证明:
设各线段被分割的两部分比值分别为x、y、z,各线段长度如图所示。另记绿色三角形面积为S1和S2,原三角形面积为S。
作一红色辅助线,如图所示。
两个三角形的高度相同时,其面积之比等于两个三角形底边之比。反复应用这一原理,可以建立S1与S的关系如下:
S = (1 + x)(1 + y)(1 + z) S1
同理,S = (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) S2
(下面从几何平均的角度考虑问题)
把上面两式相乘,则有
S^2 = [(1 + x)(1 + 1/x)] [(1 + y)(1 + 1/y)] [(1 + z)(1 + 1/z)] S1 S2
式中, (1 + x)(1 + 1/x) ≥ 4,(1 + y)(1 + 1/y) ≥ 4,(1 + z)(1 + 1/z) ≥ 4
可以得出 S^2 ≥ 64 S1 S2,即 S1 S2 ≤ [(1/8)S]^2
现在可以看出,绿色三角形面积S1、S2不可能都大于 (1/8)S,即至少有一个绿色三角形面积不大于原三角形面积的1/8
证毕