您在文章中间反复强调对于一种科学方法，了解其根本涵义，知其然亦知其所以然，这是无疑是非常正确的，当然应该是教育的核心。
不过，用应用题的算术解法和代数解法的区别为例子来说明这个主旨，可能不是最合适的。
从简单的技术层面来说，多元一次方程组从根本上统一解决了所有这一类问题，从而揭示了这一类问题的数学本质---这恰恰是学生应该理解的根本涵义所在。算术解法，（顺便说一下，这些所谓“巧妙”的算术解法恰是很多小学“奥数”的主要教学内容，我个人非常反对。）恰恰是障目之一叶，以在特例下某种方便为技巧来炫耀，只是耽误学生走进真正深刻数学背景之森林的步伐而已。一个很简单的凸现算术法的局限性和表面性的办法就是：考虑一旦这些问题变成实系数的工程问题，哪怕及其简单，算术法也很容易使人迷惑，同时完全失去其所谓的“美感”或者“巧妙”。而实际上，整系数和实系数在这样的问题中是没有实质区别的。这样非实质的变化使得整个方法失效说明方法本身的问题。
从稍微深一点的层次来说，方程组的引入（以及用字母表示数，表示变量和常量，这种*代数* 方法的引入）为数学在观点上的提高打好了基础。线性方程组把一大类问题的共性抽象出来，归纳到同一个数学形式下，从而使数学在这个方向上专门发展成为可能。线性代数从高等观点上总结这些发展的成果，现代所有线性系统的研究都基于这些成果。然而，所有这些复杂结果的最初出发点都是线性方程组的您所谓的“纯粹符号”的高斯消去法解法。为什么会这样呢？问题在于您提出那些算术运算的所谓“物理意义”其实并非那个问题的本质所在，沉迷于这些“物理意义”（实际上是表面现象）的具体形式（这正是现代市场化的“奥数”在教导小学生们的东西）是实实在在的误导。一个成功的数学模型正是要脱离这些表象的东西，找到系统本质的共性，抽象出来，然后进行“纯粹符号”（其实并不是纯粹的符号，而是对于系统本质精华的最精确描述）的演算和研究，才能走到更高更强有力的层次上去。
从更加深刻的层面来说，物理学，数学和数学物理方法的发展历程是一个不断交流，分离，独立发展，再交流的过程。数学能够独立于物理学之外自我发展是一个核心的要点。这个观点当然和小学奥数什么的已经没有联系了，最近和一些老先生们在这个问题上也讨论了许久，呵呵，老先生们倒是有些很“新潮”的观点，反倒是我这个年轻后辈象是在坚持“主流传统”的观点。这就是题外话了。
仓促之间给您作答，恐怕言语之间不当之处颇多，还望您多多包涵。谢谢 ：）
不过，用应用题的算术解法和代数解法的区别为例子来说明这个主旨，可能不是最合适的。
从简单的技术层面来说，多元一次方程组从根本上统一解决了所有这一类问题，从而揭示了这一类问题的数学本质---这恰恰是学生应该理解的根本涵义所在。算术解法，（顺便说一下，这些所谓“巧妙”的算术解法恰是很多小学“奥数”的主要教学内容，我个人非常反对。）恰恰是障目之一叶，以在特例下某种方便为技巧来炫耀，只是耽误学生走进真正深刻数学背景之森林的步伐而已。一个很简单的凸现算术法的局限性和表面性的办法就是：考虑一旦这些问题变成实系数的工程问题，哪怕及其简单，算术法也很容易使人迷惑，同时完全失去其所谓的“美感”或者“巧妙”。而实际上，整系数和实系数在这样的问题中是没有实质区别的。这样非实质的变化使得整个方法失效说明方法本身的问题。
从稍微深一点的层次来说，方程组的引入（以及用字母表示数，表示变量和常量，这种*代数* 方法的引入）为数学在观点上的提高打好了基础。线性方程组把一大类问题的共性抽象出来，归纳到同一个数学形式下，从而使数学在这个方向上专门发展成为可能。线性代数从高等观点上总结这些发展的成果，现代所有线性系统的研究都基于这些成果。然而，所有这些复杂结果的最初出发点都是线性方程组的您所谓的“纯粹符号”的高斯消去法解法。为什么会这样呢？问题在于您提出那些算术运算的所谓“物理意义”其实并非那个问题的本质所在，沉迷于这些“物理意义”（实际上是表面现象）的具体形式（这正是现代市场化的“奥数”在教导小学生们的东西）是实实在在的误导。一个成功的数学模型正是要脱离这些表象的东西，找到系统本质的共性，抽象出来，然后进行“纯粹符号”（其实并不是纯粹的符号，而是对于系统本质精华的最精确描述）的演算和研究，才能走到更高更强有力的层次上去。
从更加深刻的层面来说，物理学，数学和数学物理方法的发展历程是一个不断交流，分离，独立发展，再交流的过程。数学能够独立于物理学之外自我发展是一个核心的要点。这个观点当然和小学奥数什么的已经没有联系了，最近和一些老先生们在这个问题上也讨论了许久，呵呵，老先生们倒是有些很“新潮”的观点，反倒是我这个年轻后辈象是在坚持“主流传统”的观点。这就是题外话了。
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