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在物理学中，色散关系指系统能量与其相应动量之间的关系。譬如，在空间中自由运动的粒子系统的色散关系可通过动能的定义方便地得出，具体形式为：
在这个简单的例子中，色散关系是一个二次函数。更为复杂的系统具有其他不同形式的色散关系。
[编辑] 物理性质的推导
经典物理系统的许多性质，如速度，都可以通过写成色散关系的形式推广到其他非经典系统。例如，任意系统中的粒子速度可以通过对其相应色散关系的微分来定义，即：
[编辑] 光学色散关系
光波（电磁波）的能量（或频率）正比于波的动量（或波数）。根据麦克斯韦方程组，真空中电磁波的色散关系应是线性的：
根据上一小节的式子，可得波速为：
这便是光速。
从“二次量子化”到“场量子化”(3)
2009-06-24 20:50
星空浩淼：
这里的“经典力学量”是指粒子的x和p等物理量？量子场论里面没有p，只有x，而且x不是算符，只是时空参数。
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虽然你这个地方说得不准确，但我明白你想说的意思。可惜，很多人就是在这个地方犯错，把两个不同问题搞混淆了。
的确，在量子场论中，与量子力学中不同的是，场量作为时空坐标的函数，其中的空间坐标与时间坐标是平权的，一同构成四维时空连续统，即空间坐标与时间坐标一样，都是参数——不象量子力学中，波函数中的时间坐标是参数，而空间坐标对应位置表象下的位置算符。我想这就是你想说的意思，对此我从一开始就是认同的。
但是，你想过没有：即使在量子场论中，每个场量子的空间位置和动量仍然存在测不准关系。进一步地，每一对正则共轭量都存在这种测不准关系，这无论在量子力学中，还是在量子场论中，这一点是不变的。事实上，人们之所以坚信引力也应该是量子化的，并且为此付出坚持不懈的努力，就因为人们坚信，测不准关系在引力那里也应该成立，它是普适的。
这是怎么回事呢？
举个例子来说明：例如，把经典力学中电子的相对论色散关系E^2=P^2+m^2利用Dirac矩阵线性化之后，再把的能量和动量换成算符作用于电子波函数，得到Dirac方程，这个过程就是所谓“一次量子化”过程，这无论在量子力学还是在量子场论中，都是一样的，只是在后者那里，电子的波函数进一步变成场算符（相关的话题本楼主贴已谈）。这就是说，即使在量子场论中，场所满足的量子力学方程本身，就可以看作是由经典力学中的色散关系通过把坐标和动量换成算符再作用于场算符而得到（色散关系中的能量算符是哈密顿算符，一般地，它是位置和动量的函数，尤其是包含势能情形）。即量子场论中，跟量子力学一样都存在这种把经典哈密顿量中的坐标和动量换成算符而变成哈密顿算符的过程，这跟量子场的“场算符作为时空坐标的函数，其中的空间坐标与时间坐标都是参数”并不矛盾。单个场量子的位置和动量之间（以及其他共轭对之间，例如频谱宽度与能级寿命之间），仍然存在测不准关系，这一点是普适的。
量子场论是多粒子理论，量子力学是单粒子理论（也有多粒子量子力学，那是另外的话题）。连续的经典场，量子化为离散的多粒子体系——此所谓“场量子化给经典的波动场赋予粒子性”；而对于经典粒子，到了量子力学那里，单个的粒子就有波动性，此所谓“一次量子化给经典粒子赋予波动性”——即量子场之所以是波动的，不是因为场整体才有波动性质，而是每一个单个的场量子就有波动性，场整体的波动性来源于单个场量子的波动性的叠加。
这就是说：一方面，量子场的场量作为时空坐标的函数，其中的空间坐标与时间坐标都是参数；另一方面，对于量子场中的每个场量子而言，其位置和动量、时间间隔和能量涨落、...等等之间仍然存在测不准关系。量子场论是兼容量子力学，而不是否定量子力学；量子力学是量子场论的低能近似（我不知道算不算树图近似）。
总之，“把经典哈密顿量H(x,p)中的坐标x和动量p换成算符而得到哈密顿算符的过程”，与“场算符作为空间与时间坐标的函数，其中空间坐标与时间坐标一样只是参数”这一事实，彼此不矛盾，因为这原本是两个方面的事情。从经典色散关系出发到到量子场满足的薛定谔方程，就存在“把经典哈密顿量H(x,p)中的坐标x和动量p换成算符而得到哈密顿算符”的过程，虽然量子场中包含的空间坐标变量只是一个参数。
（对于Dirac场而言，这一点是显然的；对于电磁场、Klein-Gordon方程，通过旋量表示或者其他办法，也能给出其量子场满足的包含哈密顿算符的薛定谔方程）。
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从“二次量子化”到“场量子化”(1)
2009-06-24 20:47
新繁星客栈\琢玉坊\从“二次量子化”到“场量子化”及部分讨论
From:http://www.fxkz.net/viewthread.php?tid=1997
星空浩淼：
关于二次量子化，sage兄多次谈到过这个术语应该抛弃，我理解他所说的意思是，借用广义坐标和广义动量概念的拉格朗日力学描述，可以把经典场量子化统一地纳入一次量子化的理论框架之中，因此二次量子化的叫法是有问题的。基于这种理解，我怀疑客栈里有些网友其实没有真正弄明白sage兄所说的意思（当然，可能有错误理解的恰恰是我本人）。因此这里专门发一帖，与大家一起聊聊这个问题。
历史上，人们把“将粒子的位置矢量与动量矢量换成一对共轭算符（满足正则对易关系的）”的做法，叫做一次量子化，而把量子力学中的经典场量（或波函数——这里的波函数不一定有几率幅的含义）进一步地换成场算符的过程，叫做二次量子化。但是，由于场量可以看作广义坐标，因此经典场量变成算符的过程，跟把粒子的位置矢量换成算符的过程，在广义的意义上是一回事，因此把场量换成算符的过程称作二次量子化，是没有必要的。
具体来说，历史上，人们把粒子的色散关系E=P^2/2m或E^2＝P^2+m^2（及其各种变形）中的能量E、动量P这些经典量变成算符，作用于波函数，得到量子力学方程。此过程的本质在于：把粒子的坐标和动量换成算符，满足一个量子对易关系。人们把这个称为一次量子化过程。其特点是：粒子的坐标和动量由经典量换成满足对易关系的算符（于是其它的经典力学量也变成算符），而波函数仍然保持是c数的复函数。通过一次量子化过程，可以使得原来的经典粒子有了波动性。
后来，人们在一次量子化的基础上，进一步把波函数升级为Fock空间中的算符，完成二次量子化过程。其特点是：不但一些经典力学量要换成算符，而且波函数也要换成算符（而且波函数不再局限于概率幅解释）。通过所谓的二次量子化过程，可以使得原来的经典波场有了粒子性——“二次量子化”这个术语因此就跟“场量子化”术语相关联。（当然，这是基于历史上的看法。场与粒子的概念，在量子场论中是统一的，甚至此时连“波粒二象性”的说法都不需要）
但是，人们发现，如果把经典场量看作广义坐标，进而把经典场体系纳入拉格朗日力学体系（跟粒子的力学体系相比，这里相当于有了不可数无穷多个自由度），定义与广义坐标正则共轭的广义动量，再把体系的广义坐标与广义动量看作算符，令它们同样满足通常意义下的粒子的坐标与动量算符之间的那种量子对易关系，那么就可以得到直接从经典力学到一次和二次量子化过程所完成的理论。由于这个过程是完全平行于一次量子化过程的，可以统一纳入一次量子化的理论框架。基于这个原因，有些人不认为还额外地存在一个所谓的二次量子化过程。
尽管如此，量子力学与量子场论终究是有分别的，有了量子场论并不等于就可以抛弃通常意义上的量子力学。例如电子的量子力学与量子场论其内容是不同的，虽然前者可以作为后者的近似，我们仍然需要给量子力学尤其是非相对论量子力学保留一个位置。为了区分量子力学和量子场论，我们仍然需要采用“场量子化”这个概念，以区别通常（例如）从粒子的经典力学过渡到粒子的量子力学这一“一次量子化”过程。在性质上，一次量子化使得经典力学中的粒子有了波动性；场量子化使得经典波动场有了粒子性。因此，场量子化也好，二次量子化也好，我们总需要有一个称呼，来区分量子力学与量子场论。你完全可以把“场量子化”看作是“二次量子化”的另一个称呼，这只是叫法的不同，没有带来物理上的原则性对与错的问题。
因此，我觉得这更多的只是一个术语上的合理与否的问题，而不是原则性的物理对错问题。因为你可以坚持要把时空空间中的位置坐标与动量换成算符的过程称作一次量子化过程，而把广义坐标广义动量换成满足量子对易关系的算符的过程，称作二次量子化，以区别于前一种情形（我们需要一样东西来标志量子力学与量子场论的不同，毕竟电子的量子力学内容跟电子的量子场论内容是不同的）。除非“场量子化”这个概念也应该抛弃，也是多余的，否则“二次量子化”这个称呼，可以视为一个约定成俗的东西，不妨把它看作是“场量子化”的别称
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