解法一：
从 x^2 + y^2 = 17 得到 y = sqrt(17 - x^2)。
将 y 的表达式代入目标函数得到 f(x) = 3x + 5 * sqrt(17 - x^2)。
注意到 sqrt(17 - x^2) 取值范围为 [0, sqrt(17)]，因此可以将 f(x) 的定义域限制为 [-sqrt(17), sqrt(17)]。
f(x) 在其定义域内连续可导，因此可以求出其导数 f'(x)：
f'(x) = 3 - 5x / sqrt(17 - x^2)
令 f'(x) = 0，得到 x = 3sqrt(17) / 17。
此时 f(x) 取得最大值：
f(x) = f(3sqrt(17) / 17) = 8sqrt(17) / 17
因此，3x + 5y 的最大值为 8sqrt(17) / 17。
解法二：
考虑将 x^2 + y^2 = 17 转化为极坐标下的形式。
令 x = rcosθ，y = rsinθ，则 x^2 + y^2 = r^2，因此 r = sqrt(17)。
因此，目标函数可以表示为：
f(r, θ) = 3rcosθ + 5rsinθ
使用三角函数的和差公式化简得：
f(r, θ) = 5sqrt(17)sin(θ + θ0)
其中 θ0 = arctan(3/5)。
因此，当 θ + θ0 = π/2 时，f(r, θ) 取得最大值。
解得 θ = π/2 - θ0，代入 f(r, θ) 得到最大值为 8sqrt(17) / 17。
解法三：
使用 Cauchy-Schwarz 不等式：
(3x + 5y)^2 <= [(3^2 + 5^2)(x^2 + y^2)]
将 x^2 + y^2 = 17 代入得：
(3x + 5y)^2 <= 17 * 34
因此：
3x + 5y <= sqrt(17 * 34)
最大值为 sqrt(17 * 34) / 2 = 8sqrt(17) / 17。
解法四：
我们可以将目标函数写成向量的形式，令：
u = (3, 5), v = (x, y)
则目标函数可以表示为：
f(u, v) = u · v
其中 · 表示向量的点积。
由于 |u| = sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(34)，|v| = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(17)，因此：
|u · v| <= |u| * |v|
即：
|3x + 5y| <= sqrt(17 * 34)
最大值为 sqrt(17 * 34) / 2 = 8sqrt(17) / 17。
解法五：
我们可以使用 Lagrange 乘数法求解最大值。
设函数：
f(x, y) = 3x + 5y
约束条件为：
g(x, y) = x^2 + y^2 - 17 = 0
构造 Lagrange 函数：
L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = 3x + 5y - λ(x^2 + y^2 - 17)
求解 L(x, y, λ) 的偏导数：
Lx = 3 - 2λx = 0 Ly = 5 - 2λy = 0 Lλ = x^2 + y^2 - 17 = 0
解得：
x = 3sqrt(17) / 17，y = 5sqrt(17) / 17，λ = 2sqrt(17) / 17
此时 f(x, y) 取得最大值：
f(x, y) = f(3sqrt(17) / 17, 5sqrt(17) / 17) = 8sqrt(17) / 17
因此，3x + 5y 的最大值为 8sqrt(17) / 17。
解法六：
我们可以使用极值定理来求解最大值。
首先，目标函数 f(x, y) = 3x + 5y 在有界闭区域 D: x^2 + y^2 = 17 上连续，因此在 D 上必有最大值和最小值。
其次，我们可以对 f(x, y) 求偏导数：
fx = 3，fy = 5
这两个偏导数都不为零，因此 D 上最大值和最小值必须出现在边界上。
我们需要在 D 上找到 f(x, y) 的最大值。注意到 x^2 + y^2 = 17 是一个圆形，而 3x + 5y 是一个平面上的直线，因此 D 上的最大值必须出现在圆形的边缘上。
我们可以使用参数方程表示圆形的边缘：
x = sqrt(17)cosθ y = sqrt(17)sinθ
代入目标函数得到：
f(θ) = 3sqrt(17)cosθ + 5sqrt(17)sinθ
使用三角函数的和差公式化简得：
f(θ) = 5sqrt(17)sin(θ + θ0)
其中 θ0 = arctan(3/5)。
因此，当 θ + θ0 = π/2 时，f(θ) 取得最大值。
解得 θ = π/2 - θ0，代入 f(θ) 得到最大值为 8sqrt(17) / 17。
