问题: 盒中有3球，1黑2白. 取第1球颜色未知，取第2球是白球，问盒中第3球是黑球的概率？
事件A: 第一次取出的是黑球
事件B: 第二次取出的是白球 , 这包括第一次取的是黑球和白球2种情况
事件C: 盒中所剩第三球是黑球
第一步, 求第二球是白球的概率, 即P(B):
可用全概率公式分成2种情况:
- 第一次取的是黑球A, 其概率为P(A)
- 第一次取的不是黑球(~A), 其概率为P(~A)
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A)
= 1 * (1/3) + (1/2) * (2/3)
= 1/3 + 1/3
= 2/3
ChatGPT的计算不对, 结果碰巧也是2/3.
实际上, 不用算也能知道, 当你不知道第一个球时, 第二个球是白的概率就是原来的2/3.
第2步: 计算A, B同时发生的概率(A ∩ B), 即第一次取出黑球, 第二次取出白球.
如果第一次取出黑球, 那么第2次取出的只能是白球, 所以概率就是第一次取出黑球的概率1/3.
Chatgpt用的是乘法公式(链式法则, 其实就是把条件概率的定义挪一下), P(A ∩ B) =P(B|A)P(A), 但P(B|A)表示的是第一次黑球, 第2次取白球, 所以应该是1. Chatgpt把AB与黑球白球混为一谈了, 用的是黑球白球原来的分布.
而且, 这一步本身就是第1步的情况(i), 上面算的也是1*1/3=1/3.
第3步:
P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)哪来的? 贝叶斯公式 还是 链式法则?
