三个平面可有、只有、共有 八种关系

        三个平面可有、只有、共有 八种关系

命题1: 一对（两个）平面可有、只有、共有 平行、重合、相交三种关系。

命题2: 如果一个平面与另外两个平面重合，则另外两个平面也重合。

命题3: 如果两个平面相交，则第三个平面至少要和它们中的一个相交。

命题4: 一条直线和一个平面也是可有、只有、共有 平行、重合、相交三种关系。

一． 对于三个平面，可组合成C（3，2）= 3对不同平面。每对平面都可有命题1所提到的三种关系：平行、 重合、 相交。因此，一种 “三个平面的关系”就可由 三个“一对平面的关系”来决定了。

二．“三个平面的关系”的种类 可以通过若干种方法来分析， 从而得到区别和划分。

    1． 按三对平面关系相同的个数 可分为

        1.1．三对平面的关系都相同：

            平行 平行 平行

            重合 重合 重合

            相交 相交 相交

        1.2．三对平面的关系有两对相同，一对不同：

            平行 平行 重合

            平行 平行 相交

            平行 重合 重合

            重合 重合 相交

            平行 相交 相交

            重合 相交 相交

        1.3．三对平面的关系都不相同：

            平行 重合 相交

然而，根据命题2: 如果一个平面与另外两个平面重合，则另外两个平面也重合，因此 平行 重合 重合 是不可能的。根据命题3: 如果两个平面相交，则第三个平面至少要和它们中的一个相交，因此平行 平行 相交、重合 重合 相交 、 平行 重合 相交 是不可能的。

这样，就还有如下6种可能的 三个平面的关系：

            平行 平行 平行

            重合 重合 重合

            相交 相交 相交

            平行 平行 重合

            平行 相交 相交

            重合 相交 相交

 
    2． 按 平行、 重合、 相交 的次序依次靠虑三对平面的关系

        2.1．一对平面的关系是平行

            2.1.1．第三个平面 与 这一对平面都平行，即 平行 平行 平行；

            2.1.2．第三个平面 与 这一对平面中的一个重合，另一个平行，即 平行 平行 重合；

            2.1.3．第三个平面 与 这一对平面都相交，即 平行 相交 相交。

        2.2．任何一对平面的关系都不是平行。一对平面的关系是重合

            2.2.1．第三个平面 与 这一对平面都重合，即 重合 重合 重合；

            2.2.2．第三个平面 与 这一对平面都相交，即 重合 相交 相交。

        2.3．任何一对平面的关系既不是平行，也不是重合。三对平面的关系都是相交

            2.3.1．三对平面的关系都是相交，即相交 相交 相交。

    3． 按 平行、 重合、 相交 的其它五个次序依次靠虑三对平面的关系

    4． 其它可能的分析方法

 
三．相交 相交 相交 ，三个平面 两两相交的情况 比较复杂。

如果二个平面相交，就有一条交线。第三个平面与前二个平面都相交。这条交线与第三个平面，根据命题4，可有平行 、重合、 相交 三种关系。

    1．如果前二个平面的交线与第三个平面平行，则三个平面 两两相交成 三条平行的直线。

    2．如果前二个平面的交线与第三个平面重合，则三个平面 两两相交成 一条直线。

    3．如果前二个平面的交线与第三个平面相交，则三个平面 两两相交成 三条汇于一点的直线。

这样，从相交 相交 相交  又衍生出三种可能的 三个平面的关系。

四．  结论：三个平面可有、只有、共有 八种关系。它们是

    1． 三个平面 两两平行（平行 平行 平行）；

    2． 二个平面平行，第三个平面与前两个平面之一重合（平行 平行 重合）；

    3． 二个平面平行，第三个平面与前两个平面都相交（平行 相交 相交）；

    4． 三个平面 重合（重合 重合 重合）；

    5． 二个平面重合，第三个平面与前两个平面都相交（重合 相交 相交）；

    6． 三个平面 两两相交成 三条平行的直线（相交 相交 相交1）；

    7． 三个平面 两两相交成 一条直线（相交 相交 相交2）；

    8． 三个平面 两两相交成 三条汇于一点的直线（相交 相交 相交3）。

五． 推广到三个三元方程的方程组。

    一个三元方程 对应于 笛卡尔直角座标系中的 一个平面，三个三元方程 就对应于 笛卡尔直角座标系中的 三个平面。因此，上述三个平面的八种关系，就对应了 三个三元方程的方程组 的八种解的情况。

    1． 三个平面 两两平行（平行 平行 平行），对应的方程组无解；

    2． 二个平面平行，第三个平面与前两个平面之一重合（平行 平行 重合），对应的方程组无解；

    3． 二个平面平行，第三个平面与前两个平面都相交（平行 相交 相交），对应的方程组无解；

    4． 三个平面 重合（重合 重合 重合），整个重合平面上的点都是对应方程组的解，无穷解；

    5． 二个平面重合，第三个平面与前两个平面都相交（重合 相交 相交），整个交线上的点都是对应方程组的解，无穷解；

    6． 三个平面 两两相交成 三条平行的直线（相交 相交 相交1），对应的方程组无解；

    7． 三个平面 两两相交成 一条直线（相交 相交 相交2），整个交线上的点都是对应方程组的解，无穷解；

    8． 三个平面 两两相交成 三条汇于一点的直线（相交 相交 相交3），三条直线汇于的那一点是对应方程组的唯一解。

    注意到，只有在第8种情况下，方程组才有唯一的解。

六．三元方程组的系数 具有 怎样的特征 才能导至 这八种不同的解的情况 呢？有待进一步地探讨。

（完）

所有跟帖： 

• 因为在原贴跟贴有困难，故新开一贴。欢迎指正！ -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/06/2011 postreply 08:09:26

• The detail of geometry is very good. -jinjing- ♀ (142 bytes) () 10/06/2011 postreply 14:30:00

• 回复：The detail of geometry is very good. -ym8000- ♀ (2118 bytes) () 10/07/2011 postreply 06:40:50

• 谢谢您 通过解析几何 对三个平面的八种关系 进行代数方程的表述。收藏研究。 -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/07/2011 postreply 09:33:49

• It should be the same as calculate the ranks of two matrix to d -wxcfan123- ♂ (160 bytes) () 10/07/2011 postreply 17:40:09

• Thanks, could you develop your ideas in more details? -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/07/2011 postreply 18:16:43

• to determine the solution of the system: -wxcfan123- ♂ (296 bytes) () 10/07/2011 postreply 20:12:54

• 高屋建瓴： the ranks 的概念应属线性代数范畴，初等代数的升华。谢！ -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/08/2011 postreply 09:31:55

• 回复：It should be the same as calculate the ranks of two matrix to -ym8000- ♀ (268 bytes) () 10/08/2011 postreply 05:52:17

• 高屋建瓴： the ranks 的概念应属线性代数范畴，初等代数的升华。谢！ -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/08/2011 postreply 09:31:09

• 津京，谢谢您的鼓励！ -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/07/2011 postreply 09:35:41

• 谢谢您的题目. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 10/07/2011 postreply 11:17:21