

• 1).....and (ai+al)/(aj+ak)or(aj+ak)/(ai+al). and changed to or. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/01/2011 postreply 09:30:54

• 1) 1,5,7,11. 4) (2n-1)!! -康MM- ♀ (41 bytes) () 08/02/2011 postreply 16:02:20

• 从总和60也可以凑出1,11,19,20.　不怎么证４是最大的。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 08/02/2011 postreply 18:31:45

• OPPS. 1,11, 19, 29 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 08/02/2011 postreply 18:33:21

• 回复：从总和60也可以凑出1,11,19,20.　不怎么证４是最大的。 -康MM- ♀ (123 bytes) () 08/03/2011 postreply 04:37:41

• Thx. -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 08/03/2011 postreply 09:51:42

• KMM's Q is wonderfer.I tellyou the detail. -jinjing- ♀ (399 bytes) () 08/03/2011 postreply 15:07:21

• Key point is a1+a4-a2+a3. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/03/2011 postreply 05:28:08

• 回复：Key point is a1+a4=a2+a3. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/03/2011 postreply 05:29:18

• Are you sure for 4) n=3 seems not right. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/02/2011 postreply 20:55:24

• Proof of 4. It is fun. -wxcfan123- ♂ (649 bytes) () 08/03/2011 postreply 08:27:10

• let me show U, fn=(n+1)!/2. I'm right,MM is... -jinjing- ♀ (469 bytes) () 08/03/2011 postreply 12:48:41

• Jingling, your answer is obviously wrong. Wxc's proof is beautif -乱弹- ♂ (238 bytes) () 08/04/2011 postreply 10:06:43

• How are you,Ｍy answer is right is right,though my right side is -jinjing- ♀ (173 bytes) () 08/04/2011 postreply 13:32:34

• my right side is Q's left side, -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/04/2011 postreply 13:35:51

• 唉，怎么说呢。N=3，见内。 -wxcfan123- ♂ (295 bytes) () 08/04/2011 postreply 14:09:00

• Thx,your right,I am sorry ,My answer is for last states.not求整个操作 -jinjing- ♀ (29 bytes) () 08/04/2011 postreply 14:30:48

• My solution, it is not Dct. -jinjing- ♀ (226 bytes) () 08/04/2011 postreply 18:07:45

• Your (n-1)! * 2^{n-1}is not right, should be n!, n=3,first is he -jinjing- ♀ (22 bytes) () 08/04/2011 postreply 14:11:09

• I am sorry ,My answer is for last states.not求整个操作过程的不同方法个数． -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/04/2011 postreply 14:27:34

• A={a1,5a1,7a1,11a1} is the answer. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/03/2011 postreply 10:06:39

• 4)：A={a1,5a1,7a1,11a1}and A={a1,11a1,19a1,29a1} a1 cantake any -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/03/2011 postreply 15:16:48

• I do the rest for my too much mistakes. -jinjing- ♀ (967 bytes) () 08/05/2011 postreply 19:38:14

• 3)f(x)<=0,too... -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/05/2011 postreply 20:39:24

• One more mistakes. -wxcfan123- ♂ (82 bytes) () 08/06/2011 postreply 09:57:31

• Thx,...you said these Qs are too tough at beginning,...you under -jinjing- ♀ (19 bytes) () 08/06/2011 postreply 10:36:09

• I'm right, you want to make a joke, I know. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/06/2011 postreply 11:04:53

• In case you did not get it. -wxcfan123- ♂ (82 bytes) () 08/06/2011 postreply 12:57:56

• Thx.Yes, you are right. It is easy for me,though I made mistakes -jinjing- ♀ (0 bytes) () 08/08/2011 postreply 16:27:42

• IMO 2011 Official Solution Download (need facebook login) -wxcfan123- ♂ (69 bytes) () 08/07/2011 postreply 13:05:15