“与数学无关”定理在欧几里德平面几何学中的证明。(完全版）

来源: 皆兄弟也 于 2010-09-29 05:36:02 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (6962 bytes)

从同一点（O）出发有3条直线（OA,OB,OC），在3条直线上各取两个点构成两个三角形（A1B1C1和A2B2C2），两个三角形对应边的延长线各自相交形成3个交点（A1B1与A2B2相交于P点, A1C1与A2C2相交于Q点, B1C1与B2C2相交于R点），请证明这3个交点（P, Q,和R）一定是共线的。
证明：
1.基本事实
1.1. 欧几里德平面几何学第五条公设，平行公理：通过直线外一点，有且仅有一条与该直线平行的直线。
1.2. 平面上任何两条直线具有且仅具有三个关系之一：重合，平行和相交。

2.两条射线间的线段。
设OX, OY 为两条不重合，不共线的射线，即，角XOY != 0度或180度。点X1，X2位于OX上，点Y1，Y2位于OY上，则
2.1. X1，X2重合，Y1，Y2重合，即，OX1 = OX2，OY1 = OY2，即，OX1/OX2 = OY1/OY2 = 1，当且仅当X1Y1与X2Y2重合。
因为任意两个点可以通过 且仅 可以通过一条直线。
2.2. X1，X2重合，Y1，Y2不重合，即，OX1 = OX2，OY1 != OY2，即，OX1/OX2 = 1， OY1/OY2 != 1，当且仅当X1Y1与X2Y2相交于X1(X2)重合点。
不言而喻，只是强调一下。




2.3. 如果X1，X2不重合，Y1，Y2不重合，即，OX1 != OX2，OY1 != OY2，见上图，则
2.3.1. OX1/OX2 = OY1/OY2 != 1 当且仅当X1Y1与X2Y2平行。
2.3.2. OX1/OX2 2.3.3. OX1/OX2 显而易见，证明从略。

3.三条射线间的三角形。即本题。
设OA, OB 和OC为三条不重合，不共线的射线，即，角AOB != 0度或180度，角BOC != 0度或180度和角COA != 0度或180度。点A1，A2位于OA上，点B1，B2位于OB上，点C1，C2位于OC上，则
3.1. 若(A1，A2)，(B1，B2) 和 (C1，C2)三对点全重合，则根据2.1，三角形A1B1C1和A2B2C2 三边全重合，这与本题条件不符，此种情况不予考虑。
3.2. (A1，A2)，(B1，B2) 和 (C1，C2)三对点中，若有两对重合，则根据2.1，三角形A1B1C1和A2B2C2 就有一边重合，这与本题条件不符，此种情况不予考虑。
3.3. (A1，A2)，(B1，B2) 和 (C1，C2)三对点中，若仅有一对重合，比如A1，A2重合，则根据2.2，A1B1与A2B2的交点P位于A1(A2)重合点，A1C1与A2C2的交点Q也位于A1(A2)重合点。即，P, Q重合于一点，所以P, Q,和R实际上只是两点，它们一定是共线的。
3.4. 若(A1，A2)，(B1，B2) 和 (C1，C2) 三对点全不重合；即，OA1 != OA2，OB1 != OB2，OC1 != OC2；即，OA1/OA2 != 1，OB1/OB2 != 1，OC1/OC2 != 1；
3.4.1. 若OA1/OA2，OB1/OB2，OC1/OC2三个比例中，有任何两个相等，则根据2.3.1，三角形A1B1C1和A2B2C2 就有一边平行，这与本题条件不符，此种情况不予考虑。
3.4.2. 若OA1/OA2，OB1/OB2，OC1/OC2三个比例全不相等，不失为一般性，可设OA1/OA2 从符号顺序角度，只存在四种可能情况：
1）OA1/OA2 2）OA1/OA2 3）OA1/OA2 4）1 但如果把三角形A1B1C1和A2B2C2 调换一下，实质上，非符号上，情况3）就是情况2），情况4）就是情况1）。因此，只考虑情况1）和 情况2）即可。
在下面本质性的证明过程中，一系列中间过渡结论被推导出来，用符号“[i]”依推导顺序跟随其后，i为正整数。这些结轮在后来被引用时，符号“[i]”又出现作为前导。这样作的目的在于便于查找。



3.4.2.1. 如果OA1/OA2 因为A1B1与A2B2相交于P点，所以，B1位于A1P之间[1]，B2位于A2P之间[2]。
因为B1C1与B2C2相交于R点，所以，B1位于C1R之间[3]，B2位于C2R之间[4]。
因为A1C1与A2C2相交于Q点, 所以，C1位于A1Q之间[5]，C2位于A2Q之间[6]。
通过B1作A3B1 || A2B2[7]而交OA于A3，通过B1作B1C3 || B2C2[8]而交OC于C3，连接A3，C3，得三角形A3B1C3。
根据2.3.1，OA3/OA2 = OB1/OB2 != 1[9]； OB1/OB2 = OC3/OC2 != 1[10]。所以，OA3/OA2 = OC3/OC2 != 1[11]。再根据2.3.1，A3C3 || A2C2[12]。
因为OA1/OA2 因为OC1/OC2 因为[12]A3C3 || A2C2，A1C1与A2C2相交于Q点, 所以A1C1与A3C3也相交，令交点为Q3。则A1，C1，Q3，Q共线[15]。因为OA1/OA2 在三角形A1A2P中，[13]A3位于A1A2之间，[1]B1位于A1P之间，[2]B2位于A2P之间，并且[7]A3B1 || A2B2P，根据2.3.1，A1A3/A1A2 = A1B1/A1P != 1。
在三角形A1A2Q中，[13]A3位于A1A2之间，[15]Q3位于A1Q之上，[6]C2位于A2Q之间，并且[12][17] A3C3Q3|| [6]A2C2Q，根据2.3.1，A1A3/A1A2 = A1Q3/A1Q != 1。
结果，A1B1/A1P = A1Q3/A1Q != 1。在三角形A1PQ中，[1]B1位于A1P之间，[15]Q3位于A1Q之上，根据2.3.1，B1Q3 || PQ。
类似平行地，在三角形C1C2R中，[14]C3位于C1C2之间，[3]B1位于C1R之间，[4]B2位于C2R之间，并且[8]B1C3 || RB2C2，根据2.3.1，C1C3/C1C2 = C1B1/C1R != 1。
在三角形C1C2Q中，[14]C3位于C1C2之间，[15]Q3位于C1Q之上，[6]C2位于A2Q之间，并且[12][17] A3C3Q3|| [6]A2C2Q，根据2.3.1，C1C3/C1C2 = C1Q3/C1Q != 1。
结果，C1B1/C1R = C1Q3/C1Q != 1。在三角形C1RQ中，[3]B1位于C1R之间，[15]Q3位于C1Q之上，根据2.3.1，B1Q3 || RQ。
根据平行公理，通过直线B1Q3外一点Q，有且仅有一条与直线B1Q3平行的直线，因此，PQ和RQ 是同一条直线。也就是说，P, Q,和R共线。




3.4.2.2. 如果OA1/OA2 A1B1与A2B2相交于P点，P位于A1B1之间[1]及A2B2之间[2]；
B1C1与B2C2相交于R点，R位于B1C1之间[3]及B2C2之间[4]；
根据2.3.2，A1C1与A2C2相交于Q点, C1位于A1Q之间[5]，C2位于A2Q之间[6]。
通过B1作A3B1 || A2B2[7]而交OA于A3，通过B1作B1C3 || B2C2[8]而交OC于C3，连接A3，C3，得三角形A3B1C3。
根据2.3.1，OA2/OA3 = OB2/OB1 != 1[9]； OB2/OB1 = OC2/OC3 != 1[10]。所以，OA2/OA3 = OC2/OC3 != 1[11]。再根据2.3.1，A3C3 || A2C2[12]。
因为OA1/OA2 因为OC1/OC2 因为[12]A3C3 || A2C2，A1C1与A2C2相交于Q点, 所以A1C1与A3C3也相交，令交点为Q3。则A1，C1，Q，Q3共线[15]。因为OA1/OA2 在三角形A1A3B1中，[13]A2位于A1A3之间，[1]P位于A1B1之间，[2]P位于A2B2之间，并且[7]A3B1 || A2PB2，根据2.3.1，A1A2/A1A3 = A1P/A1B1!= 1。
在三角形A1A3Q3中，[13]A2位于A1A3之间，[15]Q位于A1Q3之上，[6]C2位于A2Q之间，并且[12][17] A3C3Q3|| [6]A2C2Q，根据2.3.1，A1A2/A1A3 = A1Q/A1Q3 != 1。
结果，A1P/A1B1 = A1Q/A1Q3 != 1。在三角形A1B1Q3中，[1] P位于A1B1之间，[15] Q位于A1Q3之上，根据2.3.1，B1Q3 || PQ。
类似平行地，在三角形C1C3B1中，[14]C2位于C1C3之间，[3]R位于B1C1之间,[4]R位于B2C2之间,并且[8]B1C3 || B2RC2，根据2.3.1，C1C2/C1C3 = C1R/C1B1 != 1。
在三角形C1C3Q3中，[14]C2位于C1C3之间，[15]Q位于C1Q3之上，[6]C2位于A2Q之间，并且[12][17] A3C3Q3|| [6]A2C2Q，根据2.3.1，C1C2/C1C3 = C1Q/C1Q3 != 1。
结果，C1R /C1B1 = C1Q/C1Q3 != 1。在三角形C1B1Q3中，[3]R位于B1C1之间，[15]Q位于C1Q3之上，根据2.3.1，B1Q3 || RQ。
根据平行公理，通过直线B1Q3外一点Q，有且仅有一条与直线B1Q3平行的直线，因此，PQ和RQ 是同一条直线。也就是说，P, Q,和R共线。
证明毕。

请您先登陆，再发跟帖！