试解

来源: wxcfan123 于 2015-02-16 11:35:58 [档案] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (454 bytes)

回答: 数学不等式 16 由魁北克人于 2015-02-13 10:58:31

引理： f(x)=x + 1/x 在区间[a, b] (a, b > 0) 上的最大值是 max(f(a), f(b)).
提示，函数在(0,infinity)上只有一个极小值点x=1.

将原不等式恒等变形成：
[(x + y)/sqrt(x^2 + y^2) + sqrt(x^2 + y^2)/(x + y)] <= 3/sqrt(2).

显然sqrt(x^2 + y^2) < (x + Y). 由平均不等式有 sqrt(x^2 + y^2) >= (x + Y)/sqrt(2).
这样上式的左边 <= f(1/sqrt(2)) = 3/sqrt(2).