居然拿篇报纸上的文章证明你的民科。 连欧氏几何和非欧几何的争论点是什么都没搞清楚

我没时间给你科普太多， 就基本几条。

平行是几何概念，既不依赖于坐标系，也不依赖于任何测度。平行线的定义就是线不相交。（这里也没有所谓直线曲线之分）。

欧氏几何起源于Euclid的Elements，主要围绕卷1-4 和6的plane geometry， 其中包括5条公理。争议点在于第五公理，也就是平行公理，是独立存在还是可以从其他公理证明。平行公理的内容是： For any line l and any point P not on l, there exists a unique line m through P and parallel to l. 

近两千年来数学家的重点都集中在试图证明平行公理可以证明上。所说的non-Euclidean plane geometry, 是指承认Euclid 前四条公理的情况下，平行公理可否不成立。 

Elliptic geometry 中任两条线相交，也就没有平行线。但是它不全满足前面四条欧式公理，所以不需考虑。

前面四条欧式公理可以推出平行线的存在性，所以问题在于唯一性。 

Hyperbolic parallel property is: for any line l and any point P not on l, there are more than one line through P and parallel to l. 

Hyperbolic geometry = a geometry with Euclidean's first four postulates and hyperbolic parallal property. 

Lobachevsky 的贡献在于他论证hyperbolic geometry 可以存在。 他不是唯一的一个，与他思路类似的还有几乎同期的匈牙利数学家Janos Bolyai。 他们的工作当时没有被迅速接受，因为他们都没给出实例。 第一个例子是1868年Eugenio Beltrami 构造的。

（至于你说什么拿垂直测地线定义平行， 了解一下Lambert quadrilateral,  这个四边形有三个内角是直角，另一个不是。 按你的定义，对边是平行还是不平行啊？ 

https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_quadrilateral ）