网搜了一个科普素数分布的文章

论素数分布规律及哥德巴赫猜想成立的证明

原创：王保平 （数论研究文献，严禁剽窃转载）

一、素数分布的基本规律

（一）、素数分布的基本规律：素数离散分布于自然数无穷数列之中，指定范围内素数个数称作π(x)，根据素数定理指定范围内素数的计数公式为：π(x)~x/ln(x)；这是一个较为粗略的计数公式，但确是研究素数分布最基本的定理。指定范围内素数出现的概率为：1/ln(x)。ln(x)实际涵义是指定范围内相邻素数的平均间距，可用t(x)表示；指定范围x与π(x),t(x)的逻辑关系：x=π(x)*t(x)。

（二）、t(x)=ln(x),素数的动态平均间距呈现对数级别的增长，是素数分布最本质的规律。因为对数级增长是甚为缓慢而稳定，而且具有可预见性。指数级乘法规律转化为对数（以e为底的自然对数）的加法规律，这样是素数分布特有的规律。显见：ln(x^k)=k*ln(x)，其实是转化为k个ln(x)的连续相加之和。

如: ln(x^2)=2*ln(x)=ln(x)+ln(x)

Ln(x^3)=3*ln(x)=ln(x)+ln(x)+ln(x), 依次类推。

或者：ln(a*b)=ln(a)+ln(b)

Ln(a*b*c)=ln(a)+ln(b)+ln(c), 依次类推。

（三）、因t(x)~ln(x)~x/π(x),仅仅是一个粗略的近似值，ln(x)存在提高精确程度的空间，黎曼猜想的本质就是求取li(x)或ln(x)对于真值的误差项。如能求得较为精确的t(x)值，则可以更为准确地估计素数分布状况。可设：t(x)=ln(x)-ε；其实ε即勒让德常数，经证明极限为无穷大的时候：ε=1。

所以，素数平均间距的真值t(x)可表示为：t(x)=ln(x)-1

相应的我们可以得出更为精确的素数计数公式：π(x)=x/t(x)=x/[ln(x)-1]

（四）、等式：ln(x^k)=k*ln(x)的意义可以解释为，x^k内相邻素数的平均距离等于x内相邻素数平均距离的k倍。显然，这是一个非常重要的素数分布规律。

例如：k=2时，ln(x^2)=2*ln(x),

K=3时，ln(x^3)=3*ln(x),

K=4时，ln(x^4)=4*ln(x),

以此类推：ln(x^k)=k*ln(x)；

显见，x^k范围内，相邻素数的平均间距，等于x内素数平均间距的k倍，或者说，连续k个ln(x)相加之和。我们把{0→x}称为初始区间，可见x^k范围内素数的平均间距t(x)的数值，取决于初始区间x的数值，也即ln(x)的数值。

最常见也是最重要的幂指数2是素数分布研究的关键因素，因x^2范围内的素数判别，取决于√x内的素数；如{√x→x}范围内任意数如不是√x内素数的整数倍，则这个数必定是素数。

显然，初始区间{0→√x}内素数的分布状况决定这后继区间{√x→x}内素数的分布状况；由于ln(x^2)=2*ln(x)，同理ln(x)=2*ln(√x)；我们可得出一个关于素数分布的结论：平方数范围内，后继区间素数的平均间距等于初始区间的2倍，或者说后继区间素数的密度等于初始区间的1/2。同时，我们可推导出x^2范围素数计数公式：π(x^2)=x^2/2ln(x)=π(x)*x/2。

（五）、1/ln(x)和筛函数∏(1-1/p)具有等价性，也即：1/ln(x)=∏(1-1/p)。同理：ln(x)与∏[p/(p-1)]也具有等价性，可知：ln(x)=∏[p/(p-1)]。P的取值范围：2≦p<√x。因此，ln(x)的数值可定义为指定范围内筛取素数的动态模孔，确保该范围内的素数均可以无遗漏地筛选出来。Ln(x)是素数平均间距的动态估计值，充分说明了素数的增长具有平稳的对数规律。X至x^2范围ln(x)同步增加为2ln(x)，密度则约为原来的1/2。

（六）、指定范围{0→x}内可用1/ln(x)筛取该区间内任意不同区段的素数个数，因ln(x)是该区间任意区段统一的筛函数模孔。所以长度为ln(x)的区段是出现1个素数的平均长度。其下限为2，上限为该区间内允许的最长连续合数。