答案

首先,请理解以下较为简单的结论(证明从略).
(A) 如果在3个球中,有1个球重量异常但已知其过轻(或过重),其它2个球重量正常且相同.用天平称1次,即可找出那个异常的球.
(B) 如果在9个球中,有1个球重量异常但已知其过轻(或过重),其它8个球重量正常且相同.用天平称2次,即可找出那个异常的球.

其次,可证明以下结论.
(C) 如果在13个球中,有1个球重量异常但不知其过轻或过重,其它12个球重量正常且相同.而在这13个球之外,另有9个球重量正常且与那12个球重量相同.则用天平称3次,即可找出那个异常的球, 并指出它是过轻或过重.
证: 将包含异常球的13个球表示为: Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Za,Zb,Zc,Zd.
而另外9个球正常球表示为: Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9.
第一步:将Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9放于天平左边,将Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9放于天平右边.
(1a)若天平左右不平衡,则可知异常的球在Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9中,且知其过轻或过重. 利用上述结论(B),共用天平称3次,即可找出那个异常的球, 且指出它是过轻或过重.
(1b) 若天平左右平衡,则可知异常的球在Za,Zb,Zc,Zd中. 于是…
第二步: 将Y1,Y2,Y3放于天平左边,将Za,Zb,Zc放于天平右边.
(2a)若天平左右不平衡,则可知异常的球在Za,Zb,Zc中,且知其过轻或过重. 利用上述结论(A),共用天平称3次,即可找出那个异常的球, 且指出它是过轻或过重.
(2b) 若天平左右平衡,则可知异常的球为Zd. 于是…
第三步: 将Y1放于天平左边,将Zd放于天平右边,即可知异常球Zd是过轻或过重.

总之,用天平称3次,可以找出那个异常的球, 且指出它是过轻或过重.


用4次称39个球的方法:
将39个球分为三组.每组中的球可表示为:
X组(13个球): X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,Xa,Xb,Xc,Xd.
Y组(13个球): Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Ya,Yb,Yc,Yd.
Z组(13个球): Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Za,Zb,Zc,Zd.
(1)第1次称重:将X组(13个球): X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,Xa,Xb,Xc,Xd放于天平左边,将Y组(13个球): Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Ya,Yb,Yc,Yd放于天平右边.
(1a) 如果天平的左右平衡,则重量异常的球在Z组中,利用上述结论(C),共用天平称4次,即可找出那个异常的球, 且指出它是过轻或过重.
(1b)如果天平的左右不平衡,不妨设天平的左边较轻,则重量异常的球或在X组(且必定过轻)或在Y组(且必定过重)中,于是进行第2次称重…
(2) 第2次称重: 将球Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Xa,Xb,Xc,Xd放于天平左边,再将球Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Ya,Yb,Yc,Yd放于天平右边.
(2a) 如果天平的左右平衡,则重量异常的球在X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9中, 并可知异常球过轻,利用上述结论(B),共用天平称4次,即可找出那个异常的球.
(2b) 如果天平的左边变得较重,则重量异常的球在Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9中, 并可知异常球过重,利用上述结论(B),共用天平称4次,即可找出那个异常的球.
(2c) 如果天平左边仍然较轻,则重量异常的球在Xa,Xb,Xc,Xd与Ya,Yb,Yc,Yd中, 于是进行第3次称重…
(3) 第3次称重: 将Ya,Yb,Yc,Xd放于天平左边, 再将Za,Zb,Zc,Yd放于天平右边.
(3a) 如果天平的左右平衡,则重量异常的球在Xa,Xb,Xc中, 并可知异常球过轻,利用上述结论(A),共用天平称4次,即可找出那个异常的球.
(3b) 如果天平的左边变得较重,则重量异常的球在Ya,Yb,Yc中, 并可知异常球过重,利用上述结论(A),共用天平称4次,即可找出那个异常的球.
(3c) 如果天平左边仍然较轻,则重量异常的球在Xd与Yd中, 于是进行第4次称重…
(4) 第4次称重: 将Yd放于天平左边, 再将Zd放于天平右边.
(4a) 如果天平的左右平衡, 则重量异常的球为Xd且过轻.
(4b) 如果天平的左边变得较重, 则重量异常的球为Yd且过重.

依照以上方法,只用4次称重即可找出重量异常的球.

所有跟帖： 

• 回复：答案 -jinjing- ♀ (175 bytes) () 05/02/2010 postreply 11:26:07

• 回复：答案 -jinjing- ♀ (263 bytes) () 05/02/2010 postreply 12:03:38

• 回复：回复：答案 -jinjing- ♀ (43 bytes) () 05/02/2010 postreply 12:32:38