算符Â本征值A n 简并的本质是：当A n 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学

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§3.5 厄米算符的本征值与本征函数 1 I 体系任何状态ψ下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明） 在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明） 设Â 为厄米算符，则在任意态ψ之下 2 * 2 ˆ A d A τψ ψ = ∫ * ˆ ˆ ( ) d A A τ ψ ψ = ∫ 0 ≥ 2. 1) . 涨落 涨落定义为 2 ( ) A Δ 2 ˆ ( ) A A = − : 2 ( ) A Δ 2 ˆ ( ) 0 ≥ A A = − 2) . 力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量A 所得结果是唯一确定的，即： 2 ( ) 0 A Δ = 则称这种状态为力学量A 的本征态。 ˆ ( ) A A ψ − = 0 或 ˆ Aψ ψ = × 常数 可把常数记为A n ，把状态记为ψ n ，于是得： ˆ n n A A n ψ ψ = (1) 其中A n ,ψ n 分别称为算符Â的本征值和相应的本征态，式(1)即算符Â的本征方程。 II 厄米算符的本征值必为实。（证明） 3. 1). 表示力学量的算符必为线性算符； 2). 表示力学量的算符必为厄密算符。 例1： （ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − = dx x dx x φ ψ φ ψ * * ) ( x Q 为实数） 例2： * * ˆ ˆ ( ) x x p dx p dx ψ φ ψ ∞ ∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ φ 例3：证明 2 ˆ ˆ ( ) 2 x p H V m = + x 为厄密算符 ：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定是力学量算符。 1 3). 力学量算符和力学量之间的关系 测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符Â的本征值A n （即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符Â的本征方程 ˆ n n A A n ψ ψ = 1,2, n = L 当体系处于Â的本征态ψ n 时，则每次测量所得结果都是完全确定的，即A n 。 4. 1). 正交性的定义 如果两函数ψ 1 和ψ 2 满足关系式 ，则称ψ 0 2 * 1 = ∫ τ ψ ψ d 1 和ψ 2 相互正交。 2). III 厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（ ） * * ˆ ( ) m n m m n A d A d ψ ψ τ ψ ψ τ = ∫ ∫ * * ˆ ˆ ( ) m n m n A d A d ψ ψ τ ψ ψ = ∫ ∫ τ * n m n A d ψ ψ τ = ∫ 3). 分立谱、连续谱正交归一表示式 ①. 分立谱正交归一条件分别为： * 1 n n d ψ ψ τ = ∫ 归一化条件 * 0 m n d ψ ψ τ = ∫ (m n) ≠ 正交性 引用δ mn 称为克朗内克（Kronecker）符号，它具有如下性质： 0 1 mn m n m n δ ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ = ⎪ ⎩ 把(3)与(4)式合写为 * m n mn d ψ ψ τ δ = ∫ ②. 连续谱正交归一条件表示为： * ( ) d λ λ ψ ψ τ δ λ λ ′ ′ = − ∫ ③. 正交归一系 满足上式的函数系ψ n 或ψ λ 称为正交归一（函数）系 5. 如果Â的本征值A n 是f n 度简并的，则属于本征值A n 的本征态有f n 个：ψ nα ，α=1,2,…, f n 满足本征方程： 2 ˆ n n A A n α α ψ ψ = 1,2, , n f α = L 一般说来，这些函数并不一定正交。但是可以证明由这 f n 个函数可以线性组合成f n 个独立的新函数，它们仍属于本征值A n 且满足正交归一化条件。 算符Â本征值A n 简并的本质是：当A n 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，Â算符与这些算符两两对易，其本征值与A n 一起共同确定状态。 综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。

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• 测不准关系： 坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。;b.能量和时间：c.角动量的测不准关系： -marketreflections- ♂ (591 bytes) () 06/12/2010 postreply 10:36:26

• 正交归一系正交：每两个事件（及其概率）都质不同，归一：包括了所有的事件 -marketreflections- ♂ (76 bytes) () 06/12/2010 postreply 21:47:15

• 希尔伯特空间是人为构造的抽象空间，其基矢为不同本征值的本征矢构成（不考虑简并的情况），对于厄密算符（物理量的算符皆为厄密算符）， -marketreflections- ♂ (1409 bytes) () 06/12/2010 postreply 22:29:40

• 在自由单粒子的一维运动中，坐标的本征值是连续的，因而是无穷的，其本征矢也是无穷的，由坐标本征矢构成的希尔伯特空间的维数也是无穷的 -marketreflections- ♂ (314 bytes) () 06/12/2010 postreply 22:31:51

• 根据量子力学的假设，系统编号1到n，系统i状态为|ui>，则整个系统的总状态为|ui>*....*|un>其中*表示直积符号 -marketreflections- ♂ (563 bytes) () 06/12/2010 postreply 22:38:31

• 萊維繫統深入地研究了布朗邉樱?〉昧艘幌盗兄匾?晒???浞掷?酶怕实闹庇X性，將邏輯與直覺結合起來，倡導了研究隨機過程的一種新方法 -marketreflections- ♂ (13763 bytes) () 06/12/2010 postreply 22:44:29

• 將邏輯與直覺結合起來;從凱恩斯起，對主觀概率提出了幾種公理體系 -marketreflections- ♂ (672 bytes) () 06/12/2010 postreply 22:46:22