这道题也可算是挑战题了.我的答案如下:

首先,请理解以下较为简单的结论(证明从略).
(A) 如果在3个球中,有1个球重量异常但已知其过轻(或过重),其它2个球重量正常且相同.用天平称1次,即可找出那个异常的球.
(B) 如果在9个球中,有1个球重量异常但已知其过轻(或过重),其它8个球重量正常且相同.用天平称2次,即可找出那个异常的球.
(C) 如果在12个球中,有1个球重量异常但不知其过轻或过重,其它11个球重量正常且相同.用天平称3次,即可找出那个异常的球, 并指出它是过轻或过重.

用4次称38个球的方法:
将38个球分为三组.每组中的球可表示为:
X组(13个球): X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,Xa,Xb,Xc,Xd.
Y组(13个球): Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Ya,Yb,Yc,Yd.
Z组(12个球): Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Za,Zb,Zc.
(1)第1次称重:将X组(13个球): X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,Xa,Xb,Xc,Xd放于天平左边,将Y组(13个球): Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Ya,Yb,Yc,Yd放于天平右边.
(1a) 如果天平的左右平衡,则重量异常的球在Z组中,利用上述结论(C),共用天平称4次,即可找出那个异常的球, 且指出它是过轻或过重.
(1b)如果天平的左右不平衡,不妨设天平的左边较轻,则重量异常的球或在X组(且必定过轻)或在Y组(且必定过重)中,于是进行第2次称重…
(2) 第2次称重: 将球Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Xa,Xb,Xc,Xd放于天平左边,再将球Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Ya,Yb,Yc,Yd放于天平右边.
(2a) 如果天平的左右平衡,则重量异常的球在X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9中, 并可知异常球过轻,利用上述结论(B),共用天平称4次,即可找出那个异常的球.
(2b) 如果天平的左边变得较重,则重量异常的球在Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9中, 并可知异常球过重,利用上述结论(B),共用天平称4次,即可找出那个异常的球.
(2c) 如果天平左边仍然较轻,则重量异常的球在Xa,Xb,Xc,Xd与Ya,Yb,Yc,Yd中, 于是进行第3次称重…
(3) 第3次称重: 将Ya,Yb,Yc,Xd放于天平左边, 再将Za,Zb,Zc,Yd放于天平右边.
(3a) 如果天平的左右平衡,则重量异常的球在Xa,Xb,Xc中, 并可知异常球过轻,利用上述结论(A),共用天平称4次,即可找出那个异常的球.
(3b) 如果天平的左边变得较重,则重量异常的球在Ya,Yb,Yc中, 并可知异常球过重,利用上述结论(A),共用天平称4次,即可找出那个异常的球.
(3c) 如果天平左边仍然较轻,则重量异常的球在Xd与Yd中, 于是进行第4次称重…
(4) 第4次称重: 将Yd放于天平左边, 再将Z1放于天平右边.
(4a) 如果天平的左右平衡, 则重量异常的球为Xd且过轻.
(4b) 如果天平的左边变得较重, 则重量异常的球为Yd且过重.

依照以上方法,只用4次称重即可找出重量异常的球.