证明

需要证明 ∫ (0 to 1/2) f '(x)^2 dx ≥ 12 * (∫ (0 to 1/2) f(x) dx)^2。

f(x)=∫ (0 to x) f '(y) dy,　因此

∫ (0 to 1/2) f(x) dx　=　∫ (0 to 1/2) ∫ (0 to x) f '(y) dy dx　=　∫ (0 to 1/2) ∫ (y to 1) f '(y) dx dy = ∫ (0 to 1/2) (1-y) f '(y) dy。

根据Cauchy-Schwarz不等式，
　　
(∫ (0 to 1/2) f(x) dx)^2 ≤ ∫ (0 to 1/2) (1-x)^2 dx *∫ (0 to 1/2) f '(x)^2 dx = (1/12)∫ (0 to 1/2) f '(x)^2 dx