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评曾谨言 1 评曾谨言的量子力学教材 关 洪 (中山大学物理系, 广州 510275; e-mail: adsgh@zsu.edu.cn ) 从 1981 年起,曾谨言教授陆续出版了或繁或简的多种版本的量子力学教材,成为在我国流 行最广,影响最大的一系列量子力学教科书.这些教材在国内量子力学的教学中,确实起到了 一定的积极作用.它们的最大特色是搜集了或者新撰了丰富的例题和习题,还有专门与之相配 套的几大本量子力学习题和题解之类的辅助读物,比较适应当前在国内大学里占着支配地位的 应试教育的需求,尤其是物理专业本科生考研的需要. 但是,曾谨言的量子力学教材在基本原理方面的叙述,存在着不少有欠妥当甚至明显错误 之处.这些教材流传开来,亦给国内讲授量子力学的教师和学习量子力学的学生造成了对一些 基本概念的广泛误解.我们在这里没有兴趣对曾谨言的多种量子力学教材进行版本研究,亦没 有时间和精力跟进他在层出不穷的各种新版本和新印次里的改动.以下主要对根据他最初的一 本正式出版的教材《量子力学》[1] 和后来改写的一本简明教材《量子力学导论》[2] 里关于一些 基本原理的叙述,作出几点评论.好在他写的其他几种版本和印次在这些方面的陈述,亦都是 大同小异的,就不一一引述了. 一 量子力学里的自由粒子状态可以归结为平面波或者波包吗? 文献 [1] (45 页)说: "与具有一定能量 E 及动量 p 的粒子相联系的是平面单色波 [波函 数]" ,这是完全正确的.但下面说的"对于自由粒子的一般状态,波函数具有波包的形式,即 为许多平面单色波的叠加"就有问题了.因为,任意自由粒子的态函数,固然可以由许多平面 单色波叠加而成,但它不一定就是波包. 这是因为, 顾名思义, 波包是指波函数局限在空间中的一个狭小区域的情况, 例如在文献 [1] 附录里说的高斯型波包.事实上,在讨论从量子力学到经典力学的过渡时,常常也是采用波包 模型来进行的. (例如文献[1],466-469 页)由此可见,曾谨言所说的量子力学里的自由粒子, 仅限于同作匀速直线运动的经典力学里的自由粒子相对应的平面单色波,以及作为经典粒子模 型的波包.一句话,他说的自由粒子,都离不开同经典粒子的对应.这种讲法,容易使人误解, 量子力学里的自由粒子就是经典力学里的自由粒子的对应物. 事实当然并非如此.在量子力学里,凡是零势薛定谔方程的解,都代表自由粒子.平面波 形式的态函数不过是零势薛定谔方程在直角坐标系里的分离变数解.此外,例如零势薛定谔方 程在球面坐标系里采取球面波形式的态函数解,同样可以描写量子力学里的自由粒子.我们在 散射问题所用到的渐近波函数里有一项,就是用球面波描写的,经过散射后远离散射中心出射 的自由粒子.在弹性散射过程中,出射粒子的动量大小不变,但由散射振幅决定的出射方向则 是不确定的.我们要计算的正是它们的总截面和角分布,而在实验里关心的也正是这种统计分 布.在量子力学里的这种按一定的统计分布朝向四面八方出射的自由粒子概念是没有经典对应 评曾谨言 2 物的.[3] 更普遍地讲,有多少种正交坐标系(例如,曾经用来求解氢原子和库仑散射等问题的还有 旋转抛物线坐标系等) 或者说有多少种把零势薛定谔方程分离变数的方法, , 在量子力学里就有 多少种类型的自由粒子.它们决不是用平面波和波包这两种特例就能够涵盖得了的. 二 只有波才能够叠加吗? 曾谨言的量子力学教材里是这样陈述态叠加原理的: "态叠加原理是'波的叠加性'与'波 函数完全描述一个微观体系的状态' 这两个概念的概括"([1], . 40-41 页) 这种陈述别具一格, 是在任何别的教科书里不可能看到的. 我们首先要问:这里说的"波的叠加性"是什么意思?态叠加原理是量子力学最基本的一 条原理;亦即是说,在量子力学里没有比它更早的原理.而按照曾谨言的说法,这条原理是建 筑在"波"的概念的基础之上的.所以,按照曾谨言的逻辑,波的概念必定是先于量子力学而 存在的.因此,他在这里说的"波" ,只能够是经典物理学里的"波"的概念.纵观全书,从一 开始大讲行波和驻波到把 probability amplitude 称为"几率波幅" ([2],29 页) ,他的确是试图 用经典物理学里波的概念来统率整部量子力学的.顺便提一下,probability amplitude 这一英语 名词里根本没有"波"的意思, "几率波幅"或者"概率波幅"这类名称也是曾谨言所独创,而 在任何其他文献里都不可能找到的[4]. 其次,大家知道,在经典物理学里,叠加性确实是波动所特有的性质;在经典物理学里, 粒子肯定是不能够叠加的.那么,曾谨言在阐述态叠加原理的时候把叠加性归于波的性质,是 否意味着在量子力学里粒子就没有叠加性呢? 然而,量子力学的真正惊人之处,正在于粒子也是可以叠加的.在这方面迈出引人瞩目的 第一步的,是 Gell-Mann 和 Pais 在 1955 年对中性 K 介子双重态的成功处理,这项贡献曾经被 [6] Feynman 誉为 "理论物理学最伟大的成就之一" . 后来又陆续出现了以 Cabbibo 角和 Weinberg 角等参数为表征的粒子叠加或者混合.由此可见,曾谨言关于态叠加原理只是反映波的叠加性 的陈述,确实是有欠妥当的. 按照 Feynman,量子力学区别于经典力学的根本之点,在于量子力学里满足叠加规则的是 几率幅度而不是几率本身.实际上,这就是态叠加原理的核心内容.在量子力学里,叠加的就 是作为几率幅的态函数.所以,描写物理系统的态函数所满足的薛定谔方程,必然是一道齐次 的线性微分方程.薛定谔方程的解自然就具有可叠加性.画蛇添足地把它们说成是波,不仅是 没有必要的,而且也像画蛇添足一样,会从本来是正确的表述变成了错误的说明. 三 态叠加原理意味着波函数是系统的完全描写吗? 我们再来考察曾谨言说的"态叠加原理是'波的叠加性'与'波函数完全描述一个微观体 系的状态'这两个概念的概括"这句话的后半部分. 原来,曾谨言在教材里事先界定了"波函数完全描述一个微观体系的状态'这一陈述的意 义是"当ψ 给定后,粒子所有力学量的观测值的分布几率都确定了.([1],40 页)那么,你先 " 评曾谨言 3 规定了运用波函数能够做到的事情是对一个微观体系的状态的 "完全描述"然后再建立一条 , "概 括"了"波函数完全描述一个微观体系的状态"的概念的原理,这种做法不是一种明显的逻辑 循环吗?! 不仅如此,曾谨言对这种"波函数完全描述一个微观体系的状态"的私家规定,完全不符 合物理学界对于"完全描述"的公认理解.按照物理学界的公认看法, "波函数完全描述一个微 观体系的状态"的意思,就是说除了波函数之外,再也不需要其他什么东西来描写物理系统的 状态.历史上在这方面引起过重大争议的一个例子,就是认为量子力学里运用波函数的统计式 描写是不完全的, 必须引入隐变量 (hidden variable) 才有可能得到对于系统的完全描写的理论. 在文献 [7] 里,我们分别引述了反对隐变量理论的 von Neumann 和赞成隐变量理论的 Bohm 的有关言论(还有别的一些参考文献) ,他们都是在上述意义上来谈论是否"波函数给出 了对一个个别系统的最完备的可能描述" ,以及是否有可能引入隐变量的. 由此可见,曾谨言关于态叠加原理陈述的后半部分,不仅表现出一种逻辑循环或者同义反 复的性质,而且亦违背了物理学界对于波函数是否对系统的完全描述的公认理解. 四 使用厄密算符描写动力学变量是因为它的本征值是实数吗? 曾谨言的量子力学教材里, 继证明了 "体系的任何状态下, 其厄密算符的平均值必为实数" 的定理之后,又证明了其逆定理"在任何状态下平均值均为实的算符必为厄密算符. "然后作出 这样的论断: "实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数, 因此相应的算符必须是 厄密算符.([2],86 页)这种貌似严格的论证,其实是经不起推敲的一种似是而非的论断.[7] " 因为,用一个实数固然可以描写一个实数,但是用多个实数也可以描写一个实数.一个复 数无非是一组两个实数,用它去描写一个实数,完全是能够胜任的.实际上,这种复杂的办法 如果能够取得方便的代价的话,也是完全可行的.例如,在电学里表示一种确定频率的电量随 时间变化的因子 cos(ω t),等于复数的相位因子的实部 Re [exp (iω t )].于是就常常用复函数 exp(iω t) 去描写电学量的变化.这样做的好处是计算上的方便,只要把最后的结果取实部,就 能得到所需的答案.所以,并不是只有用实数,才能同观察值相对应. 在量子力学里必定要用厄密算符(准确地讲是自伴算符,以下不作区分)来描写动力学变 量的真正原因,是这种算符具有完备的本征函数组,可以用它来作为任意态函数展开的基.而 只有存在着这种展开,才得以在一般的情况下,实现态函数的概率诠释.这就好像在信号处理 里必须要有完备的一组三角函数,才可以有傅里叶展开式,才能够做频谱分析一样.因此,在 量子力学里,厄密算符本征值的实性,只是一种带来方便的副产品. 例如,Dirac 在他的名著《量子力学原理》里,先说了"一个自伴算符…对应于一个实的 动力学变量" ([8], p.27) ,再说"我们称呼一个其本征态组成一组完全集的的实动力学变量为一 个观察量.([8], p.37)他就这样强调了具有完备的本征函数组这一性质,是同观察量相对应的 " 算符所必须满足的首要条件. 然而,曾谨言在文献 [2] 里(98 页)说, "按照态叠加原理"就可以把任意态函数用厄密 算符的本征函数组展开,这种讲法明显是不对的.因为如果一组本征函数不是完备的话,只凭 态叠加原理亦是不能够作为任意态函数展开的基的. 评曾谨言 4 而在他关于"在量子力学中'力学量用算符来表达'的含义…"或者"量子力学中的力学 量用相应的厄密算符来表达,其含义可分下列几方面…"的总结里,亦没有提到厄密算符本征 函数组的完备性([1],128 页;[2],99 页) .由此可见,在曾谨言这种本末倒置的推理体系里, 厄密算符本征函数组的完备性只是一项不值得强调的附带性质,没有揭示出其中的根本意义. 经验表明,这种讲述方法容易对读者产生误导.结果,常常会看到不少读过量子力学的学生, 甚至教过这门课程的先生,都以为这种完备性是可有可无的;因为如果他们只读过曾谨言的书 的话,就不会知道这种完备性是量子力学基本原理里面所必须含有的重要成分. 五 光子可以自己干涉吗? Dirac 的《量子力学原理》一书第一章"叠加原理"第 3 节的标题是"光子的干涉" ,其中 使用了光子语言来描述光的干涉和衍射现象[8].例如他在这一节里说过"每一个光子都部分地 进入两支分束中的每一支.每一个光子就这样只同它自己干涉.([8],p.9)这一类的话,此后 " 引起了长达几十年之久的激烈争论. (参看;[5],第 3.4,7.4 节) 在曾谨言的教材里,他亦写下了"双缝衍射中是一个光子自己与自己干涉"这样的话([1], 44 页) ,明显是采用了 Dirac 的说法.而在这本教科书的新版本里[9],曾谨言又加了一个脚注, 引用了 Glauber 的一篇短文[10],并且解释说"Glauber 建议,为纪念 Dirac 所作出的伟大贡献, 不要再去争论和纠缠他早年讲过的一句过于简单的话,而只须正确理解量子力学中干涉的实质 就可以了. " 这里提到的 Glauber,就是 1963 年最早提出光的相干态那篇论文的作者,也可以说是量子 光学的创始人之一.让我们来看看他到底是说了些什么. Glauber 在这篇短文里,首先说 Dirac 写下那些"被当做圣经文句"的名言的时候, "没有意 识到如此不成熟的陈述竟会造成多么严重的危害" .接着,Glauber 在评论近期围绕这个问题的 几篇争论文章的时候指出, "最重要之点是在量子力学里干涉的不是粒子…而是几率幅."说 " 光子自己干涉或者它们相互干涉都是没有意义的. " 最后,Glauber 下结论说: "总而言之,那几篇讨论文章以及 Dirac 的名言本身,都是大错特 错的(out in left field) .为了纪念 Dirac,并且表示对他在物理学上的惊人贡献的尊敬,现在是 把那句名言束之高阁 (put to rest) 并且原谅他在量子力学的早期岁月里写下那些从那时候起业 , 已在物理学家当中引起混乱的过分简单的评论的时候了. " 由此可见,Glauber 并不是不讲原则地和稀泥.他首先指出了 Dirac 那些影响广泛的名言是 完全错误的,运用光子语言去描写干涉是没有任何意义的.他的建议其实是,在这一点上取得 共识的基础上,最好是大家都不再引用或者复述 Dirac 的那些话语,不再计较他的那些错误. 然而,我们在曾谨言的书里看到的是,一方面复述了 Dirac 关于"光子自己与自己干涉"的 名言,一方面又引用 Glauber 的文章并且表示同意他的意见.曾谨言这种把互相矛盾的两种讲 法硬捏到一起的做法,也是 out in left field,同 Glauber 文章的原意相距甚远. 六 根据粒子全同性原理,全同粒子系统只能选择全对称波函数或者全反对称波函数吗? 评曾谨言 5 量子力学里对于全同粒子系统的描写,即粒子全同性原理和全同粒子系统态函数对称性的 选择,在推理逻辑上存在着一些需要认真梳理之处.不少量子力学教科书对这个问题都没有处 理清楚,曾谨言的教材就是其中的一个例子. 例如,文献 [1] 第 5.6 节里先说"同类粒子组成的多粒子系的一个基本特征是:哈密顿量 对于任何两个粒子交换是不变的,即交换对称性. "然后又说"在量子力学里,哈密顿量的这个 特点,反映到描述体系状态的波函数上,就有了新的内容. "这里指的新内容,就是"对于全同 粒子多体系,任何两个粒子交换一下,其量子态是不变的…" 这种把全同粒子系统波函数的交换不变性,说成是哈密顿量交换对称性的"反映"的说法 是没有任何根据的.事实正好相反,我们能够从全同粒子系统波函数的交换不变性,推导出哈 密顿量的交换对称性(具体推导可以参看文献 [11]) .亦即是说,量子力学里多个全同粒子的 波函数的交换不变性具有基本的意义,而在经典力学里亦已存在着的相应哈密顿量的交换对称 性,在量子力学里里则是波函数交换不变性的结果. 下一个问题是,按照粒子全同性原理的要求,全同粒子系统只能选择全对称波函数或者全 反对称波函数吗? 在文献 [2] "5.4.1 全同粒子系的交换对称性"这一小节里,通过一系列的论证作出这样的 论断: "惟一可能的选择是量子态是所有的共同本征态. 仔细分析表明, 所有的共同本征态是存 在的,即完全对称波函数和完全反对称波函数. "亦即是说,全同粒子系统只可能选择全对称波 函数或者全反对称波函数,这是从粒子全同性原理出发,进行分析和推理而得出的结论. 这样的一种论述是不对的.例如,Schiff 在他的书里明确指出, "在一个对称的哈密顿量支 配下,有别于这两种对称性的其他对称性特征也是不随时间而变的,但那些对称性不对应于在 自然界发现了的粒子. [12] 这句话明显不排除在满足全同性原理的前提下,波函数还可以有其 " 他的交换对称性.事实上,在夸克模型刚提出来的时候,为了绕过由三个夸克的全对称状态组 成普通重子的统计性困难,曾经有人提出夸克满足一种既非全对称亦非全反对称的 parastatistics,它是不会违反量子力学的任何原理的.后来真正解决了这个问题的是另外开辟了 颜色自由度,而夸克则仍然满足普通的费米统计. 正确的做法应当是,在全同性原理的基础上,需要另行引入具有独立意义的"对称化公设" 来规定全同粒子系统波函数的对称性质.单凭全同性原理是做不到这一点的.在国内外的许多 量子力学教材里,已经采取了这种逻辑上比较清楚的叙述.[13] 七 关于量子几何相位 在文献 [2] 第二版和文献 [9] 卷 II 里,曾谨言增添了叙述量子几何相位的章节,其中主要 的一些基本概念是不确切和(或)不正确的.近年来在这方面的热烈争论,已经引起了国内物 理学界的普遍关注.因为李华钟教授已经对这一问题作了很清楚的评述[14, 15],我们就不在这里 展开讨论了. 评曾谨言 6 参考文献 [1] 曾谨言,量子力学,上,下册,北京:科学出版社,1981 [2] 曾谨言,量子力学导论,北京:北京大学出版社,1992 [3] 参看:关洪,量子力学基础,北京:高等教育出版社,1999,25-26 页 [4] 量子力学里的"波函数"和"波动方程" ,是历史上由于薛定谔把一切都说成是波的有失偏 颇的观点而留下来的称谓(参看文献[5],71-72 页) .我们认为,更确切的名称应当是"态 函数"和"运动方程" (参看文献[3]) . [5] 关洪, 量子力学的基本概念, 北京:高等教育出版社, 1990 [6] R. P. Feynman, Theory of Fundamental Processes, New York: Benjamin, 1962, p. 50 [7] 参看:关洪,再谈态叠加原理,大学物理,19 卷 8 期(2000) ,21 [8] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford U. P., 1958 [9] 曾谨言,量子力学第三版,卷 I,北京:科学出版社,2000,59 页 [10] R. J. Glauber, Dirac's famous dictum on interference: one photon or two? Am. J. Phys. 63(1995) 12 [11] 关洪,在量子力学里先有算符,还是先有态矢?大学物理,19 卷 5 期(2000) ,29;更详 细的论述和证明可参考:L E.Ballentine Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice - Hall, 1990. chapter 17. [12] L. I. Schiff, Quantum Mechanics, New York: McGraw-Hill Book Co. 1968, p.365 [13] 例如:文献 [3],第 11.1 节;文献 [11] 所引 Ballentine 的书,第 17 章;另外可参看文献 [5],54 页的讨论 [14] 李华钟,关于量子几何相位的评注-评三本量子力学教材中一个基本概念,大学物理,21 卷 7 期(2002) ,18 [15] 李华钟,关于 Lewis-Riesenfeld 相位和量子几何相位,物理学报,53(2004)1643 Comments on Zeng Jinyan's Textbooks of Quantum Mechanics Guan Hong * 全国量子力学 2004 年年会(2004 年 10 月,张家界)书面交流论文
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评曾谨言 1 评曾谨言的量子力学教材 关 洪 (中山大学物理系, 广州 510275; e-mail: adsgh@zsu.edu.cn ) 从 1981 年起,曾谨言教授陆续出版了或繁或简的多种版本的量子力学教材,成为在我国流 行最广,影响最大的一系列量子力学教科书.这些教材在国内量子力学的教学中,确实起到了 一定的积极作用.它们的最大特色是搜集了或者新撰了丰富的例题和习题,还有专门与之相配 套的几大本量子力学习题和题解之类的辅助读物,比较适应当前在国内大学里占着支配地位的 应试教育的需求,尤其是物理专业本科生考研的需要. 但是,曾谨言的量子力学教材在基本原理方面的叙述,存在着不少有欠妥当甚至明显错误 之处.这些教材流传开来,亦给国内讲授量子力学的教师和学习量子力学的学生造成了对一些 基本概念的广泛误解.我们在这里没有兴趣对曾谨言的多种量子力学教材进行版本研究,亦没 有时间和精力跟进他在层出不穷的各种新版本和新印次里的改动.以下主要对根据他最初的一 本正式出版的教材《量子力学》[1] 和后来改写的一本简明教材《量子力学导论》[2] 里关于一些 基本原理的叙述,作出几点评论.好在他写的其他几种版本和印次在这些方面的陈述,亦都是 大同小异的,就不一一引述了. 一 量子力学里的自由粒子状态可以归结为平面波或者波包吗? 文献 [1] (45 页)说: "与具有一定能量 E 及动量 p 的粒子相联系的是平面单色波 [波函 数]" ,这是完全正确的.但下面说的"对于自由粒子的一般状态,波函数具有波包的形式,即 为许多平面单色波的叠加"就有问题了.因为,任意自由粒子的态函数,固然可以由许多平面 单色波叠加而成,但它不一定就是波包. 这是因为, 顾名思义, 波包是指波函数局限在空间中的一个狭小区域的情况, 例如在文献 [1] 附录里说的高斯型波包.事实上,在讨论从量子力学到经典力学的过渡时,常常也是采用波包 模型来进行的. (例如文献[1],466-469 页)由此可见,曾谨言所说的量子力学里的自由粒子, 仅限于同作匀速直线运动的经典力学里的自由粒子相对应的平面单色波,以及作为经典粒子模 型的波包.一句话,他说的自由粒子,都离不开同经典粒子的对应.这种讲法,容易使人误解, 量子力学里的自由粒子就是经典力学里的自由粒子的对应物. 事实当然并非如此.在量子力学里,凡是零势薛定谔方程的解,都代表自由粒子.平面波 形式的态函数不过是零势薛定谔方程在直角坐标系里的分离变数解.此外,例如零势薛定谔方 程在球面坐标系里采取球面波形式的态函数解,同样可以描写量子力学里的自由粒子.我们在 散射问题所用到的渐近波函数里有一项,就是用球面波描写的,经过散射后远离散射中心出射 的自由粒子.在弹性散射过程中,出射粒子的动量大小不变,但由散射振幅决定的出射方向则 是不确定的.我们要计算的正是它们的总截面和角分布,而在实验里关心的也正是这种统计分 布.在量子力学里的这种按一定的统计分布朝向四面八方出射的自由粒子概念是没有经典对应 评曾谨言 2 物的.[3] 更普遍地讲,有多少种正交坐标系(例如,曾经用来求解氢原子和库仑散射等问题的还有 旋转抛物线坐标系等) 或者说有多少种把零势薛定谔方程分离变数的方法, , 在量子力学里就有 多少种类型的自由粒子.它们决不是用平面波和波包这两种特例就能够涵盖得了的. 二 只有波才能够叠加吗? 曾谨言的量子力学教材里是这样陈述态叠加原理的: "态叠加原理是'波的叠加性'与'波 函数完全描述一个微观体系的状态' 这两个概念的概括"([1], . 40-41 页) 这种陈述别具一格, 是在任何别的教科书里不可能看到的. 我们首先要问:这里说的"波的叠加性"是什么意思?态叠加原理是量子力学最基本的一 条原理;亦即是说,在量子力学里没有比它更早的原理.而按照曾谨言的说法,这条原理是建 筑在"波"的概念的基础之上的.所以,按照曾谨言的逻辑,波的概念必定是先于量子力学而 存在的.因此,他在这里说的"波" ,只能够是经典物理学里的"波"的概念.纵观全书,从一 开始大讲行波和驻波到把 probability amplitude 称为"几率波幅" ([2],29 页) ,他的确是试图 用经典物理学里波的概念来统率整部量子力学的.顺便提一下,probability amplitude 这一英语 名词里根本没有"波"的意思, "几率波幅"或者"概率波幅"这类名称也是曾谨言所独创,而 在任何其他文献里都不可能找到的[4]. 其次,大家知道,在经典物理学里,叠加性确实是波动所特有的性质;在经典物理学里, 粒子肯定是不能够叠加的.那么,曾谨言在阐述态叠加原理的时候把叠加性归于波的性质,是 否意味着在量子力学里粒子就没有叠加性呢? 然而,量子力学的真正惊人之处,正在于粒子也是可以叠加的.在这方面迈出引人瞩目的 第一步的,是 Gell-Mann 和 Pais 在 1955 年对中性 K 介子双重态的成功处理,这项贡献曾经被 [6] Feynman 誉为 "理论物理学最伟大的成就之一" . 后来又陆续出现了以 Cabbibo 角和 Weinberg 角等参数为表征的粒子叠加或者混合.由此可见,曾谨言关于态叠加原理只是反映波的叠加性 的陈述,确实是有欠妥当的. 按照 Feynman,量子力学区别于经典力学的根本之点,在于量子力学里满足叠加规则的是 几率幅度而不是几率本身.实际上,这就是态叠加原理的核心内容.在量子力学里,叠加的就 是作为几率幅的态函数.所以,描写物理系统的态函数所满足的薛定谔方程,必然是一道齐次 的线性微分方程.薛定谔方程的解自然就具有可叠加性.画蛇添足地把它们说成是波,不仅是 没有必要的,而且也像画蛇添足一样,会从本来是正确的表述变成了错误的说明. 三 态叠加原理意味着波函数是系统的完全描写吗? 我们再来考察曾谨言说的"态叠加原理是'波的叠加性'与'波函数完全描述一个微观体 系的状态'这两个概念的概括"这句话的后半部分. 原来,曾谨言在教材里事先界定了"波函数完全描述一个微观体系的状态'这一陈述的意 义是"当ψ 给定后,粒子所有力学量的观测值的分布几率都确定了.([1],40 页)那么,你先 " 评曾谨言 3 规定了运用波函数能够做到的事情是对一个微观体系的状态的 "完全描述"然后再建立一条 , "概 括"了"波函数完全描述一个微观体系的状态"的概念的原理,这种做法不是一种明显的逻辑 循环吗?! 不仅如此,曾谨言对这种"波函数完全描述一个微观体系的状态"的私家规定,完全不符 合物理学界对于"完全描述"的公认理解.按照物理学界的公认看法, "波函数完全描述一个微 观体系的状态"的意思,就是说除了波函数之外,再也不需要其他什么东西来描写物理系统的 状态.历史上在这方面引起过重大争议的一个例子,就是认为量子力学里运用波函数的统计式 描写是不完全的, 必须引入隐变量 (hidden variable) 才有可能得到对于系统的完全描写的理论. 在文献 [7] 里,我们分别引述了反对隐变量理论的 von Neumann 和赞成隐变量理论的 Bohm 的有关言论(还有别的一些参考文献) ,他们都是在上述意义上来谈论是否"波函数给出 了对一个个别系统的最完备的可能描述" ,以及是否有可能引入隐变量的. 由此可见,曾谨言关于态叠加原理陈述的后半部分,不仅表现出一种逻辑循环或者同义反 复的性质,而且亦违背了物理学界对于波函数是否对系统的完全描述的公认理解. 四 使用厄密算符描写动力学变量是因为它的本征值是实数吗? 曾谨言的量子力学教材里, 继证明了 "体系的任何状态下, 其厄密算符的平均值必为实数" 的定理之后,又证明了其逆定理"在任何状态下平均值均为实的算符必为厄密算符. "然后作出 这样的论断: "实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数, 因此相应的算符必须是 厄密算符.([2],86 页)这种貌似严格的论证,其实是经不起推敲的一种似是而非的论断.[7] " 因为,用一个实数固然可以描写一个实数,但是用多个实数也可以描写一个实数.一个复 数无非是一组两个实数,用它去描写一个实数,完全是能够胜任的.实际上,这种复杂的办法 如果能够取得方便的代价的话,也是完全可行的.例如,在电学里表示一种确定频率的电量随 时间变化的因子 cos(ω t),等于复数的相位因子的实部 Re [exp (iω t )].于是就常常用复函数 exp(iω t) 去描写电学量的变化.这样做的好处是计算上的方便,只要把最后的结果取实部,就 能得到所需的答案.所以,并不是只有用实数,才能同观察值相对应. 在量子力学里必定要用厄密算符(准确地讲是自伴算符,以下不作区分)来描写动力学变 量的真正原因,是这种算符具有完备的本征函数组,可以用它来作为任意态函数展开的基.而 只有存在着这种展开,才得以在一般的情况下,实现态函数的概率诠释.这就好像在信号处理 里必须要有完备的一组三角函数,才可以有傅里叶展开式,才能够做频谱分析一样.因此,在 量子力学里,厄密算符本征值的实性,只是一种带来方便的副产品. 例如,Dirac 在他的名著《量子力学原理》里,先说了"一个自伴算符…对应于一个实的 动力学变量" ([8], p.27) ,再说"我们称呼一个其本征态组成一组完全集的的实动力学变量为一 个观察量.([8], p.37)他就这样强调了具有完备的本征函数组这一性质,是同观察量相对应的 " 算符所必须满足的首要条件. 然而,曾谨言在文献 [2] 里(98 页)说, "按照态叠加原理"就可以把任意态函数用厄密 算符的本征函数组展开,这种讲法明显是不对的.因为如果一组本征函数不是完备的话,只凭 态叠加原理亦是不能够作为任意态函数展开的基的. 评曾谨言 4 而在他关于"在量子力学中'力学量用算符来表达'的含义…"或者"量子力学中的力学 量用相应的厄密算符来表达,其含义可分下列几方面…"的总结里,亦没有提到厄密算符本征 函数组的完备性([1],128 页;[2],99 页) .由此可见,在曾谨言这种本末倒置的推理体系里, 厄密算符本征函数组的完备性只是一项不值得强调的附带性质,没有揭示出其中的根本意义. 经验表明,这种讲述方法容易对读者产生误导.结果,常常会看到不少读过量子力学的学生, 甚至教过这门课程的先生,都以为这种完备性是可有可无的;因为如果他们只读过曾谨言的书 的话,就不会知道这种完备性是量子力学基本原理里面所必须含有的重要成分. 五 光子可以自己干涉吗? Dirac 的《量子力学原理》一书第一章"叠加原理"第 3 节的标题是"光子的干涉" ,其中 使用了光子语言来描述光的干涉和衍射现象[8].例如他在这一节里说过"每一个光子都部分地 进入两支分束中的每一支.每一个光子就这样只同它自己干涉.([8],p.9)这一类的话,此后 " 引起了长达几十年之久的激烈争论. (参看;[5],第 3.4,7.4 节) 在曾谨言的教材里,他亦写下了"双缝衍射中是一个光子自己与自己干涉"这样的话([1], 44 页) ,明显是采用了 Dirac 的说法.而在这本教科书的新版本里[9],曾谨言又加了一个脚注, 引用了 Glauber 的一篇短文[10],并且解释说"Glauber 建议,为纪念 Dirac 所作出的伟大贡献, 不要再去争论和纠缠他早年讲过的一句过于简单的话,而只须正确理解量子力学中干涉的实质 就可以了. " 这里提到的 Glauber,就是 1963 年最早提出光的相干态那篇论文的作者,也可以说是量子 光学的创始人之一.让我们来看看他到底是说了些什么. Glauber 在这篇短文里,首先说 Dirac 写下那些"被当做圣经文句"的名言的时候, "没有意 识到如此不成熟的陈述竟会造成多么严重的危害" .接着,Glauber 在评论近期围绕这个问题的 几篇争论文章的时候指出, "最重要之点是在量子力学里干涉的不是粒子…而是几率幅."说 " 光子自己干涉或者它们相互干涉都是没有意义的. " 最后,Glauber 下结论说: "总而言之,那几篇讨论文章以及 Dirac 的名言本身,都是大错特 错的(out in left field) .为了纪念 Dirac,并且表示对他在物理学上的惊人贡献的尊敬,现在是 把那句名言束之高阁 (put to rest) 并且原谅他在量子力学的早期岁月里写下那些从那时候起业 , 已在物理学家当中引起混乱的过分简单的评论的时候了. " 由此可见,Glauber 并不是不讲原则地和稀泥.他首先指出了 Dirac 那些影响广泛的名言是 完全错误的,运用光子语言去描写干涉是没有任何意义的.他的建议其实是,在这一点上取得 共识的基础上,最好是大家都不再引用或者复述 Dirac 的那些话语,不再计较他的那些错误. 然而,我们在曾谨言的书里看到的是,一方面复述了 Dirac 关于"光子自己与自己干涉"的 名言,一方面又引用 Glauber 的文章并且表示同意他的意见.曾谨言这种把互相矛盾的两种讲 法硬捏到一起的做法,也是 out in left field,同 Glauber 文章的原意相距甚远. 六 根据粒子全同性原理,全同粒子系统只能选择全对称波函数或者全反对称波函数吗? 评曾谨言 5 量子力学里对于全同粒子系统的描写,即粒子全同性原理和全同粒子系统态函数对称性的 选择,在推理逻辑上存在着一些需要认真梳理之处.不少量子力学教科书对这个问题都没有处 理清楚,曾谨言的教材就是其中的一个例子. 例如,文献 [1] 第 5.6 节里先说"同类粒子组成的多粒子系的一个基本特征是:哈密顿量 对于任何两个粒子交换是不变的,即交换对称性. "然后又说"在量子力学里,哈密顿量的这个 特点,反映到描述体系状态的波函数上,就有了新的内容. "这里指的新内容,就是"对于全同 粒子多体系,任何两个粒子交换一下,其量子态是不变的…" 这种把全同粒子系统波函数的交换不变性,说成是哈密顿量交换对称性的"反映"的说法 是没有任何根据的.事实正好相反,我们能够从全同粒子系统波函数的交换不变性,推导出哈 密顿量的交换对称性(具体推导可以参看文献 [11]) .亦即是说,量子力学里多个全同粒子的 波函数的交换不变性具有基本的意义,而在经典力学里亦已存在着的相应哈密顿量的交换对称 性,在量子力学里里则是波函数交换不变性的结果. 下一个问题是,按照粒子全同性原理的要求,全同粒子系统只能选择全对称波函数或者全 反对称波函数吗? 在文献 [2] "5.4.1 全同粒子系的交换对称性"这一小节里,通过一系列的论证作出这样的 论断: "惟一可能的选择是量子态是所有的共同本征态. 仔细分析表明, 所有的共同本征态是存 在的,即完全对称波函数和完全反对称波函数. "亦即是说,全同粒子系统只可能选择全对称波 函数或者全反对称波函数,这是从粒子全同性原理出发,进行分析和推理而得出的结论. 这样的一种论述是不对的.例如,Schiff 在他的书里明确指出, "在一个对称的哈密顿量支 配下,有别于这两种对称性的其他对称性特征也是不随时间而变的,但那些对称性不对应于在 自然界发现了的粒子. [12] 这句话明显不排除在满足全同性原理的前提下,波函数还可以有其 " 他的交换对称性.事实上,在夸克模型刚提出来的时候,为了绕过由三个夸克的全对称状态组 成普通重子的统计性困难,曾经有人提出夸克满足一种既非全对称亦非全反对称的 parastatistics,它是不会违反量子力学的任何原理的.后来真正解决了这个问题的是另外开辟了 颜色自由度,而夸克则仍然满足普通的费米统计. 正确的做法应当是,在全同性原理的基础上,需要另行引入具有独立意义的"对称化公设" 来规定全同粒子系统波函数的对称性质.单凭全同性原理是做不到这一点的.在国内外的许多 量子力学教材里,已经采取了这种逻辑上比较清楚的叙述.[13] 七 关于量子几何相位 在文献 [2] 第二版和文献 [9] 卷 II 里,曾谨言增添了叙述量子几何相位的章节,其中主要 的一些基本概念是不确切和(或)不正确的.近年来在这方面的热烈争论,已经引起了国内物 理学界的普遍关注.因为李华钟教授已经对这一问题作了很清楚的评述[14, 15],我们就不在这里 展开讨论了. 评曾谨言 6 参考文献 [1] 曾谨言,量子力学,上,下册,北京:科学出版社,1981 [2] 曾谨言,量子力学导论,北京:北京大学出版社,1992 [3] 参看:关洪,量子力学基础,北京:高等教育出版社,1999,25-26 页 [4] 量子力学里的"波函数"和"波动方程" ,是历史上由于薛定谔把一切都说成是波的有失偏 颇的观点而留下来的称谓(参看文献[5],71-72 页) .我们认为,更确切的名称应当是"态 函数"和"运动方程" (参看文献[3]) . [5] 关洪, 量子力学的基本概念, 北京:高等教育出版社, 1990 [6] R. P. Feynman, Theory of Fundamental Processes, New York: Benjamin, 1962, p. 50 [7] 参看:关洪,再谈态叠加原理,大学物理,19 卷 8 期(2000) ,21 [8] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford U. P., 1958 [9] 曾谨言,量子力学第三版,卷 I,北京:科学出版社,2000,59 页 [10] R. J. Glauber, Dirac's famous dictum on interference: one photon or two? Am. J. Phys. 63(1995) 12 [11] 关洪,在量子力学里先有算符,还是先有态矢?大学物理,19 卷 5 期(2000) ,29;更详 细的论述和证明可参考:L E.Ballentine Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice - Hall, 1990. chapter 17. [12] L. I. Schiff, Quantum Mechanics, New York: McGraw-Hill Book Co. 1968, p.365 [13] 例如:文献 [3],第 11.1 节;文献 [11] 所引 Ballentine 的书,第 17 章;另外可参看文献 [5],54 页的讨论 [14] 李华钟,关于量子几何相位的评注-评三本量子力学教材中一个基本概念,大学物理,21 卷 7 期(2002) ,18 [15] 李华钟,关于 Lewis-Riesenfeld 相位和量子几何相位,物理学报,53(2004)1643 Comments on Zeng Jinyan's Textbooks of Quantum Mechanics Guan Hong * 全国量子力学 2004 年年会(2004 年 10 月,张家界)书面交流论文
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物理学
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