LostAbaddon 一个系统的作用量知道了，那么如果我们要做经典物理，就用Eular方程，经典物理尽掌握

§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程

http://course.cug.edu.cn/21cn/%E5%BC%B9%E6%80%A7%E5%8A%9B%E5%AD%A6/app3/III00201.htm

http://tieba.baidu.com/f?kz=779605076


非场的作用量
　　作用量是一个很有意思的东西。
　　每次看到作用量，我都感觉这东西是上帝创造世界所采用的编程语言。
　　从物理上说，一旦一个系统的作用量知道了，那么如果我们要做经典物理，就用Eular方程，经典物理尽掌握；如果我们要做量子，那么作用量放在e指数上然后除h乘i，开始路径积分，量子物理也就都知道了。
　　因而，一个物理系统所能有的一切几乎都在这一条式子中了——除了初始数据集——如果连这个也确定了，那么在经典层面上，宇宙所有的一切就都已经决定了。
　　所以，物理的一大主要任务就是写出所有一切的作用量——从最形象的直观上来讲，这真的是“写下上帝的方程”，写下就OK了。
　　因而，一个很自然的问题就冒了出来——什么是作用量？

　　我们最早对作用量的认识，就要追溯到分析力学的诞生，也就是拉格朗日分析力学。
　　听说拉格朗日写就《分析力学》的时候，在书里写过一句很经典的话：这本书里没有一张图。
　　这是对“分析力学”的“分析”二字最好的诠释。
　　在当年，分析力学是作为与牛顿力学平行的一个体系而存在的，后来才知道，原来分析力学才是上帝的语言，而牛顿力学只是将分析力学的一部分配以适当的几何形象（这也是形而上的一条可用原理）而得到的“子系统”。
　　最早的拉氏量（作用量的积分因子，作用量就是拉氏量对坐标时间的积分，从而可以在给定作用量与坐标系以后反写出拉氏量）的形式是经验性地给出的：L=T-V。从而，这个拉氏量在Eular方程下就变到了势场中的牛顿第二定律。
　　不知道大家怎么想的，小时候大二我学到这个的时候，我就一直很好奇：为什么拉氏量等于动能减势能呢？完全是为了能得到牛顿第二定律而凑出来的？？
　　后来，分析力学在拉氏分析力学的基础上，发展起了哈氏分析力学，并且在牛顿力学的基础上，得到了H=T+V。于是就自认为知道了：哦，哈密顿量是总能量，拉氏量是为了能凑出哈密顿量而引入的过渡的东西。
　　其实，后来才知道，拉氏量与哈密顿量是同等重要的，而且，事实上我们应该可以认为拉氏量更加基本——至少，哈密顿量现在看来事实上是能动张量的时时分量，并不是一个基本标量，而是张量的分量，所以不够基本。
　　但是这样的话，有一个基本问题事实上就需要来澄清了：拉氏量是什么？或者说，作用量是什么？
　　至少我们不能说，这是为了获得能动张量而引入的过渡量。
　　只有当我们知道了拉氏量究竟是什么以后，才能很从容地在任何给定的情况下写下正确的拉氏量——这样我们做物理的时候才有底气。
　　继续回到点粒子的运动问题。
　　在引力被成功时空化以前，也在电磁相互作用在以场的面目登场以前，拉氏量的主战场似乎应该是刚体力学。以点粒子来看的话，似乎实在不能说有多复杂。但是当引力被时空化，电磁相互作用被场化以后，拉氏量，或者说作用量的作用就似乎凸显了起来——尤其，当现在我们知道时空是四维的以后。
　　先不说电磁场。在引力场中，我们知道，点粒子走的依然是测地线，因而现在作用量就可以理解为起点与终点固定的世界线的长度乘上质量（强调两个端点的固定，是为了说明量子化的路径积分的作用。当然，量子塌缩在这里就表示为端点的固定，但为什么会塌缩呢？这是一个目前还不知道的问题）。
　　OK，作用量是长度乘质量，如果我们认为质量具有长度的倒数的量纲，那作用量就完全是一个无量纲的数了——附带，此时Planck常数也无量纲，所以在量子化的时候作用量可以很好地担当起“相位”这个角色。
　　作用量是世界线的长度乘质量，所以现在当时空弯曲以后，就要通过度规给出新的线元长度的表达——从而，时空弯曲就在这个线元中被体现出来。
　　这里先打住以下，让我们来看看一个Tool时空理论——Finsler几何。


2010-5-25 02:24 回复

LostAbaddon
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2楼

　　关于Finsler几何是否是Tool这个话题，这里先不讨论。著名的微分几何学家陈省身身前对Finsler在物理上的前途是很看好的。
　　这里提到Finsler几何，主要是为了告诉我们“概念”的正确对我们将一些物理拓广到更宽泛的情况起到了多么重要的作用。
　　Finsler几何中，度量函数为F=F(x^mu,y^mu)，而所谓度量函数，其根本作用就是给出微分流形(M,F)上点x^mu的切空间内任一点到原点的距离。因而，当我们要将点粒子的物理推广到Finsler几何的时候，点粒子的作用量很容易写出：S=mint_{tau_i}^{tau_f}{F(x^mu,v^mu)dtau}。给积分沿着给定曲线C(tau)，从而点粒子坐标为：x^mu=x^mu(tau)，而速度切矢为v^mu=frac{dx^mu}{dtau}。
　　在Finsler时空中，上述作用量一旦写下，粒子的运动便被确定了，而我们也完成了从非Finsler时空向Finsler时空的物理迁徙。
　　但是相同的问题对于场来说，就很难完成，因为我们不知道场的作用量究竟是什么——只知道可以这么写。
　　从几条猜测性的原理出发，我们也可以和点粒子一样，写出Finsler几何上场的拉氏量——这就是我的毕业论文所做的事情。但那几条原理毕竟不是作用量的基本定义或者性质，或者构造作用量的基本原理，所以虽然我们可以这么去做，但底气不足。
　　好吧，让我们从Finsler几何回来。
　　对于弯曲时空上的点粒子作用量的思考，让我们有了这么一个感觉：点粒子的作用量就是长度乘质量。但是质量是什么你？
　　这个时候，让我们岔开，来看一下点粒子相撞的情况。
　　假定两个不同质量的点粒子相撞了，而且不考虑任何具体的相互作用，就是相撞，单纯的完全弹性碰撞。此时的主导思想是能动张量守恒，或者说4动量守恒（对点粒子来说，重要的是4动量，不是能动张量）。而4动量守恒，在这里就体现为质量乘上速度（然后被度规对偶到对偶矢量）这个量在系统碰撞前后的总量要不变。
　　现在来考虑这么一个问题：如果粒子的4速度方法一倍，同事粒子的质量减小一倍，那是不是这个碰撞过程事实上没有发生任何改变？
　　对点粒子的碰撞来说，的确如此，结果不发生改变。
　　那进一步，如果我们将粒子的质量减小为1，而将这缩小的部分都放到粒子的速度上，也即粒子的速度放大m倍，而粒子的质量（m）缩小m倍，粒子相撞的动力学与运动学有发生任何改变吗？
　　想了想，没有。
　　运动学部分，从作用量的Eular方程可以看出，其自由运动是与质量无关的，也与如何参数化无关——而这个“如何参数化”在这里就体现为：世界线切矢量放大缩小，不影响最后结果。
　　所以，纯运动学部分，我们把质量完全归结到速度的模长是合理的。
　　而在动力学部分，至少就完全弹性碰撞来说，把质量归结为速度的模长也是可行的。
　　很好，这样似乎给了点粒子质量一个挺合理的解释——事实上，我持有这个想法长达近8年，和抗战有得一拼了……
　　现在，质量完全成了一个几何量，它代表了在粒子内秉时间内粒子走过的时空间隔长度。而且矢量也保持了“惯性”的特点，那就是无论参照系怎么换，粒子怎么被相互作用，它在自身单位内秉时间内走过的时空间隔是保持恒定不变的。
　　这是多么地惯性啊！
　　而且，我们还可以这么看：由于“重”的粒子在单位时间能走过的时空间隔长，所以等价地，它被相互作用作用到的密度就小，所以偏离测地线的程度就小。
　　从而，我们可以看到将质量视为粒子的速度“模长”是多么“优美”与“和谐”的一个概念。
　　前提是，不考虑具体的相互作用，或者说别的相互作用可以以此为依据做展开。
　　因而，到目前为止，这个体系似乎很美妙。
　　而作为速度“模长”，这就要求质量必须是一个无量纲之数。
　　现在，然我们继续转过头来看场——一会看看场，一会看看点粒子，是很有好处的。


2010-5-25 02:24 回复

LostAbaddon
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3楼

　　在场里面，我们主要来看实标量场。实标量场的作用量为frac12partial_muphipartial^muphi-frac12m^2phi^2。这个看似没什么，但却蕴含着两个问题。
　　首先，质量是“速度模长”这个概念在这里如何体现？
　　其次，如果要求上述作用量是齐次的，那么显然质量的量纲应该是长度的倒数，而不是无量纲。
　　从而，如果我们认为点粒子的质量与场的质量是同样性质的东西的话，那这里就似乎必然要得到这么一个观点：质量不是点粒子的“速度模长”。
　　至少从量纲的角度来说，不对。
　　顺带一说，如果采取自然单位制，取光速c=1，那么当我们取质量为长度倒数的量纲时，普朗克常数是无量纲的，而引力系数具有面积的量纲——这点很有意思，尤其当我们注意到引力熵以及圈量子的特性的时候。
　　因而，将质量完全几何化的想法，在这里似乎遭到了破灭。
　　当然，也未必，比如我们可以在上面的作用量中加入一个用来做量纲变化的常数，那样就可以保留质量的“几何含义”。
　　但，这样的做法其实并不能完全将质量的疑虑消除，因为当我们从作用量转到拉氏量的时候，依然会出问题。
　　在从作用量来换取拉氏量的时候，我们首先要注意到两者的关系：S=int L dt，其中t为坐标时间。
　　对于上面已经给出的点粒子的作用量来说，坐标是将与内秉时间的微元存在关系：dt=V^t dtau，从而可得点粒子的拉氏量：L=frac{mF(x^mu,V^mu)}{V^t}，这里V^mu=frac{dx^mu}{dtau}。由于度量函数是切空间坐标的一阶齐次函数，所以拉氏量又可以写为：L=mF(x^mu,v^mu)，其中v^mu=frac{V^mu}{V^t}。
　　从这里我们可以看出，无论速度矢量的“模长”等于多少，对于拉氏量而言，这个特性都是体现不出来的——从而，质量m必须是与几何无关的外来引入量！（点粒子的拉氏量为L=msqrt{1-vec{v}^2}^{-1}。）
　　因而，质量的起源绝对不是几何的，它是纯物理的。
　　这点，结合前面关于场的质量的论述，就能确定了：质量绝对不是粒子速度矢量的模长——得知这点，是一件很不好受的事情。
　　下面，让我们从一条截然不同的道路出发来看看粒子的作用量。
　　我们先来想一下，弯曲时空中的场的作用量是怎么写的？以标量场和引力场共同的作用量为例：S=int{(R+frac{1}{4pi G}(D_muphi^*D^muphi-m^2phi^*phi))sqrt{|g|}dV}。这里，括号内的是引力场与复标量场的拉氏量密度，D为协变微分，而后面的sqrt{|g|}为时空体元。
　　这个公司的意义很容易理解。而引力之所以会参与到物质场之中，主要是以两种形式：一个就是协变微分中含有引力场的联络，另一个就是时空体元。同样的，这里标量场的能动张量也会反过来影响到引力场。
　　抛开这些有关引力相互作用的细节，让我们来看一个有意思的变换：如果我们现在考虑的是五维时空中的四维膜呢？
　　之所以会想到这个，部分原因是之前很长一段时间我是研究膜宇宙的……
　　废话打住。
　　如果是膜宇宙的话，情况会怎么样呢？
　　自然，要在背景5维时空上诱导出膜上的度规与体元，然后，在考虑膜呃具体形态导致的附加效应前，就将上述拉氏量密度乘体元，然后积分。
　　OK，剩下的事情我们先不说，就说这里的操作——找出诱导体元，然后以诱导体元以相同的方式构造作用量。
　　现在就可以回到点粒子作用量的老问题上了。
　　让我们回头再看一下点粒子作用量的形式：S=int m F(x^mu,V^mu) dtau。我们都知道，粒子世界线是一维的，而如果将这个一维的世界线看作是四维时空中的膜（当然，Sasaki证明过，D维空间中只能稳定存在D-1维膜而不导致发散等歧义性与奇异性，当然，这个问题和这里是无关的）的话，那这根一维膜上的诱导体元是什么呢？恰恰就是度量函数F。


2010-5-25 02:24 回复

LostAbaddon
32位粉丝
4楼

　　因而，如果从膜图景的角度来说，所谓点粒子作用量，事实上就是点粒子世界线这张一维膜上的全空间对质量的积分——从而，更加形象地，这里质量可以理解为这跟弦的“张力”。
　　这个理解的好处在于，我们可以很方便地将情况外推到任意维——如果在一个具有度规g_{munu}的M维背景时空上存在一个D-膜（从而其在时空中的运动而产生的“世界体”是D+1维的）【这里要说一下，这一段是我自己想的，D-膜这个名字是后来给安上去的，为了说明起来方便】，那么它的作用量就可以用如下方法来构造：
　　假定这个D-膜上有D个“内秉坐标”sigma^i，其中iin{1,2,3...D}，而且D-膜在时空中运动时具有内秉时间tau=sigma^0，它们构成的整体为一套膜上的内秉坐标，而一旦内秉坐标位置确定了，我们自然就可以用来确定对应点在背景时空中的位置。比如说一根圆柱体，内秉坐标是圆柱体的高z与表面的圆周角度坐标theta，从而在三维空间中，内秉坐标(z,theta)就对应到三维坐标(Rsintheta,Rcostheta,z)。因而，一旦D-膜给定了，事实上就给出了一套膜上内秉坐标到背景时空坐标的对应法则，这套法则既可以看作是一套坐标变换，又可以理解为描述了膜的具体形状。因而，膜上的诱导度规为：h_{ij}=frac{partial x^mu}{partial sigma^i}frac{partial x^nu}{partial sigma^j}g_{munu}。所以，该D-膜的作用量为：S=int T sqrt{|h|}dSigma，这里h=det{h_{munu}}，而dSigma为膜上内秉坐标的外微分形式，T为膜的张力。
　　在得到这个结果以后，我很兴奋，然后突然想到膜宇宙里不就有Dp-膜么？于是立刻Wiki了它的作用量，发现我得到的结果就是Nambo-Goto作用量。而与Nambo-Goto作用量等价的Polyakov作用量为：S=frac{T}{2}intsqrt{h}h^{munu}g_{alphabeta}frac{partial X^alpha}{partial sigma^mu}frac{partial X^beta}{partial sigma^nu}dSigma。
　　当然，Nambo-Goto作用量与Polyakov作用量最开始都是针对弦而言的。
　　因而，现在我们可以看到，在弦论中，所有D-膜的作用量都可以从点粒子作用量来外推得到——也由此可见，一旦我们明确了基本概念是什么以后，对任何情况都可以用基本概念很方便地得到所要的结论。
　　基础是最重要的——樱木花道语。
　　事实上，现在如果我们愿意，我们可以迅速地在Finsler几何中写下D-膜的作用量——只要把这里的体元改成诱导Finsler体元就好了，陈省身对这个问题，早在几十年前就已经给出了答案了。
　　可见，概念清晰以后，物理的推广是很容易的。
　　同时，从这里我们也能看清这么一个问题：弦论，以及超弦和M，说到底都是“量子力学”，不是“量子场论”。
　　我们这里在获得了D-膜的作用量以后，自然可以用路径积分将它们量子化，但这样的做法事实上和将点粒子路径积分一样，得到的是最原始的薛定谔方程，是点粒子的量子力学——而在这里，就是D-膜的量子力学，但不是量子场论。
　　事实上上述所有的D-膜都是“粒子”的，不是“场”。
　　尤其，所有的D-膜在“场化”以后，应该得到的是类似于旋量场的场。矢量场作为规范场，是时空的纤维丛结构——是与旋量场截然不同的。
　　而对于场，尤其是旋量场，究竟是什么，我们现在还不知道。

　　可以说，场以外，粒子的所用情况，最终都可以囊括在Nambo-Goto作用量中。
　　而场究竟是什么？我们现在子依然无所获——但可以肯定的是，将场理解为“弥漫全空间的物理实体”是不够的，因为如果将它作为一个点粒子系宗，那我们应该得到的作用量从形式上说是点粒子式的，质量是一次项，而不是二次项（比如标量场）；而如果将场理解为一张三维面甚至四维面，那么从对应的Polyakov作用量可以看出，此时场应该随着坐标的增大而增大，但这是现实中不会发生的现象。而且这样也只能解释矢量场，对于标量场和旋量场，这样的理解是错误的。
　　所以，可以肯定的是，场是与D-膜截然不同的一类存在。

2010-5-25 02:24 回复

碘化亚铜
5楼

LOST果然夜猫子……半夜两点……

2010-5-25 10:07 回复

LostAbaddon
32位粉丝
6楼

　　加一段昨天忘记写的东西……

　　最后说一些有点跑题的话。
　　在上面我们最后得到Nambo-Goto作用量的时候，我们应该注意到这么一个很有趣的问题：粒子（现在就是D-膜）的作用量就是它的“张力”在自身运动而形成的世界体上的积分，因而是“总张力”，反应了这个世界体的“刚性程度”。这个概念用来理解“质量”尤其是“惯性质量”是很有帮助的。但它似乎暗示着这么一件事情：这个世界体是预先就存在的。
　　你想啊，随着时间的推移，难道那根弦或者圈圈或者之类的世界体就自己合成出来了？
　　如果粒子还是粒子，是一个三维客体，在四维中运动，那不需要考虑这个问题——它本来不在那里，后来跑到那里了。
　　但现在作用量是整个世界体的积分——还包括了时间上的积分，那对不存在的东西怎么积分呢？这就是说，粒子的“历史”是固定地放在那里的，而粒子的“未来”也已经存在在那里了，只不过具体什么样我们不知道——放宽一点想，也许粒子的“未来”在那里，但是还没有在时空上被固定下来。
　　这样，或许能帮助我们理解量子化的路径积分——本来弦就没有被完全确定下来，它以一定频率在那里振动，从而需要对它画过的所有可能路径都积分。而最后，弦的未来被确定了，于是就发生了量子塌缩——因为要被“固定”在时空背景上。
　　从这个角度来看的话，似乎作用量与量子化的含义有了那么一点清楚。
　　但，这只是我的个人猜测。我上次猜测质量是几何量，结果坚持了8年后，抗战都胜利了，我却错了。

　　总之，对于量子化和作用量，还有质量和场，这些东西的思考是很有意思的东西。
　　我们也能看出，从纯思辨出发，结合一定的数理逻辑，也是可以对一些形而上的预设做出理智的筛选与判断的


2010-5-25 13:18 回复
护花铃
vwase
3位粉丝
7楼

回复：5楼
是今天早上,,不是昨晚了...

2010-5-25 14:03 回复
211.138.147.* 8楼

楼主研究弦论？

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2010-5-25 14:06 回复
KLZ毕业
丽雅Leah
9楼

主要研究Finsler几何和膜宇宙


2010-5-25 15:00 回复
假橙子
能量动量张量
10楼

哈密顿量现在看来事实上是能动张量的时时分量，并不是一个基本标量，而是张量的分量，所以不够基本。
----------------------------

这句我最喜欢.........

话说....看到作用量就想起路径积分,就想吐....纤维丛.....主从的截面.规范选择,伴从的截面.粒子场....主从的联络,...曲率,规范势.......每次看到都疯....


2010-5-25 16:51 回复

┿━沉沦ㄨ
37位粉丝
11楼

本人高中，以上内容实在难以看懂...

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2010-5-25 17:12 回复

inempty
42位粉丝
12楼

lz不愧实力深厚，写得很棒啊。不过我看完有三点不太明白：

1。质量为速度模长那里的一点推导。点粒子碰撞过程中，四动量守恒的能量守恒部分有m^2c^4项，这一项在速度质量联合变换下显然不是不变的。这样保持三动量不变的三速度—质量联合变换不能保证四动量守恒不变。而让质量和四速度联合变换是不可能的，因为四速度永远是1。这样不知道你的意思是什么？

2.为什么全同粒子体系的拉氏量用场算符表达后，一定要求质量项对质量为一次？

3.弦振动导致路径积分的观点，似乎不能解释不同e^iS之间的相干叠加？

2010-5-25 21:16 回复
115.25.24.* 13楼

典型的还原论啊


2010-5-25 21:20 回复

LostAbaddon
32位粉丝
14楼

1，四动量的能量部分，也就是其时间分量，为msqrt(1-v^2)，不含m^2。你说的是平方以后的项，或者就是能动张量的时时分量，和我说的不是一个东西吧？

2，呃，你说的“全同粒子体系”是哪段？

3，那段是我乱想的，还没想清楚，能不能这么处理还不知道呢，等有时候算算去。


2010-5-25 21:44 回复

inempty
42位粉丝
15楼

1.我用的是这个(sqrt(p^2c^2+m^2c^4),p),保持三动量p不变，质量和速度分别改变，显然会改变能量分量。你的意思是不是说四维速度的模不是1，而是m^2？这样不同粒子在引力场中运动轨迹就不同了吧
2.“但可以肯定的是，将场理解为“弥漫全空间的物理实体”是不够的，因为如果将它作为一个点粒子系宗，那我们应该得到的作用量从形式上说是点粒子式的，质量是一次项，而不是二次项（比如标量场）”这是为什么呢？

2010-5-25 23:56 回复
KLZ毕业
丽雅Leah
16楼

2.“但可以肯定的是，将场理解为“弥漫全空间的物理实体”是不够的，因为如果将它作为一个点粒子系宗，那我们应该得到的作用量从形式上说是点粒子式的，质量是一次项，而不是二次项（比如标量场）”这是为什么呢？

---------

我觉着这个问题的根源在于，作为点粒子的系踪和场的差别还是在于前者不描写粒子的产生与湮灭，所以能导出质量项的那个差别。呵呵，这是我个人理解了……


2010-5-26 00:48 回复

LostAbaddon
32位粉丝
17楼

　　sqrt(p^2c^2+m^2c^4)，这个东西出来就是m/sqrt(1-v^2)，也就是mU^t，U为4-速度矢量。3-动量不变而质量与速度改变，你认为可能么？动质量是速度（模长）的单调函数，怎么可能动量不变而质量和速度都变？我说的是完全弹性碰撞，这个过程是不存在的吧。
　　丽雅说的也是相对论性量子力学的重大缺陷，所以后来才出现了量子场论。

2010-5-26 19:56 回复
KLZ毕业
hzy3000
11位粉丝
18楼

楼主一定看过可怕的对称这本书吧

2010-5-26 20:28 回复

LostAbaddon
32位粉丝
19楼

呃……

所有跟帖： 

• 引力场中，我们知道，点粒子走的依然是测地线，因而现在作用量就可以理解为起点与终点固定的世界线的长度乘上质量 -marketreflections- ♂ (653 bytes) () 05/26/2010 postreply 14:30:20

• 相位：振动是某些物理量（如位移）的取值在某些特定值（如平衡位置）附近随另一些量（如时间）的变化。量子物理中的相位有物理意义，表示 -marketreflections- ♂ (12323 bytes) () 05/26/2010 postreply 14:41:54

• 《古典物理学原理 》 如果光速u在点A和B之间的路径上连续变化，费马原理就可以表示为要求速度的倒数沿路径积分 -marketreflections- ♂ (20241 bytes) () 05/26/2010 postreply 15:48:22

• 作用量或能量是和质量（人群，一定的密度，一堆质量引起附近时空弯曲） -marketreflections- ♂ (8074 bytes) () 09/22/2010 postreply 17:20:08

• LostAbaddon 一个系统的作用量知道了，那么如果我们要做经典物理，就用Eular方程，经典物理尽掌握 -marketreflections- ♂ (3592 bytes) () 09/22/2010 postreply 17:22:06

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