三言两语说量子(修改版)之三：Schrodinger方程
2010-06-12 04:05:24 来源: 【大 中 小】 浏览次数：0 网友评论 0 条
免费道路工程技术资料yitumu.com 加工程师交流QQ群：85109893接：三言两语说量子(修改版)之二：波尔定见 假设在t=0时刻开始，经典力学用该时刻支点的位置r,速度v(矢量)来描述质量为m的质点的运动状况。这句话包含两个意思：
1)只要给出r,v，可以按经典力学有关规律计较出该时刻任何1个力学量的数据。例如支点的动能Ek=mv/2.
2)如果懂患上t 0是作用在质点上的外力F，可以计较出任意时刻质点的位置r(t)与速度(t).详细的动力学方程就是牛顿第二定律F=ma,当然也就可以计较出该时刻任何1个力学量的数据。
量子力学的研究对象是微观粒子，微观粒子具备波粒二象性，是以俺们不能接纳经典力学的描述方法，别的描述系统的状况函数也不看出来是牛顿第二定律。1926年Schrodinger提出用波函数Ψ(r,t)描述微观系统的状况，波函数满足波动方程
ihΨ/t=HΨ.(1)
其中H=p/2m+V(r)是系统的哈密顿算符。对氢原子系统，V(r)=-ke/r,式中的m应该是电子质子的折合质量m*=Mm/(M+m).因为(1)式右面不含时间变量t，是以可以用分散变量方法求解，详细说就是令
Ψ(r,t)=ψ(r)f(t)….⑵
⑵代入(1)患上到ψ(r)满足定态S。方程
Hψ(r)=Eψ(r)…⑶
这是1个本征值疑难题目，Schrodinger解了这个本征值疑难题目,所患上结果与氢光谱的试验测量符合患上很好。以资为根蒂根基成立起来的量子力学称为波动力学，(1)式称为S.方程。
S.方程揭晓不久，玻恩对波函数Ψ(r,t)提出了统计解析，玻恩认为│Ψ(r,t)│与t时刻r处微观粒子浮现的概率疏密程度成正比例。这个说法称为波函数的统计解析。
目前认为，上述说法是量子力学中的哥本哈根学派的主要内容。小结一下就是底下三点：
1)所研究的微观系统t时刻的状况由波函数Ψ(r,t)描述；
2)Ψ(r,t)满足S.方程(1)式；
3)Ψ(r,t)的统计解析
玻恩提出波函数的统计解析后引起各方存眷，大部分人赞成，但是反对声响也不少，例如Schrodinger,爱因斯坦，德布罗意，波姆等知名人物对统计解析都持怀疑立场。本帖是三言两语式的介绍量子力学，是以俺们不想介入这方面的争论，小俺私家认为：在初学习量子力课时，先把【正统观点】的说法学会了，最低限度也要懂患上人家说啥子才去参与有关争论，这种做法是合适的，连人家说啥子都没有搞清晰就提出撑持或反对，有多是分歧适的。
"欺负人"的疑难题目：系统t时刻的状况由波函数Ψ(r,t)描述，这句话简直切寄义是啥子?即这句话到尽头是啥子意思?这句话包含了对波函数的啥子要求?
例如没瓜葛详细点：俺们的研究对象是氢原子,已懂患上在开始时刻系统居于氢原子基态.即给出了基态氢原子的波函数,尔又能懂患上啥子?这是每个初学量子力学的同窗必然遇到的疑难题目,俺的领会是：能回覆好这个疑难题目,尔的量子力学(前半部分)应能合格！波函数Ψ(x,y,z,t)最少应该满足底下3个条件：
1)因为|Ψ|dV暗示dV体积内发明粒子的概率,而且在全般空间必然能找到粒子,是以|Ψ|对全般空间的积分应该是1.这个条件凡是称为归一化条件.在数学相片比本人好看当于要求波函数绝对平方可积(分)；
2)Ψ与cΨ描述通用以状况，其中|c|=1；
3)因为Ψ(x,y,z,t)描述t时刻的状况,是以波函数满足关于t的一阶偏微分方程.(如果是二阶微分方程,则应该是波函数及其导数才能描述状况,牛顿力学就是此种环境)在数学上关于t的一阶偏微分方程是扩散方程,不存在波动解答,除非系数中含有虚数i.也就是说：将来浮现的波动方程应该是含有虚数i的(关于t)一阶偏微分方程.如果已知t时刻的归一化波函数Ψ(x,y,z,t),则一定能求出：
1)能患上到任意1个力学量L在该状况下的平均值；
2)在该状况下测量任意1个力学量L的有可能值及响应的概率；
3)能求出以后任意时刻的状况函数.(波函数).俺们都学习过经典力学.在学习时,俺们使用的参考书不看出来相同.但是,不管尔使用那一本参考书,都有1个共同点：牛顿三定律及万有引力公式是作为试验事实介绍的,或者说：这是基本假设.在这个意义上俺们可谓：经典力学参考书大同小异,都把这四条作为基本假设，没有例外.
此刻回到初等量子力学,俺们发明上述独特的地方没有了！以状况叠加原理为例,这应该是基本假设.Dirac书(有中译本)关于叠加原理的叙述就是比海内大多数参考书内容多,也就是说：她的假设比海内参考书的假设多！有些同窗特别是学习比较好的同窗,注意到这个疑难题目.个别同窗还与西席举行了交流：
这是基本假设,俺不能说老师讲的分歧纰缪；但是俺也不愿意认为Dirac说的有误！可以尔们两家说的就是纷歧样,俺听谁的！是不是应该有个对错?难道基本假设还能纷歧样吗?
疑难题目提患上十分锋利,不管尔是西席还是同窗,尔又如何回覆上面的疑难题目！
近似的典型疑难题目还有：测不准瓜葛(不确定瓜葛)是原理还是推论！这类疑难题目在学习经典力课时没有遇到过,但是在学习量子力课时遇到了,怎么办?俺这样理解，在波函数描述系统状况及接受伯恩的统计解析的前提下，量子力学要提出一些基本假设，如果这些基本假设能解决：
如果已知t时刻的归一化波函数Ψ(x,y,z,t),则一定能求出
1)能患上到任意1个力学量L在该状况下的平均值；
2)在该状况下测量任意1个力学量L的有可能值及响应的概率；
3)能求出以后任意时刻的状况函数.(波函数).
则这些基本假设就是合理的，否则就是分歧理的。在引入这些基本假设时，有人强调方便，又有人强调严谨，这些细微的差别在开始学习时是不是可以暂时放过，等自己有了一定根蒂根基时，再回过甚来参与这方面疑难题目的会商。小俺私家认为这种立场是合适的。以最简单的面波为例,为简略俺们只会商与x轴铅直的单色最简单的面波函数Ψ(x,t).
量子力学的基来源根底理该然应该包含患上到Ψ(x,t)的详细措施.
方案1：假设Ψ(x,t)=B*EXP(kx-ωt),其中B是正交归一常数，k=p/h,ω=E/h。
方案2：假设动量算符P=-ih(/x),(其中h暗示h/2π),描述单色最简单的面波的波函数是动量本征态为p的归一化的本征函数.
显然,这两个方案都可以解决德布罗依波的详细暗示疑难题目,但是两个方案所用的假设纷歧样.
方案1：没有引入动量算符的详细暗示,也没有关于本征值,本征函数等疑难题目这些内容在别的假设引入.
方案2：引入的假设比喻案1多,这些内容将来当然可以不再作为假设引入.
有人认为方案1好,当然也有人认为方案2合理.俺小俺私家认为：
1)两个方案都没有错.
2)谁更合理纯粹是看法疑难题目,没有须好硬要求相符.
对初学者,不宜把过多精力放在这些疑难题目上.要把对错放在首位,谁更好放在非主要位置.附录1最简单的面波
经典物理把沿k标的目的传播的最简单的面波写成
Ψ(r,t)=Bcos(k*r-ωt)…(1)
其中k,r都是矢量，k*r是两个矢量的点乘,B是振幅，(k*r-ωt)称为位相。
1)(k*r-ωt)=常量…⑵
是同位相面，对不同的t上式暗示不同的曲面，是以上式应该是1个曲面族。因为⑵式暗示的是一族最简单的面，是以(1)式描述的就称为最简单的面波。别的当t增加时，r在k标的目的的投影值也增加，是以这是沿k标的目的传播的最简单的面波
按此说法，波函数
Ψ(r,t)=Bcos(kr-ωt)/r,…⑶
或Ψ(r,t)=Bcos(kr-ωt)…⑷
其中右面的r是标量，因为位相(kr-ωt)=常量是一族球面方程，是以⑶,⑷都暗示球面波。当然因为⑷式不满意足波动方程，是以⑷式是1个纰缪的球面波抒发式。
2)经典物理中的波动方程是
Ψ/t=v(Ψ/x+Ψ/y+Ψ/z)….(5)
其中v是波传播速度，这是1个关于时间及空间的二阶偏微分方程，(1)及
⑶都是这个波动方程的特解。当然
Ψ(r,t)=BEXP[i(k*r-ωt)]，其中i是虚数单元，i=-1…⑹
也是(5)的特解，但是经典物理商定只取上式的实数部分(或虚数部分)描述最简单的面波。引进最简单的面波的复数暗示主要是为了计较方便，计较后要取实数部分才是法以及要求的解答。
3)Ψ(r,t)=Bcos(k*r-ωt)+Bcos(k*r+ωt)…⑺
暗示两个传播标的目的相反的行波的叠加，当然也是波动方程(5)的1个特解，吧友可以哄骗以及差化积的措施把上式变成习惯的形式。这种形式的波动称为驻波。
以上所谓都是经典物理的内容，与量子力学无关。
此刻回到量子力学，在学习这部份内容时要注意两者的区别。为了打印方便，底下商定，最简单的面波的传播标的目的就是x轴正向。
1)量子力学用
Ψ(x,t)=BEXP[i(kx-ωt)]…⑻
动量p=hk具备确定值的自由粒子的波函数，习惯上成上式为德布罗意波。因为动量算符
Px=-ih/x….⑼
是以德布罗意波⑻式是动量算符P的本征函数，响应的本征值是P=hk。
2)在量子力学中Ψ(x,t)=Bcos(kx-ωt)不是动量Px的本征函数，是以它不是最简单的面行波。也就是说，量子力学用全般Ψ(x,t)=BEXP[i(kx-ωt)]描述最简单的面波，绝对不是只取实数部分或虚数部分，这是与经典物理的重要区别。
3)把⑻式作为基本假设还是把⑼式作为基本假设都可以达到相同目的，各有帮助弊，很难判别那个更好。在初学阶段不宜把注意力过度集中在这种处所。为方便俺们商定，今后浮现的波函数(习题除外)都是已归一化的。海内多数教材对状况叠加原理是这样叙述的：
设ψ是系统的1个有可能状况,ψ是系统的另1个有可能状况,则
.ψ=aψ+bψ.(1)
也是系统的1个有可能状况.其中a,b是任意复常数，为了满足归一化要求，a,b应该满足
|a|+|b|=1….⑵
Dirac书上除了有上述内容外，还对a,b的物理意义做了底下的说明：其中|a|暗示当对系统举行测量时，系统居于ψ态的概率，|b|暗示系统居于ψ态的概率。这个内容今后用患上其实多，作者强调其重要性，把这些内容放在重要位置加以说明，也在常情道理之中。
满足(1)式的系统称为线性系统，也就是说：把叠加原理作为基本假设等价于认为量子力学的研究对象就是线性系统，或者说波函数ψ满足的方程
Fψ=0….⑶
必需是一次方程，其中F是运算符号，略称算符。是以上述说法等价于认可：量子力学中浮现的算符应该是线性算符。
底下题几个疑难题目请各人思考：
欺负人的疑难题目1：物理学中经常浮现叠加原理这个词，例如电磁学，力学(振荡部分)光学都提到叠加原理，这些经典物理中的叠加原理与俺们此刻说的叠加原理有啥子异同?
欺负人的疑难题目2：在电路部分，俺们也学过线性电路，也学过一些线性系统。俺的疑难题目是：全波整流是不是算线性系统?微分电路，积分电路算线性系统吗?都叫叠加原理，但是内容不全相同，这就是欺负人的处所。到尽头啥子处所不同?想想看，咱们明天再说。叠加原理(1)式事实上等价于下面所开列两式
ψ=ψ+ψ(a)
ψ=aψ….(b)
其中(a)式称为叠加性,(b)式称为齐次性.再把Schrodinger方程改写成
(ih/t-H)ψ=0….
上式是1个线性齐次方程，量子力学中叠加原理的(a),(b)两式事实上就是线性齐次方程解的两个定理。
为了详细为达到目的，俺们以真空中的静电场为例，会商静电场的叠加原理。静电场的叠加原理是这样叙述的：若q激发的电场是E,q激发的电场是E,则q,q激发的电场
E=E+E。….(d)
由真空中的高斯定理
ε∮Eds=q…(e)
可以看出,这是1个非齐次(积分)方程，经典物理中的叠加原理(d)式事实上就是非齐次方程解的1个定理。尽管都叫叠加原理，但是两者的内容纷歧样。一般工程上的线性系统，所关于的方程都是非齐次方程，是以她们所谓叠加原理都是指经典物理中的叠加原理。这是要注意区分的。
所谓全波整流,就是输入正弦交流电Usinωt经过仪器作用变成|Usinωt|
在输出端选取其直流斤两。其中要害运算是
FUsinωt=|Usinωt|
因为|a+b|≠|a|+|b|；|ca|≠c|a|，是以全波整流不是线性系统。算符就是1个运算符号，例如dsinx/dx=cosx这个式子，俺们写成
Fsinx=(d/dx)sinx=cosx,这样F=d/dx就可以理解为1个运算符号(算符)，
如果对任意函数φ都有Fφ=Gφ,则称算符F,G相称，即F=G.
量子力学用算符暗示力学量，划定：
1)3个坐标x,y,z的算符就是X,Y,Z，动量P的3个斤两Px,Py,Pz的算符分别为Px=-ih/x；Py=-ih/y；Pz=-ih/z；
2)经典物理中的力学量都可以用x,y,z及动量Px,Py,Pz暗示，只要把P改为算符，即可以患上到响应的量子力学算符。例如哈密吨量H=P/2m+U(r),只要把势中的动量P改为算符，即可以患上到对应的量子力学H算符。
3)没有经典对应的力学量例如宇称，自旋等，响应的算符由量子力学自行界说。
定见上可以求着力学量算符的本征方程Fφn=λnφn的解答,其中λn是算符F的本征值，φn是对应的本征函数。量子力学认为，如果在状况φn中测量力学量F，则F具备确定值λn，如果在任一状况ψ测量力学量F，此时当然没有确定值，但是俺们可以将ψ展开
ψ=aφ+bφ+cφ+…
则λ,λ,λ,…,就是测量F时患上到的有可能值，响应的概率是|a|，|b|，|c|,…
为使成为事实上述目标，对力学量算符F应该有一些要求，这些要求是：
1)F必需是线性算符，即
F(cψ+cψ)=cFψ+cFψ
2)F必需是厄米算符，即F满足∫φ*Fψdx=(∫ψ*Fφdx)*
上式是厄米算符的界说，能证实厄米算符的本征值是实数；
3)F的本征函数系L{φn}应该是完备的.所谓完备是指任意波函数ψ都可以按{φn}展开
ψ=aφ+bφ+cφ+…
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