IMO 2011

       

   

 

    

 

 

 

 

1

 

. 对任意由 4 个不同正整数组成的集合A ={a1, a2 , a3 , a4}，记SA =  a1+ a2+ a3+ a4，设 nA  是满足 ai+aj 整除 SA 的数对（i，j）的个数．求所有由4 个不同正整数组成的集合A

，使得 nA 达到最大值．

 

2

. 设S 是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上．

 

 

 所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过 S 中单独一点的一条直线 l 开始，以 P 为旋转所中心顺时针旋转，直至首次遇到 S 中的另一点，记为点Q

．接着这条直线以 Q为新的旋转中心顺时

针旋转，直到再次遇到中的某一点，这样的过程无限持续下去．

 

 

 

 

 

 

证明：可以适当选取 S中的一点P，以及过P的一条直线 l，使得由此产生的“风车”将S中

 

的每一点都无限多次用作旋转中心．

3

．设f : R->R是一个定义在实数集上的实值函数，满足对所有实数x，y，都有

f(x+y) <= yf(x) + f(f(x)).

证明：对所有实数x<= 0，有f (x) = 0

．

4. 给定整数n > 0．有一个天平和n个重量分别为2^0, 2^1, ..., 2^(n-1)的砝码．

现通过 n步操作逐个将所有砝码都放上天平，使得在操作过程中，右边的重量总不超过左边的

重量．每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至所有砝码都被放上天平．

求整个操作过程的不同方法个数．

5. 设 f 是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数m，n，差f (m) - f (n )

能被f (m - n)整除．证明：对所有整数m，n，若f (m) <= f (n)，则f (n)被f (m) 整除．

6. 设锐角三角形 ABC的外接圆为G，l 是圆G的一条切线．记切线 l 关于直线BC，CA和 AB

的对称直线分别为la，lb 和lc．证明：由直线la，lb 和lc构成的三角形的外接圆与圆G相切．