对于不够狡猾的狐狸，我们可以再加加油。

来源: 皆兄弟也于 2010-05-12 18:59:12 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (4009 bytes)

鸭子落到圆形湖中，狐狸在岸边想吃鸭子。鸭子受伤，无法从水里起飞，必须游到岸边才能起飞。狐狸在岸上跑的速度是鸭子速度的4倍，问鸭子是否可以游到岸边起飞跑掉？how?
解：
鸭子在r/4半径的圆上可保持与狐狸在同一直径而在中心两侧。此时，鸭子距岸3r/4。然后，鸭子沿直径向岸游3r/4=0.75r，同时狐狸须跑半个半径为r的圆弧，即3.14r，抓鸭子。3.14r/0.75r > 4.鸭子先到岸而起飞。

Mr.guest007提示此解可以进一步优化。优化条件为：
1．鸭子从离中心r/4处走直线到岸, 狐狸沿岸边追来。
2．当鸭子到岸与狐狸沿岸边的弧距为最大。

当鸭子与狐狸在同一直径，沿此直径向岸游，狐狸可选或左或右任何一边圆弧追逐鸭子。但一旦鸭子脱离了直径，比如向左游去，则狡猾的狐狸一定会选左边圆弧追去。从这点来看，鸭子脱离了直径向岸游显然不是上策。对于狡猾的狐狸，只有沿直径向岸游才是最优解。

但如果狐狸不够狡猾，比如当鸭子脱离了直径向左游去，不够狡猾的狐狸却选右边圆弧去追鸭子，求鸭子所选的最优方向倒不失为一道有趣数学题。

首先，当鸭子到岸，它与狐狸同在圆形湖岸边，鸭子和狐狸位置之间除了有一个沿岸边的弧距，鸭子和狐狸的位置与圆心连线有一个圆心夹角。在同一个圆，圆心角大当且仅当其所对的弧长。所以，问题变成：鸭子选哪个方向使得这个圆心夹角最大。
由于网上难于贴几何图形，为了便于叙述，我们把圆形湖置于直角座标系中。

令半径为r圆形湖圆心O位于直角座标系原点。鸭子初始位置点A座标(r/4, 0), 狐狸初始位置点B座标(-r, 0),也就是，鸭子与狐狸同在的直径恰在座标系横轴上。

1. 鸭子选择横轴上方的湖岸一点C，直接朝C游去；而不够狡猾的狐狸却沿横轴下方的圆弧湖岸去追。
令角AOC = alpha。

2. 鸭子从A游到C的距离为AC。在三角形AOC中，对AC应用余弦定理，
AC^2 = OA^2 + OC^2 –2*OA*OC*cos(角AOC)
= (r/4)^2 + r^2 –2*(r/4)*r*cos(alpha)
= (17/16)*r^2–(1/2)*r^2*cos(alpha)

AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) / 4。

3. 在同一时间，狐狸沿横轴下方的圆弧湖岸以4倍于鸭子的游速追了4 * AC的距离。
4 * AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) 。

4. 将狐狸所追距离4 * AC的弧长折合成圆心角beta。
beta = 4 * AC / r = sqrt(17–8*cos(alpha)) 。

5. 令当鸭子到岸时，鸭子和狐狸的位置与圆心连线的夹角为gama。最初，鸭子与狐狸在同一直径，鸭子和狐狸的位置与圆心连线的夹角为pi;鸭子从A游到C, 圆心角AOC = alpha,即鸭子逆时针绕圆心移动alpha;同时，狐狸逆时针绕圆心追赶了beta。结果，
gama = pi + alpha – beta
= pi + alpha – sqrt(17–8*cos(alpha))。
我们的目标就是求出当alpha取何值时，gama取最大值。

6. 用典型的求导取零法，求gama的最大值。
d gama / d alpha = 1– ½ * 8*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha))
= 1–4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) 。

7. 令导数为零，求alpha的值。
1–4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) = 0
4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) = 1
4*sin(alpha) = sqrt(17–8*cos(alpha))
16*sin(alpha)^2 = 17–8*cos(alpha)
16*(1–cos(alpha)^2 )= 17–8*cos(alpha)
16*cos(alpha)^2 –8*cos(alpha) + 1 = 0
(4*cos(alpha)– 1)^2 = 0
4*cos(alpha)– 1 = 0
cos(alpha) = 1/4
alpha = arc cos(1/4)

8. gama的最大值。
alpha = arc cos(1/4)时，d gama / d alpha = 0。这是gama取最大值的条件之一。相信其它条件也不难验证。在此就不再一一赘述。

beta |(alpha = arc cos(1/4))
= sqrt(17–8*cos(alpha)) | (alpha = arc cos(1/4))
= sqrt(17–8*1/4)
= sqrt(15)

max gama
= gama |(alpha = arc cos(1/4))
= (pi + alpha – beta) |(alpha = arc cos(1/4))
= pi + arc cos(1/4)– sqrt(15)

9. 讨论：当alpha = arc cos(1/4)时，gama取最大值：pi + arc cos(1/4)– sqrt(15)。此时，
a)鸭子所游的距离
AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) / 4|(alpha = arc cos(1/4))
= r * sqrt(17–8*1/4) / 4
= r * sqrt(15) / 4

AC^2 = (15/16)*r^2

b)狐狸所追的距离4 * AC = r * sqrt(15)

c)鸭子逆时针绕圆心移动角：alpha = arc cos(1/4)

d)狐狸逆时针绕圆心追赶角：beta = sqrt(15)。

e)有趣的是，在三角形AOC中，对OC应用余弦定理，
OC^2 = AC^2 + OA^2 –2*AC*OA*cos(角OAC)
cos(角OAC) = (AC^2 + OA^2 – OC^2) / 2*AC*OA
= ((15/16)*r^2 + (r/4)^2 – r^2) / 2*AC*OA
= ((15/16)*r^2 + (1/16)*r^2 – r^2) / 2*AC*OA
= 0

角OAC = pi/2, AC垂直于OA。鸭子选择垂直于鸭狐共处的直径方向，游向湖岸以取得最优结果。