关于引力场（转载）
| 先从黎曼几何谈起。黎曼几何的成就在于，它仅仅通过流形上的内蕴几何来描述流形本 身，而并不借助于更高位数的空间来描述。这一点在曲面论里得到最充分的体现。当我 们在三维欧氏空间中来描述曲面的时候，我们实际上在曲面上去了三个正交基，两个是 曲面的切空间的向量，一个是法向量。这个法向量就是在借助更高维空间。这样一来， 我们已经在曲面上规定了曲面的度量性质，即三维欧氏空间的度量性质，而无法得到更 丰富的内容。然而，人们发现，实际上曲面上很多计算结果中只包含了曲面上的性质， 而没有包含法向性质。这就提示人们想办法只用曲面的内蕴性质来描述它本身。 这一点用传统的描述方法是不易做到的，Gauss-Codazzi方程并不方便这一表述。因为在 这一方程中，曲面的内蕴性质和其他性质混杂在一起，不好区分处内蕴性质的贡献。直 到Cartan用外代数的方式重新表达了这一方程，人们才找到了一个更加简捷方便的数学 语言。人们发现，如果把曲面的方程写成外代数形式Cartan方程，我们可以非常清楚的 把和法向有关的量全部理解成曲面本身的弯曲性质，比如曲率形式等。这就告诉人们， 更高维的帮助仅仅在于给曲面规定了一种度量性质和附加的结构而已，如果不考虑这些 ，人们完全可以在曲面本身来描述曲面。 由于减少了描述的参量，我们对于曲面的描述就是不完备的，所以我们必须引入一些几 何结构。比如联络、度规等等。脱离了更高维的限制，很多东西就是我们自己规定的了 ，有了更大的活动空间，我们也可以重新理解很多几何概念。比如沿曲线平行移动，在 原来的理解中，我们必须把它描述成先在三维欧氏空间中平行移动，然后再把这一平移 后的向量向曲线的切向投影。而现在我们可以任意的规定平行移动，然后规定曲面 的联络作为附加结构就可以了。 黎曼几何的这一特点是广义相对论所不可缺少的，因为我们没有道理在我们的四维时空 上面再附加一个法向，通过五维的欧氏空间来描述我们的世界。我们并不需要知道我们 的世界是否平直，但我们选择了对不管平直还是弯曲空间都适用的曲线坐标系来描述我 们的世界。这时有一个内蕴的几何量来帮助我们判断时空的几何性质，那就是曲率张量 。一旦我们在任意一种坐标系中算出它不为零，我们就可以断定我们的空间是弯曲的了 。 从这个意义来看，我们的世界必须是四维的。因为如果把爱因斯坦的方程用于三维空间 ，我们会发现，没有物质的真空是不可能有引力场的（我们可以自己算一算，如果右边 的能量动量张量为零，则必然得到二维和三维的曲率张量也为零了）。这就意味着只有 在四维的时空中爱因斯坦引力几何化的那套理论才能够成功。 关于广义相对论中的坐标系，还有一点值得注意。广义相对论中的坐标系是自然标架， 一般的描述中我们都把它取成整体标架，就是说我们人为可以找到一个足够大的领域覆 盖我们所感兴趣的区域，这个领域和闵氏空间同胚（至于在类似于黑洞等东西的附近能 否这样做我就不知道了，改天向做天体的同学请教）。但是自然标架并不是我们实际观 测时所用的标架。因为对于观测者来说它所观测到的是动力学效应，他会在他所在的惯 性系来描述发生的事件。在引力场中一个观测者所用的标架应该对应着微分几何中的活 动标架，即在每一个时空点都选取一个局域惯性系或者局域正交基来描述我们所观测到 的世界。这样，"几何量等效于动力学量"这一说法的完全描述应该是在自然标架中描述 几何量，然后换到活动标架中来把它对应为动力学效应。但是好像没有书这么做，不知 道为什么。 应该说活动标架提供了引力场的另一种描述，而且相比于一般的自然标价的描述来说有 它独特的优点。比如，广义协同变换下不变的拉格朗日量并不能保证在定域的洛伦兹变 换下保持不变，因为拉格朗日量仅仅是广义协同变换的标量。这一点在标量、矢量和张 量上并不引来什么问题，但是在对旋量的描述上就会出现明显的不足，因为洛伦兹群的 旋量表示无法推广到广义协变的表示。所以要描述定域的洛伦兹变换，我们必须换成活 动标架。由于标价同时具有张量角标和洛伦兹角标，所以我们可以这样构造出一个既是 洛伦兹标量又是广义坐标变换标量的拉格朗日量来。这样，在拉格朗日量中出现的协变 导数就要同时具有克里斯托福联络和自旋联络。这种活动标架的描述方法为我们的弯曲 空间量子场论提供了一种必要的数学语言。比如，在超引力大统一理论中，我们就必须 用到这种活动标架法。 计算一下引力场中物质的能量动量张量的守恒性质是非常有趣的。我们会发现，在引力 场中能量动量张量服从的是强守恒律，即第一个角标的协变散度为零。注意，在引力场 中斜边散度为零只有对矢量才能导致守恒律，张量的协变散度为零则意味着肯定有引力 场的相互作用引入了能量动量。如果我们把爱因斯坦方程右边写成一个相对一般散度为 零的张量，我们得到的方程将是自旋为2粒子的波动方程（或者称为自旋为2的场的方程 ）。我们可以认为后者才是真正"正确"的方程形式，因为后者右边包括了全部的能量动 量张量，包括物质的和引力场自身的。但是爱因斯坦更偏爱前者，因为在他看来前者符 合他对于引力场的信念，即引力场来源于宇宙中的物质分布。 现在我们来看一下等效原理。我们写出引力场中的一切运动方程都依赖于等效原理。我 们原有的理论全部都是不考虑引力效应的，它们仅仅在惯性系中成立。推广到引力场中 我们需要广义协变原理。为了让广义协变原理有效，这就需要我们能够找到一个局域惯 性系，这时等效原理将保证我们一定能够这么做。引力场中点粒子运动轨迹是测地线， 其中完全不包含粒子自己的质量项，这就是等效原理的体现。为什么等效原理会如此精 确的成立？我们不能期望在经典理论（针对量子理论而言）中得到答案。但是正如量子 力学可以解释经典力学中的最小作用原理一样，我们可以期望在量子理论中得到等效原 理的解释。 要建立引力的量子理论，我觉得（这是纯粹个人的猜测，故用"我"代替"我们"）必须首 先摆脱爱因斯坦对引力的理解。因为如果把引力场效应理解成时空的弯曲效应我就实在 难以使用量子的观点了。把时空量子化是什么意思？把几何量当成算符是什么意思？或 许将来有一天人们会接受这些新奇的观点，但是作者保守的相信这是不可能的。所以我 暂时把引力场理解成自旋为二的场，引力场的那些等效的几何表述全部来源于其自作用 。而且正是因为有着自作用，使引力场没有严格的平面波解。这样，我们很难找到一组 描述简单的力学量完备集来构造产生湮灭算符，也就是说，正则的量子化方法不凑效。 于是我们应该考虑路径积分量子化。前一段时间fft所介绍的量子引力也就是路径积分的 量子化方法。 但是，我们很难期望量子化后的引力场有什么实际的物理意义，引力的耦合常数不满足 重整化要求（量纲为质量的负幂次），而这无论在正则的还是在路径积分的量子化方法 中都是无法克服的。目前我们能够做的仅仅是一种半经典的量子化方法，就是把平面波 解（暂时不管他严不严格）的波失看作是四维动量的做法。而且这样会引入非物理的自 由度，就好像电磁场的非物理自由度一样。后者可以用规范不变性通过规定洛伦兹规范 消除，这样前者也必须建立一种规范不变性，这显然应该来源于广义协变原理。 现在我们暂时抛开引力的量子化的理想，而转向另一种理想，即爱因斯坦的用几何化方 法描述一切相互作用的理想。他的这一信念来源于电磁场的规范不变和引力场的广义协 变之间的深刻相似性。Popov曾经用非常形象的语言描述了这一相似性：考虑一个球，如 果球绕任一根过中心的轴转动的话，球面上各点的转动是不一样的，也就是说这种转动 具有定域性。于是我们可以认为一切定域的对称性都是由于某种空间的弯曲引起的。 从爱因斯坦开始，很多杰出的科学家为了这一美丽的目标而奋斗。这里只介绍一个Kalu za理论。把空间拓展到第五维，而且坚信爱因斯坦"相互作用本质是几何"的观点，在五 维时空中不引入能量动量张量，这样五维的爱因斯坦方程右边是零。我们把5*5的矩阵作 如下处理：左上角4＊4的矩阵看作是即将回到四维时空的度规，右边4＊1和下面的1＊4 阵看作是电磁场四矢量，右下角的一个元素看作是标量场，这样，通过解五维的爱因斯 坦方程我们的确可以得到思维时空中的引力场方程、电磁场方程。只是耦合常数不再是 "常数"，而与标量场有关。如果把标量场看作宇宙中的某种物质的分布，则这样的结果 正好和完全从马赫原理出发建立的Brans－Dicke引力理论一致。 正如所有的"高维"理论一样，这套做法最大的困难在于解释为什么我们看到的是四维时 空。空间的紧致化是途径之一，我们可以认为第五维是一个S1的圆。圆上的函数就可以 用可数个基本的模作傅里叶展开了。我们可以认为圆的半径小到只有最低频的模是可观 测的，这就是我们通常所观测到的思维世界。这套理论还能自然的得到电荷的量子化， 就像狄拉克的磁荷量子化一样，这完全是由空间的拓扑性质决定的量子化。但是巨大的 困难也就从此产生：如果我们要求量子化后的基本电荷电量和电子的一样，我们得到的 电子质量会比我们实际看到的大十几个数量级！这也就是Kaluza的理论不被人接受的最 重要的原因之一。 |
