在规则运动情形，相点轨迹对于初始条件的微小变动是稳定的，在演化过程中，ρ(t)将仍取δ-函数型的概率分布，在极限条件下逼近哈密顿

来源: marketreflections 于 2010-09-23 15:26:15 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (5943 bytes)

http://www.qiji.cn/baike/Detailed/20828.html

量子动力学问题与经典动力学问题间的对应
（correspondence between quantum and classical dynamical problems）

在量子力学发展初期，人们面对着一系列全新的实验事实如波粒二象性等，意识到已进入了经典力学不完全适用的范围，必须突破经典力学原来的框架，去发展新的量子力学。但同时也意识到在经典力学适用范围内，经典力学依然是正确的相对真理。新的量子力学是对于客观规律的进一步的认识，但与原来的经典力学之间仍应有明确的对应关系。基于这样的思考，尼·玻尔很早就提出了对应原理。即使玻尔没有对他的对应原理给出精确的表述，但这一有深刻意义的思想对量子力学的创建仍然起到了决定性的作用。虽则由于历史条件，对某些问题如量子动力学中的初始态问题未能很好解决，使得在一个时期内量子力学不能像经典力学那样，按因果关系去理解自然界的事件在空间时间中的演化过程，20世纪中叶以后，经典混沌运动的研究的成就，又重新唤起了人们对于这一问题的注意。而今，在新的历史条件下，再来审视这一问题，可以看到这一问题是能够解决的。

为方便起见，对量子力学的基本框架先就运动学和动力学两方面分开讨论。在运动学描述体系方面，的确作了实质性的运动。对应于经典力学中一对对基本共轭变量qi，pi，在量子力学中是相应的不能互易的线性算子，它们作用于线性空间中的态，而且这种量子态是具有概率涵义的。线性算子、线性空间中的态和态的概率涵义三者是不可分割的，它们结合在一起才能给出具有经典对应的期望值。它们各自的性质是彼此关联着的，是根据一系列全新的实验事实而提出来的。当然，也要尽可能地考虑到与经典有关性质的对应。因为经典力学中一对对基本共轭变量必须都满足基本泊松括号，量子力学中一对对基本共轭变量的相应的不可互易的线性算子必须都满足相应的量子形式的基本泊松括号。具有概率涵义的态|ψ〉，只要表为

（1）

也立刻与经典力学中的概率密度函数相对应

（2）

（3）

究竟还应有什么样的性质，仅仅从运动学描述角度考虑是不够的，还必须从动力学角度去考虑。运动学与动力学也是不能截然分割的。现在应先承认在动力学中也得有它的经典对应，就是说式（3）中的将是t的函数。

在动力学中，随t的变化可由两种绘景给出，在海森伯绘景中，随t变化，而不随t变化，于是给出了动力学方程



（4）

称为海森伯方程。在薛定谔绘景中，ψ(t)随t变化，而不随t变化，于是给出了动力学方程

， （5）

或

|ψ(t=0)〉=|ψ°〉

前者称为诺伊曼方程，后者称为薛定谔方程。因为有式（1）所示的，诺伊曼方程和薛定谔方程二者是等价的。

海森伯方程和经典力学中的哈密顿方程相应，诺伊曼方程则和经典力学中的刘维尔方程相应。今已知以经典力学中，如能通过正则变换将基本共轭变量p，q化为作用量、角变量I，θ，同时使系统的哈密顿量化为只含作用量I而与角变量θ无关的形式，则有关的哈密顿方程显然是可积的，相应于初始条件I(t=0)=I°，q(t=0)=θ°的解为

I(t)=I°，θ(t)=θ°+ω(I°)t， （6）

运动总是规则的。用刘维尔方程来讨论时，则应将初态ρ°取为相点I°，θ°附近的δ-函数型的概率密度分布。在规则运动情形，相点轨迹对于初始条件的微小变动是稳定的，在演化过程中，ρ(t)将仍取δ-函数型的概率分布，在极限条件下逼近哈密顿方程所给出的结果。但如果系统受到扰动，动力对称性约束已经丧失，不能再像原来那样化为只含作用量的形式，则虽取原来那样的初始条件，也不能给出原来那样的解。扰动足够强时，运动将是极不规则的混沌运动。动力学方程中的哈密顿量的整体性质与初态的整体性质是否一致，对于所给出的反映演化过程的解，有极为重要的关系。根据关于量子力学基本框架的分析来看，在量子情形也必然会给出与经典情形相对应的结果。

近期的研究工作已具体论证了这一点。第一、经典力学中关于可积性的刘维尔定理，只是通过正则变换来明白显示系统哈密顿量与角变量无关的动力对称性，所涉及的自由泊松括号来表述的李代数不同实现形式间的变换与变换后的哈密顿量具有的动力对称性的李代数特征，都有明确的量子经典对应，故这一刘维尔定理对于相应的量子情形同样适用。第二、通过反映哈密顿量的动力对称性的李代数和李群，指出了哈密顿量的态空间与它的动力对称性群的表示空间之间的联系。因为不论经典情形或量子情形，都会存在这样的联系，所以也就指出了量子态空间和经典态空间之间的对应。第三、在量子力学中，哈密顿量的基态虽与经典力学中的静平衡态不同，具有零点涨落，但指出了它是具有最小不确定度的态，于是通过动力对称性群的不同元素的作用，给出了与经典相点一一对应的具有最小不确定度的量子态。这样，通过运动学和动力学的统一考虑，在严格考虑不确定性原理的前提下，给出了量子态空间与具有最小不确定的特殊量子态的各自的量子经典对应。

在上面的讨论中，量子经典对应是通过含普适普朗克常数的量子泊松括号来实现的。因此，在求解量子动力学方程时，必然要涉及表述一对对基本共轭变量的不可互易的算子间的量子泊松括号，必然会在所得到的动力学方程解中显示出不可避免的量子效应。因此，关于量子经典对应还应作进一步的考虑。

就简单可积量子系统例如三维各向同性的谐振子而言，哈密顿量中只含两个参量，一个是质量m0，另一个是势参量k0，连同普适普朗克常数，共有三个量。这里一共涉及三个基本动力学量p，q及t，可以对它们作合适的标度变换，使动力学方程及量子泊松括号中不再出现m0，k0及。但如果考虑同一类三维各向同性谐振子，它们具有相同的k0，但有不同的m。比较研究它们的量子效应的强弱时，也应作合适的标度变换。但因为只有三个基本动力学量单位，故动力学方程及量子泊松括号中必然会出现一个与有关的可变量。如果使动力学方程都化为完全相同的形式，则量子泊松括号将化为如下形式，

（7）

扮演着等效普朗克常数的角色，显然，随着m对于m0的相对值的逐渐变大，量子效应逐渐变弱。运用类似的考虑，还可以对其他更复杂的可积的以至不可积的同类量子系统都用等效普朗克常数的大小来概括地表述它们的量子效应的强弱。这样，使得关于量子经典对应的考虑有了一个量化的标准。当等效普朗克常数逐渐变小时，量子系统的离散能谱逐渐逼近于经典情形中的连续能谱，而量子可积系统的具有最小不确定度的特殊的量子态则逐渐逼近于相应的经典情形中的δ-函数型的概率分布。

将上面的讨论中，从包括动力学方程和初始条件在一起的量子动力学问题的要求出发，依据动力学对称性这一类属性特征从理论上给出了与之紧密联系的、且具有经典对应的最小不确定度态。不仅如此，近年来实验技术的发展，使得能将微观粒子捕入势阱，再进一步将其冷却，从实践上提供了制备这种最小不确定度态的可能。所以在量子力学现有框架内，像经典情形，完整地考虑量子动力学问题，不仅具有理论的而且还具有实践的意义。很显然这样的量子动力学问题决不能因为其中的动力学方程是线性的而把整个动力学问题看成是一个线性问题。由于量子与经典动力学问题间的明确地存在着对应，它们各自给出的结论也必然有明确的对应。

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