债券与其他金融产品(比如股票等）非常不同的地方是，大部分债券有个固定的到期日（英文 maturity date）。如果不区分利息与本金，债券就是在约定的时间给投资人支付约定的现金流。抽象的说，就是在将来的时间 \(T_1, T_2, … ,T_n\) 支付现金流 \(C_1, C_2, …, C_n\)。
先考虑一个最简单的只有一个现金流的情况： 只在到期日 \(T\) 支付现金 \(C\)。假定今天 \(T_0\) 买这个债券要付现金 \(P\)，那么最简单的（年化）收益率（英文 yield）\(Y\) 可以由下面公式导出： \[ P (1+Y)^{T-T_0} = C \tag{1}\] 这里时间的单位是年，\(T-T_0\)是从今天到到期日是多少“年”（不一定是整数）。这个公式的意思是，今天 $1，1年后就增长到 $\( (1+Y) \)，两年后就增长到 $\( (1+Y)(1+Y)=(1+Y)^2 \)（复利，英文 compounding）... 。换句话说，1年后的 $1 今天只值 $\(1/(1+Y)\)，2年后的 $1 今天只值 $\(1/(1+Y)^2\)，... 。从 \(C, T-T_0, P\) 解出 Y: \[ Y=\left(\frac{C}{P}\right)^\frac{1}{T-T_0}-1 \tag{2} \] 另一个公式是从收益率 Y 算出今天的价值 P： \[ P = \frac{C}{(1+Y)^{T-T_0}} \tag{3} \] 这里 \(1/(1+Y)^{T-T_0}\) 称为折现因子（也翻译为贴现因子，英文 discount factor），意思是 \(T-T_0\) 年后的 $1 折合现在的 $\(1/(1+Y)^{T-T_0}\)。
在债券有多个现金流的情况下，收益率是由将来的现金流折现之和正好等于今天的价值来定义： \[ P = \frac{C_1}{(1+Y)^{T_1-T_0}}+\frac{C_2}{(1+Y)^{T_2-T_0}} + ... + \frac{C_n}{(1+Y)^{T_n-T_0}} \tag{4} \] 这样定义的收益率没有一个简单的公式能计算，一般要用计算机数值算法解出。
以上收益率的简单定义只是为了阐明基本概念。业界对收益率计算的定义有许多规范，首先是美国债券多数是每半年发一次利息（频率每年2次），收益率的定义中复利频率跟着改变： \[ P = \frac{C_1}{(1+Y_2/2)^{2(T_1-T_0)}}+\frac{C_2}{(1+Y_2/2)^{2(T_2-T_0)}} + ... + \frac{C_n}{(1+Y_2/2)^{2(T_n-T_0)}} \tag{5} \] 除了美国，其他5眼国家还有日本的债券基本也是每年发息2次，用差不多的收益率公式。大陆国家（意大利除外）多数是每年发息一次，用原来的定义公式。泛泛而谈，如果发息频率是每年 \(f\) 次，那么收益率 \(Y_f\) 的定义公式就是 \[ P = \frac{C_1}{(1+Y_f/f)^{f(T_1-T_0)}}+\frac{C_2}{(1+Y_f/f)^{f(T_2-T_0)}} + ... + \frac{C_n}{(1+Y_f/f)^{f(T_n-T_0)}} \] \[ = \sum_{i=1}^n \frac{C_i}{(1+Y_f/f)^{f(T_i-T_0)}} \tag{6} \] 业界还要考虑的是这个从 \(T_0\) 到 \(T_i\) 究竟怎么折算成多少年的问题，还有不到半年怎么折算的问题。这些都超出了本文要阐述的基本概念。
假定现金流还是老样子但我们把收益率里的复利频率增加到无穷大，理论上的收益率公式就变成： \[ P = \sum_{i=1}^n C_i e^{-Y_\infty (T_i-T_0)} \tag{7} \] 这个与茴香豆有多种写法类似，唬人用的，并不是业界规范里的。
债券利率风险指标 Duration
债券利率风险指标 Duration 的数学定义非常简单： \[ \text{Dollar Duration} = -P^\prime(Y) \tag{8} \] \[ \text{Duration} = -\frac{\text{Dollar Duration}}{P(Y)} \tag{9} \] 其中函数 \(P(Y)\) 是从收益率 \(Y\) 算出价值 \(P\) 的公式 ((4)、(5)、(6))，\(P^\prime(Y)\) 是 \(P\) 关于 \(Y\) 的1阶导数。大家可以验证一下，Duration 的单位是“年”。
当债券收益率从 \(Y\) 变到 \(Y + \Delta Y\) 时，债券价值的变化大约是： \[ \Delta P = P(Y+\Delta Y) - P(Y) \approx P^{\prime}(Y) \times \Delta Y \] 相对原来价值的变化是： \[ \frac{\Delta P}{P} \approx \frac{P^{\prime}(Y) \Delta Y}{P} = -\text{Duration} \times \Delta Y \tag{10} \] 大家可以想象一个跷跷板，一边坐着收益率，离支点距离是 1，另一边坐着投资的单位货币，距离支点是 Duration。收益率增加1%, 价值相对下降约 \(\text{Duration} \times 1\% \)。反过来，收益率下降1%, 价值相对上升约 \(\text{Duration} \times 1\% \)。
关于 TLT 是否能锁住收益率的思辨
我一直强调，收益率是假定持有到期锁定的年回报率，中途卖掉的话回报非常不确定。买 ETF TLT 的话，它的 tracking index (20+ year US Treasury) 一直在变，收益率是锁不住的。有网友争辩说 TLT 的收益率是能锁住的，因为收益率的变化体现在价钱变化中，统算的话收益率不变。
假定你今天买了 TLT，说好的收益率是每年5.0%，你打算20年后卖掉，期望全程收益率锁定在5.0%。如果买后20年利率平稳价钱平稳，很好你一直每年收5.0%。但不幸在你要买掉 TLT 的那一天早上，利率（及收益率）突然上涨1%, TLT 价钱跌了16%（注意 TLT 风险一直持续在高位，\(\text{Duration} \approx 16\text{year} \)，因为一直要维持 20+ year US Treasury）, 卖掉的话亏损平摊到20年，大约每年减0.8%，毛估估实现的收益率大约是4.2%而不是5.0%！
我可以举许多不确定的例子来说明 TLT 锁不住收益率。锁不住收益率的最主要原因是 index rebalance，到期日老变。
