先不说什么高深的理论，试想一个简单的问题：如果我们自己用马金来投资股市的话，用多大的杠杆合适呢？
首先， 要考虑投资的可能回报率，用杠杆是来放大利润，不是放大损失的，所以， 回报率必须要满足一定的要求。
其次，得考虑借贷成本，如果利息太高的话，也是白搭。
另外，我们也得考虑股票的价格波动率，如果波动率太高，下跌幅度太大的话，有可能触发Margin Call，那就坏醋了。
可见，可用杠杆的大小取决于三个因素：
- 期望回报率
- 利率
- 价格波动率
而量化资金分配比例的凯利公式，用到的恰好是上面的三个参数：
下面，根据过去发表的一些论文和书籍中引用的历史数据，我们来看看股市的最佳杠杆比例。
Victor Haghani 和James White在2023年出版的书The Missing Billionaires中的第23章中，用1927~2022年的历史数据，回测了SP 500在不同杠杆下的回报率：
可见，单纯从回报率来讲，对SP 500来说，最佳杠杆倍数（Leverage Ratio）是2（也就是借1买2），其次是1.5， 如果倍数是3的话杠杆会起到负作用，4的话更差，5的话长期回报会归零。
以上假定的借贷成本是T-bill利率再加1%， 非常接近于倍数基金加上管理费用后的费用。
Tony Cooper在2010年发表的题目为Alpha Generation and Risk Smoothing Using Managed Volatility的论文，给出了更多不同时期的历史数据分析。比如，这是美国股票市场从1885~2009年回报率和杠杆的关系：
其它指数在不同时期回报率和杠杆的关系分别为：
当然了，凯利公式中的三个参数都是动态的，不是固定不变的，因而最佳杠杆比例当然也应该是动态的。其中，期望回报率可以用固定值，利率的变化也比较慢，随联储会利率调整而缓慢变化，而价格却是每天都在不断波动。
一般在实际应用中，许多基金和投资者会选择用过去20天的价格波动计算出波动率， 然后年化成年化波动率， 再带入公式中，对杠杆的比例进行动态调整。
建宁 2025/7/19
