由于磁场对粒子的作用力与速度有关，所以考虑带电粒子在电磁场中的运动时，此粒醑与电_磁场构成保守系统

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29
经典带电粒子的哈密顿量和能量
黄国基
(物理晕)
一翼本文讨论了在时间—有关的外部电场的非相列论。具有保寄势能1订哈窿顿
量是动能。然而带电粒子的能量表示为动能和势能。这种规范明显地表示晗密顿键和隧
量之间的概念上的差别。
美t词
1
●
规范哈密顿量能量
_
E
一
、引盲
在非对论中，假若带电粒子处在外部电磁场与时间函数有关的场中，这种带电粒子
的哈密顿量如何表达?能量与哈密顿量乏伺存在着差别，它们之间的燕别一般教材中部
漫有涉及到。[”一【‘
= 、在非相对论中带电粒子的作用 ⋯一一
设：有一个质量为m，带电量为q的经典非相对论粒子，处在与时问自荧∞ ，矢势
为，标势为的外部电场中的一点。
矢势与标势是电磁场的辅助量，‘电场强度和磁感应强芝是也磁场中目客观
属性的可测量，它们之间的关系为； [
f 一等
I l × (1)
由于磁场对粒子的作用力与速度有关，所以考虑带电粒子在电磁场中的运动时，此
粒醑与电_磁场构成保守系统，、
根据分析力学，此粒子的拉格朗日函数表达为： [
。L=T—u=}mvz—q( 一 · ) (2)
奉文于1gg1年l 一28日杜勤
30 盏阳
"t，粒-j：盼划曲量为：
0L
v．
将(2){℃入(3)武得：
m q
l 991年第2期
(3)
(4)
哈密顿量的定义
。H 。言一L
mv ‘q ’ 一壶mv +q( 一 ’ )
= 告mvZ+q · ，
_
一
运用(4)式代入(6)式得：
H= 言一q ) +q ( ，t’
．
在一般情况下，带电粒子还有保守势能v( )，它们相对于核心和静电场源的引
力势能。对于这种情况下的粒子而言，I台密顿量可以进一步写为：
H =
m (言一q ) +V( )+q ( ，t) (6)
电磁场的势不是单一的，且通过规范的变化而改变。
，一 (7J
．
=
一—百 7)
这里^魁一个任意的空问和时间的函数。由于 ×lvA 0，所以
{ × ×
．
一V 一一一
． (8)
： t t
方程(8)说不同规范( ， )戒( ， ) 对应着同一个和亩。这也说
明了电磁场方程(t)通过方程(7) 的变换而不改变。．
仿照上进昀推导．我们得到折的哈整顿赶是：
H 矗( 一q )+V( ) q 方程(9)与方程(6) 具有相同的形式，但是并不相等。团为方程(g)新增加
了标势项，新的正则动量是：
m q (10)
玻们诜择如下的规范．规范情况是：
经典带电蕾子的哈密蚵量和能量 3]
( ，t) 一V( )／q ’ (11)
这里的是任意场中的点，将“1)代人力程(7)的第二式中，函数 ( t) 提
供所需的规范条件是：．
c 一，
由方程(7) 式巾第一式得到新的矢势是：
( ’ t)+p ( ，)+ (13)
将方程(1)式代人方程(g)式l 得到新的啥密顿函数为
1
H ‘ _ 。。
把方程(1O) 式代入(1 式l }：
H ：If]V
这仅仅说明了在新的规范条件下的哈密顿量不是带电粒子的总能量。
的总能量不仅具有动能，时且还具有势能。
有了哈密顿量H ，然届甘lL哈密概垂则亩狂】'
(1 )
(15)
因为带电粒子
．：
q 0pⅡ
I 一岽a 2⋯． s (16)
在一维的情况下，选广义坐标为，当方程(I6)式中第一式乘以m为：
．
。
一 l ， n 7 ：
(17)式表明了动量和『E叫功量之间的联系。
(17)式中第二个方程是：
— ． H三
P —
a r
q竺
a( ． )
32 盏阳师专学报 1991年第2期
● 一
q ( ‘ ，’ (18)
现将(1O)式对时间t求导，运用(18)式以及矢量的运算法则得：
m — 。： m 一
一q
q ({。 ’一q a t—q(÷’ )
一 0 t 一 ÷ ～ q (U1 9)J
将(8)式和(1) 式代入(19)式中得：
fⅡ ：qE+q呻r×B—VV‘
(2o)
(2O) 式表示了带电粒子在电磁场中的运动方程。在非相对论的情况下电磁场中的运动
粒子可以用哈密顿函数来描术。
三、哈密赣量与能量之前掳关系
在相对论的条件下，目f入四维矢量的概念，可我出类似于(17)式功量和正则动
量两者相联系的方程。在四维矢量中，我们知道能量除以c是动餐m 的四分量，哈密
顿量H 除 c是正则动量的四分量，标势是矢势的四分量，所以类似于(1力
式的四分量的表达式为：
． 8 二H 一q (21)
(21)式中的8 表示粒子的能量。它说明了粒子的啥密顿量和能量的关系。
将方程(11)和(儿)代入方程(21) 巾，麓罱是：
s，：一 n
q
～
r
“
r
’
(22)
在这里能量是动能和势能之和，在方程(14)中哈密顿量表示动能，在方程(11)
中q 给出了势能。
将方程(21)用非一撇的量取代后，方程(21)变为
e=H—q士 (23)
把方程(6) 代入(23)式中得：
经典带电社子的哈密顿量和能量83
e= ‘言一q ) 十V( )+q+一q
。l+V ．
：。 ● 。
由(22)式和(24)式可见，同哈密顿置对比，
方程(24)式对时间术哥得：
dt ： m ÷r r + V( ) F
将(2O)代入(2 式qf
普 ÷[q +q÷× ～ v( ]
能量是规范不变的。
+ v( )
(24)
(25)
÷q 6J
所带电粒子的能量对时问的变化率是由由时恒I相关的外都电场提供它的功率。
由玻印庭定理知，当场与单一带电粒子相互作用时，电磁场对时间的变化牢为：
一Jd J E _q E‘
致于整个系统的能量保持恒定。
四、结束语
在一定的规范条件下，对具有(不为零)的保守势能的盔典带电粒子而言，我们髓
现子哈密顿量可以归纳为动能来表示。逸种表示比较简单，同时证明了带电粒子的能量
是带电粒子的动能和(保守的)势能之和。术文明显地阐明了规范的哈密顿量和规范的
能量的不同概念。．
参考文献
[1]J·D 杰克逊著朱培豫译经典电动力学b
[2]曹昌祺编著“电动力学
[3]N．B苏什垒著理论物理学》电动力学部分
[|4]斓仲元编((电动力学教程
[5]嗣仲元编’ 电动学教程 PI62页
(6]周衍柏编“理论力学教程((F274页
[7] 同上[6] P297
(8]同上[6]F298