证明：园内接n边形中以正n边形面积最大

引理：如果园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1 A_i A_i+1…A_n 不是正n边形，则存在一园内接n边形，其面积 大于 园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1 A_i A_i+1…A_n 面积。

证明：

如果园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1 A_i A_i+1…A_n 不是正n边形，则存在一对邻边A_i-1 A_i、 A_i A_i+1，线段A_i-1 A_i ≠ 线段A_i A_i+1。因此，园弧A_i-1 A_i ≠ 园弧A_i A_i+1，A_i 就不是园弧A_i-1 A_i+1 的中点。

令园弧A_i-1 A_i+1 的中点是B_i ，则B_i 到线段A_i-1  A_i+1的距离 > A_i 到线段A_i-1  A_i+1的距离。

因此，三角形A_i-1 B_i A_i+1面积 > 三角形A_i-1 A_i A_i+1面积

因此，

     园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1 B_i A_i+1…A_n面积

=  园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1  A_i+1…A_n面积 + 三角形A_i-1 B_i A_i+1面积

>  园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1  A_i+1…A_n面积 + 三角形A_i-1 A_i A_i+1面积

=  园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1 A_i A_i+1…A_n面积

证明毕。

 

结论：园内接n边形中以正n边形面积最大。

证明：

上边引理的逆反命题是：

如果不存在一园内接n边形，其面积 大于 园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1 A_i A_i+1…A_n 面积，则园内接n边形 A₁ A₂…A_i-1 A_i A_i+1…A_n 是正n边形。

也就是：

园内接n边形中以正n边形面积最大。

证明毕。

 

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• 这证明简洁。顶一个。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 10/25/2011 postreply 18:02:43