阿里数学竞赛椭球问题系1948年的John Ellipsoid 的一个特例，可用几何仿射变换的一些套路 ：）

继续上回说到的：

https://bbs.wenxuecity.com/znjy/6897286.html

 

John Ellipsoid ：

https://en.wikipedia.org/wiki/John_ellipsoid?

 

John Ellipsoid 是说一般凸多面体存在有一个（最小）包含椭球，和一个（最大）内充椭球，和这两个椭球的比例关系。需要用到几何仿射变换的一些套路来证明。这些数学是在AI 机器人方面有实际应用的算法的。

这个套路实际上经常出现在高端数学竞赛中，但一般多是涉及平面几何中的椭圆问题。几何仿射变换下面积的比例等，保持不变。 https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation

高端数学竞赛中几何仿射变换

https://www.math.cmu.edu/~ctj/Articles/affine-transformations.pdf

 

阿里这个椭球题套路可以如下这样的。根据专业数学家们的一些文献的理解 直观初等简化，并非原创。专业数学家的证明是很严格在N 维空间上R集合搞来搞去的蛮抽象的。但其实质的套路就是大概如下。

1. 任何中心对称的凸多面体都可以由同面数的中心对称的正凸多面体变换而得

任何中心对称的凸多面 《==》中心对称正凸多面体

2. 正方体（正6面体）或更多的，任何中心对称正多面体 都有一个外接球半径=R（顶点都在球面上）和一个内切球半径=r。注意“中心对称” 排除了 正四面体等非中心对称的正凸形。所以正方体是被考虑的最少面数的正多面体。

3. 考察 比例 R/r ，即外接球和内切球的比例。很明显面数越多，内切球越接近外接球。正方体时，差别最大，R/r 是最大值sqrt(3)，R/r <=sqrt(3)。因而所有外接球的面积/内切球面积<=3 。但是正多面体是包含内切球的，正多面体面积>内切球面积，所以有，3X正多面体面积>外接球的面积。 （ 也可以设r=1 为单位圆，R 由 sqrt(3) 随面数增多而递减少，无穷数面时 趋近 1 ） 

4. 通过反向仿射变换，

中心对称正凸多面体=>任何中心对称的凸多面

外接球变为=>外接椭球，内切球变为=>内切椭球。而且3X多面体面积>外接椭球的面积。几何仿射变换下面积的比例等，保持不变。

 

另外，2维平面上中心对称凸多变形外接椭圆和内切椭圆的比例<=sqrt(2). 一般N维空间的结果是sqrt(N) - 专业数学家们的一些文献结果

 

 

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