完全题解: 2005全国高中数学联赛 -- 正方形剖分

因为分割的方法可以为三边形,四边形,五边形......显然,在正方形中做五边形分割是不完全的,不是解.因此,最多边数为四.也就是做正方形的分割.

具体方法是:
1)将一个正方形分割为四个正方形.产生12条边.
2)则下一分割,可得7个正方形,20条边.
由此得递推公式:
在第N次分割时的,正方形数是:4*N-(N-1)
对应的总边数是:
12*N-4
而2005=668*4-(668-1)
也就是:N=668时,正方形数可有,2005个,
则对应的总边数是:12*668-4=8012

最大值应该是:8012

所有跟帖： 

• 2005全国高中数学联赛 -- 正方形剖分 (原题见置顶贴) -^V^- ♂ (109 bytes) () 04/12/2009 postreply 00:38:25

• 剖分图见内: -^V^- ♂ (198 bytes) () 04/12/2009 postreply 06:00:58

• 答案不一样吗？ 用欧拉定理是直觉。 -乱弹- ♂ (0 bytes) () 04/12/2009 postreply 14:08:20

• 个人认为是题目出的不严格。 -^V^- ♂ (48 bytes) () 04/12/2009 postreply 14:13:58

• 错，按照你的剖分，边数应为8*N+4， 而不是12*N-4 -gguyy- ♂ (38 bytes) () 04/13/2009 postreply 10:26:23

• 是错的。谢谢。这就是所谓的唬人把戏。 -^V^- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 15:57:36

• 你剖分不符合定义。顶点不能在边内部的。 -乱弹- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 15:47:52

• 总算是引起你们的注意了。请看原题叙述。不做错，就不容易被注意。 -^V^- ♂ (139 bytes) () 04/13/2009 postreply 15:56:25

• 剖分好像有约定形成的定义。但是中学生也许不明白，所以应该先解释。 -乱弹- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 16:00:44

• 同意。象这样的题，是不应该出现在竞赛里的。有些儿戏了。 -^V^- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 16:04:48

• 我不认为他的剖分不符合定义，但得不到最大值。 -gguyy- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 17:06:57

• 原题中至少有两点不严谨：1）边数最大值。2）剖分。 -^V^- ♂ (0 bytes) () 04/13/2009 postreply 17:46:24