试解

先证一个引理：
x^3z + y^3x + z^3y - xyz(x+y+z) >= 0.

实际上，等价的形式是： x^2z(x-y) + y^2x(y-z) + z^2y(z-x) >= 0.
两种情况。
如果x>=y>=z, 有x^2z>= z^2y,y^2x>=z^2y 代入有

左边 >= z^2y(x-y) + z^2y(y-z) + z^2y(z-x) = 0.

如果x>=z>=y, 有x^2z >= y^2x, x^2z >= z^2y.

左边 >= x^2z(x-y) + x^2z(y-z) + x^2z(z-x) = 0.

证原不等式。

由齐次性不妨设:xyz=1. 则，原不等式等价于：

x^5z^2 + y^5x^2 + z^5y^2 >= x^3z + y^3x + z^3y).

由A-G不等式

x^5z^2 + y^5x^2 + z^5y^2 + x + y + z >= 2(x^3z + y^3x + z^3y)

再由引理

x + y + z = xyz(x+y+z)
两式相减即得。