依次任取7个小于等于10的正整数，求其和为20的概率？
解：
I. 依次任取7个小于等于10的正整数，共有10^7组数组。令其和为20的数组的组数为Z组。其和为20的概率就是Z/10^7。现在来求Z。
II. 多项式幂的展开过程
首先，看一个二项式的平方(x+ x^2)^2的展开：
(x+ x^2)^2
= (x+ x^2)*(x+ x^2)
二项式依次相乘
= x*x + x* x^2 + x^2* x + x^2*x ^2
一个二项式中的每一项与另一个二项式中的每一项依次相乘，共得2^2=4项；
= x^(1+1) + x^(1+2) + x^(2+1) + x^(2+2)
每一项都是2个同底数x的幂相乘，其指数相加。而相加的指数恰对应了一组2个小于等于2的正整数；
= x^2 + x^3 + x^3 + x^4
每一项都是x的幂，其指数是上式指数相加的和；
= x^2 + 2x^3 + x^4
合并同类项，x的次数从2到4。每一项的系数恰等于2个小于等于2的，其和为该项指数的正整数组的组数。具体来讲，
2个小于等于2的，其和为2的正整数组的组数是1；
2个小于等于2的，其和为3的正整数组的组数是2；
2个小于等于2的，其和为4的正整数组的组数是1。
同样，当把一个十项式的七次方 (x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展开，也经历同样的过程：
1．十项式依次相乘；
2．一个十项式中的每一项与其它六个十项式中的每一项依次相乘，共得10^7项；
3．每一项都是7个同底数x的幂相乘，其指数相加。而相加的指数恰对应了一组7个小于等于10的正整数；
4．指数相加后，所得每一项仍是x的幂，其指数是上一步指数相加的和；
5．合并同类项，x的次数从1*7=7到10*7=70。每一项的系数恰等于7个小于等于10的，其和为该项指数的正整数组的组数。
因此，7个小于等于10的，其和为20的正整数组的组数Z恰是x^20这一项的系数。
Z = (x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展开后，x^20这一项的系数
所以，问题转换成求(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展开后，x^20这一项的系数。
III. 但是，(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7 = x^7*(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7。所以，
(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展开后，x^20这一项的系数 = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展开后，x^13这一项的系数。
Z = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展开后，x^13这一项的系数。
IV. 求x^13这一项的系数
真要展开 (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7是一项沉重的工作，所幸我们只需它的x^13这一项的系数。
等比数列前十项和: 1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9 = (1 - x^10) / (1 - x) 。
(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 = ((1 - x^10) / (1 - x))^7 = (1 - x^10) ^7 * (1 - x)^(-7)。这样，(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7可看成(1 - x^10) ^7 和 (1 - x)^(-7)的乘积。而它们又分别可展开成幂级数的和。
展开二项式(1 - x^10) ^7:
(1 - x^10) ^7 = 1 – 7x^10 + 21x^20 - … ---------------------------------------------------------(1)
只有前两项的次数不大于13。其余项次数大于13不会影响 (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 的项x^13系数的构成。
分式 (1 - x)^(-7) 可按麦克劳林级数展开。
f(x) = (1 - x)^(-7) = SUM|(0 <= n < 00) (d^n f(x) / dx^n (x = 0)) * x^n / n! ----------------------(2)
(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展开式就是(1)，(2) 两式相乘后合并同类项。
因为我们只感兴趣于(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 的展开式项x^13的系数，相应于(1 - x^10) ^7展开式中只有1 和-7x^10两项会对此作出贡献， (1 - x)^(-7) 的麦克劳林级数展开式中只有x^13 和x^3两项会对此作出贡献。
项x^3的系数为: (d^3 f(x) / dx^3 (x = 0)) / 3! = (d^3 ((1 - x)^(-7)) / dx^3 (x = 0)) / 3! = 7*8*9/6 = 84。
项x^13的系数为: (d^13 f(x) / dx^13 (x = 0)) / 13! = (d^13 ((1 - x)^(-7)) / dx^13 (x = 0)) / 13! = 7*8*9*… *19/13! = 27132。
结果，(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 展开式的项x^13 = 1* 27132x^13 - 7x^10 * 84x^3 = (27132-588) x^13 = 26544 x^13。
Z = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展开后，x^13这一项的系数 = 26544。
概率: Z / 10^7 = 26544 / 10^7 = 0.0026544。
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讨论：
1．直取 ((1 - x^10) / (1 - x))^7在x = 0处的第13次导数，然后除以13!
Z = (d^13 ((1 - x^10) / (1 - x))^7 / dx^13 (x = 0)) * x^13 / 13!
= (d^13 (1 - x^10)^7 * (1 - x)^(-7) / dx^13 (x = 0)) * x^13 / 13!
=？
2．用类似方法求其和为17，18，19，20，21，22，23，… 的概率？
解：
I. 依次任取7个小于等于10的正整数，共有10^7组数组。令其和为20的数组的组数为Z组。其和为20的概率就是Z/10^7。现在来求Z。
II. 多项式幂的展开过程
首先，看一个二项式的平方(x+ x^2)^2的展开：
(x+ x^2)^2
= (x+ x^2)*(x+ x^2)
二项式依次相乘
= x*x + x* x^2 + x^2* x + x^2*x ^2
一个二项式中的每一项与另一个二项式中的每一项依次相乘，共得2^2=4项；
= x^(1+1) + x^(1+2) + x^(2+1) + x^(2+2)
每一项都是2个同底数x的幂相乘，其指数相加。而相加的指数恰对应了一组2个小于等于2的正整数；
= x^2 + x^3 + x^3 + x^4
每一项都是x的幂，其指数是上式指数相加的和；
= x^2 + 2x^3 + x^4
合并同类项，x的次数从2到4。每一项的系数恰等于2个小于等于2的，其和为该项指数的正整数组的组数。具体来讲，
2个小于等于2的，其和为2的正整数组的组数是1；
2个小于等于2的，其和为3的正整数组的组数是2；
2个小于等于2的，其和为4的正整数组的组数是1。
同样，当把一个十项式的七次方 (x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展开，也经历同样的过程：
1．十项式依次相乘；
2．一个十项式中的每一项与其它六个十项式中的每一项依次相乘，共得10^7项；
3．每一项都是7个同底数x的幂相乘，其指数相加。而相加的指数恰对应了一组7个小于等于10的正整数；
4．指数相加后，所得每一项仍是x的幂，其指数是上一步指数相加的和；
5．合并同类项，x的次数从1*7=7到10*7=70。每一项的系数恰等于7个小于等于10的，其和为该项指数的正整数组的组数。
因此，7个小于等于10的，其和为20的正整数组的组数Z恰是x^20这一项的系数。
Z = (x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展开后，x^20这一项的系数
所以，问题转换成求(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展开后，x^20这一项的系数。
III. 但是，(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7 = x^7*(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7。所以，
(x + x^2 + x^3+ … + x^10)^7展开后，x^20这一项的系数 = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展开后，x^13这一项的系数。
Z = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展开后，x^13这一项的系数。
IV. 求x^13这一项的系数
真要展开 (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7是一项沉重的工作，所幸我们只需它的x^13这一项的系数。
等比数列前十项和: 1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9 = (1 - x^10) / (1 - x) 。
(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 = ((1 - x^10) / (1 - x))^7 = (1 - x^10) ^7 * (1 - x)^(-7)。这样，(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7可看成(1 - x^10) ^7 和 (1 - x)^(-7)的乘积。而它们又分别可展开成幂级数的和。
展开二项式(1 - x^10) ^7:
(1 - x^10) ^7 = 1 – 7x^10 + 21x^20 - … ---------------------------------------------------------(1)
只有前两项的次数不大于13。其余项次数大于13不会影响 (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 的项x^13系数的构成。
分式 (1 - x)^(-7) 可按麦克劳林级数展开。
f(x) = (1 - x)^(-7) = SUM|(0 <= n < 00) (d^n f(x) / dx^n (x = 0)) * x^n / n! ----------------------(2)
(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展开式就是(1)，(2) 两式相乘后合并同类项。
因为我们只感兴趣于(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 的展开式项x^13的系数，相应于(1 - x^10) ^7展开式中只有1 和-7x^10两项会对此作出贡献， (1 - x)^(-7) 的麦克劳林级数展开式中只有x^13 和x^3两项会对此作出贡献。
项x^3的系数为: (d^3 f(x) / dx^3 (x = 0)) / 3! = (d^3 ((1 - x)^(-7)) / dx^3 (x = 0)) / 3! = 7*8*9/6 = 84。
项x^13的系数为: (d^13 f(x) / dx^13 (x = 0)) / 13! = (d^13 ((1 - x)^(-7)) / dx^13 (x = 0)) / 13! = 7*8*9*… *19/13! = 27132。
结果，(1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7 展开式的项x^13 = 1* 27132x^13 - 7x^10 * 84x^3 = (27132-588) x^13 = 26544 x^13。
Z = (1 + x + x^2 + x^3+ … + x^9)^7展开后，x^13这一项的系数 = 26544。
概率: Z / 10^7 = 26544 / 10^7 = 0.0026544。
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讨论：
1．直取 ((1 - x^10) / (1 - x))^7在x = 0处的第13次导数，然后除以13!
Z = (d^13 ((1 - x^10) / (1 - x))^7 / dx^13 (x = 0)) * x^13 / 13!
= (d^13 (1 - x^10)^7 * (1 - x)^(-7) / dx^13 (x = 0)) * x^13 / 13!
=？
2．用类似方法求其和为17，18，19，20，21，22，23，… 的概率？
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