四球两两相切

现有三个球摆在水平桌面上，它们两两相切，它们的半径分别是2，3，4。现在三球上面（中间）放一半径为1的球。求其球心到桌面的距离。

1. 两球相切。球心Oi(xi,yi,zi), Oj(xj,yj,zj), 半径Ri, Rj。则符合方程
(xi-xj)^2 + (yi-yj)^2 + (zi-zj)^2 = (Ri+Rj)^2。 2*3=6个未知数，列1个方程。

2. 四球，球1, 球2, 球3, 球4，两两相切。球心O1(x1,y1,z1), O2(x2,y2,z2), O3(x3,y3,z3), O4(x4,y4,z4), 半径R1, R2, R3, R4。则有4*3=12个未知数，可列C(4,2) = 6个方程。
按原题，令Ri = i, i = 1,2,3,4。
2.1. 令球4 座落xy平面原点，O4(0,0,4)。未知数减了三个，为9个。

2.2.令球3 座落xy平面的x轴正方向，与球4相切，O3(x3,0,3) 。未知数减了2个，为7个。符合方程
(x4-x3)^2 + (y4-y3)^2 + (z4-z3)^2 = (R4+R3)^2。
代入已知数，得
(0-x3)^2 + (0-0)^2 + (4-3)^2 = (4+3)^2
(x3)^2 + 1 = 49
x3 = 4*sqrt3。未知数减了1个，为6个，用了1个方程。

2.3. 令球2 座落xy平面的第一象限，与球4，球3同时相切，O2(x2,y2,2) 。未知数减了1个，为5个。符合方程
(x4-x2)^2 + (y4-y2)^2 + (z4-z2)^2 = (R4+R2)^2。
(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2 + (z3-z2)^2 = (R3+R2)^2。
代入已知数，得
(0-x2)^2 + (0-y2)^2 + (4-2)^2 = (4+2)^2。
(4*sqrt3-x2)^2 + (0-y2)^2 + (3-2)^2 = (3+2)^2。
两个方程联立，含2个未知数x2，y2。可求出其值。取正值。
未知数减了2个，为3个，用了2个方程。

2.4. 最后，令球1 座落于球4，球3，球2之上，与球4，球3，球2同时相切，O1(x1,y1,z1) 。符合方程
(x4-x1)^2 + (y4-y1)^2 + (z4-z1)^2 = (R4+R1)^2。
(x3-x1)^2 + (y3-y1)^2 + (z3-z1)^2 = (R3+R1)^2。
(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2 = (R2+R1)^2。
三个方程联立，含3个未知数x1，y1，z1。可求出其值。取正值。
未知数减了3个，为0个，用了3个方程。
z1的值即为本题之所求：球1球心到桌面的距离。