这个问题很有启发性。往地球中心“自由落体”一块石头,经推导,这块石头的作用力和弹簧力的实质是一样的,力和距离成正比。

本帖于 2024-07-16 16:17:51 时间, 由普通用户 大酱风度 编辑

在某一时刻,设石头距地心距离为 r (r< = R, R 地球半径),假设地球密度均匀(理想假设)

则地球对石头的万有引力只来源于rR 物质对石头的万有引力等于零)。

这部分质量 Mr = C* r^3 (C为与r无关的常数)。来自地球对石头的万有引力 Fr =G (m*Mr)/r^2=G*m*C*r^3/r^2 = G*m*C*r  = K*r  (K=G*C*m, m 石头的质量).

 

如果将 有向坐标 z 的原点 置于地心,正方向指向石头初始位置,则 Fz = -K*z 。 这和弹簧力一致。

 

在不考虑空气阻力情况下,石头的运动方程为(牛顿第二定律):

 

m * d^2z/dt^2 +K * z = 0

设初速度为零,dz/dt =0; z0 = R, 解此方程得:

 

z = R*cos (omega t)    其中 omega =sqrt(m/K)=sqrt(g/R), g: 重力加速度;omega=0.00124 rad/sec ,其行程公式为:

 z=6356.9 cos(0.00124 t) 公里  (t: 秒)

周期 T= 2*pi/omega = 1小时24分20秒

由于cos(omega t) 最大最小值为 1 与 -1, z 在+R与-R之间交变,每约1小时24分20秒往返一次。     

(试计算一下如果将该石头从地面向上扔,恰好该石头经过84.34分钟返回地面,按自由落体假设其到达的最大高度是多少?在这种情况下,自由落体假设成立吗?)

所有跟帖: 

最后一问难度有点大,可能需要解微分方程。 -六号公路- 给 六号公路 发送悄悄话 (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 05:52:27

不超过高中课程的知识范围:) -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 06:49:28

请教 -六号公路- 给 六号公路 发送悄悄话 (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 09:36:59

解释 -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (949 bytes) () 07/17/2024 postreply 15:17:47

请教KDE235, 您看一下这里面最后那个微分方程有无解析解。多谢! -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 15:50:58

有解析解 -kde235- 给 kde235 发送悄悄话 (360 bytes) () 07/18/2024 postreply 05:59:16

多谢!有一步没有明白,能否讨论一下。内容在里面 -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (3335 bytes) () 07/18/2024 postreply 11:23:08

哎呀,我搞错了,谢谢提醒 -kde235- 给 kde235 发送悄悄话 (568 bytes) () 07/18/2024 postreply 17:35:50

学习了,MASTERPIECE!非常感谢! -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (364 bytes) () 07/18/2024 postreply 19:34:45

请指教 -六号公路- 给 六号公路 发送悄悄话 (81 bytes) () 07/19/2024 postreply 09:53:28

另辟蹊径,简化了推导,非常棒。 -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (2244 bytes) () 07/19/2024 postreply 19:59:04

佩服 -六号公路- 给 六号公路 发送悄悄话 (526 bytes) () 07/20/2024 postreply 09:08:56

感谢您的推导,您完成了大部分的工作,我做了一点接续的推导与计算。 -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (104 bytes) () 07/20/2024 postreply 10:50:19

高中就能解这个微分方程吗? -六号公路- 给 六号公路 发送悄悄话 (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 19:50:51

你这样问的原因不但是明知故问,而且是因为你没看明白题意 -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 20:19:19

真不是明知故问,请再次指教! -六号公路- 给 六号公路 发送悄悄话 (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 21:41:12

看一下原题中的语言,应该很明了 -大酱风度- 给 大酱风度 发送悄悄话 大酱风度 的博客首页 (624 bytes) () 07/18/2024 postreply 11:33:26

看一下我的回复,应该很明了。 -六号公路- 给 六号公路 发送悄悄话 (138 bytes) () 07/18/2024 postreply 13:02:45

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