一道初中几何作图题,解法极简单巧妙,让我至今不忘

来源: 竞选 2008-10-04 14:26:47 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读: 次 (238 bytes)
本文内容已被 [ 竞选 ] 在 2008-11-01 10:57:56 编辑过。如有问题,请报告版主或论坛管理删除.
读初中二年级时,遇到这样一个几何作图题:给定一个圆O和圆外两个定点A和B。要求过A和B作一个圆和圆O相切。

一开始,没做出来。后来走在路上突然间就想到了一个非常简单明显的作法(三句话就可把作图方法讲清楚)。其证明只要一行简单的叙述就行了。

所有跟帖: 

算了一下,四句话就可把作图方法讲清楚 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/04/2008 postreply 14:33:51

1)过A或B作线于O切。 2)3点作一圆。 -吕奉先- 给 吕奉先 发送悄悄话 (0 bytes) () 11/20/2008 postreply 18:36:08

很显然,不行 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 11/21/2008 postreply 19:35:40

那时我14岁。你想试试吗? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/04/2008 postreply 14:45:19

有两个圆, 还没做出 :-( -灶王爷- 给 灶王爷 发送悄悄话 (0 bytes) () 10/04/2008 postreply 23:14:56

only straight-edge and compass allowed? -Mushy- 给 Mushy 发送悄悄话 (33 bytes) () 10/05/2008 postreply 03:00:02

incomplete solution -Mushy- 给 Mushy 发送悄悄话 (909 bytes) () 10/05/2008 postreply 03:57:00

你以CD为直径的圆连A和B两点都美国 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 07:07:33

回复:你以CD为直径的圆连A和B两点都没过,所以不符合要求 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 07:09:00

i am constructing the tangency point of the two circles. -Mushy- 给 Mushy 发送悄悄话 (83 bytes) () 10/06/2008 postreply 00:12:12

如果你不能证明你画的圆和给定的圆相切,就不能说你正确,那叫Mushy猜想 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 05:48:35

the first paragraph proves it. the detail is here -Mushy- 给 Mushy 发送悄悄话 (1057 bytes) () 10/05/2008 postreply 06:17:13

几何作图题只许用圆规和直尺,此题一定有解 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 05:51:57

连AB,过AB中线做一腄线C. 再用圆亏以O为枝点, -xyz100- 给 xyz100 发送悄悄话 (35 bytes) () 10/05/2008 postreply 13:46:15

回复:连AB,过AB中线做一腄线C. 再用圆亏以O为枝点, -xyz100- 给 xyz100 发送悄悄话 (32 bytes) () 10/05/2008 postreply 13:50:03

Cant believe I still remeber these after 30 years -xyz100- 给 xyz100 发送悄悄话 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 13:52:47

你怎么证明以D为圆心DA为半径的圆一定会与圆O相切?请看这个反例... -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (85 bytes) () 10/05/2008 postreply 14:37:50

你是对的, 应该是OD=AD+O半经, 关键是找D点, -xyz100- 给 xyz100 发送悄悄话 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 14:43:51

连AB,过AB中线做一腄线C. 再用圆亏以浮动点D为支点, -xyz100- 给 xyz100 发送悄悄话 (130 bytes) () 10/05/2008 postreply 15:06:25

哈哈,那样的话,AB中垂线上将出现密密麻麻的窟窿... -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (108 bytes) () 10/05/2008 postreply 15:26:43

应先练习简单的: 做圆过一直线外两点并与直线相切. -灶王爷- 给 灶王爷 发送悄悄话 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 15:42:02

这个变形题和原题的解法差不多,会解其中之一另一个也会解 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 16:07:36

因为直线也是一个圆,半径为无穷大而已 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 16:31:37

用圆规以O为圆心OA为半径画一个弧,交OB于A' -曲肱而枕- 给 曲肱而枕 发送悄悄话 曲肱而枕 的博客首页 (91 bytes) () 10/05/2008 postreply 22:11:00

反例:让A和B靠近些,并让A和B远离圆O,再试试你的方法 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (44 bytes) () 10/05/2008 postreply 22:36:02

说得对,我想差了 -曲肱而枕- 给 曲肱而枕 发送悄悄话 曲肱而枕 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:44:49

此问题的解 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (447 bytes) () 10/05/2008 postreply 23:07:46

this is indeed elementary. -Mushy- 给 Mushy 发送悄悄话 (1156 bytes) () 10/06/2008 postreply 00:54:47

借此题再问一个问题:什么情况下所作的圆肯定与圆O外切? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 16:26:29

换句话说:什么情况下所作的圆不可能与圆O内切? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 16:30:52

准确地说:什么情况下过A和B的圆不可能与圆O内切? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 16:40:08

另外:什么情况下过A和B的圆不可能与圆O外切? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 16:56:35

另外2:什么情况下过A和B的圆只有一个与圆O外切一个与圆O内切? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:03:39

另外3:什么情况下过A和B的圆只有一个与圆O外切? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:04:49

另外4:什么情况下过A和B的圆只有一个与圆O内切? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:05:26

高,吾佩服。 -火球魔法- 给 火球魔法 发送悄悄话 火球魔法 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:07:14

我就想让大家练习画圆 估计大家都画了不少圆吧? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:12:12

如果要求作一圆和三个给定的圆相切,那大家将要画更多的圆 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:42:53

assume A and B are on the extension line -yma16- 给 yma16 发送悄悄话 (65 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:12:28

在圆O上任取一点C,作圆ABC交圆O于另一点D -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:19:52

or,在圆O内任取一不在直线AB上的点,过此点与A和B两点作圆交圆O于C和D两点 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:02:54

高,我有巨复杂的解法,不好意思现了. -灶王爷- 给 灶王爷 发送悄悄话 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 21:24:51

此论坛对简单巧妙的解法更感兴趣 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 21:52:42

好象此法不能解做过两点切一线的圆 -灶王爷- 给 灶王爷 发送悄悄话 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 23:50:59

可以,作法几乎一样 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/08/2008 postreply 16:06:45

过A,B作一圆与直线相交与两点C和D,设直线AB和直线CD交于E -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:31:44

过E作圆的切线,设切点为F -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:33:46

以E为圆心EF为半径作圆交直线CD于G和H -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:39:35

过ABG作圆,过ABH作圆,则此两圆分别与直线CD相切于G和H两点 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:42:46

相对论在100多年前就被爱因斯坦发现了。我在8岁的时候也独立发现了 -华伦久费- 给 华伦久费 发送悄悄话 华伦久费 的博客首页 (0 bytes) () 10/08/2008 postreply 14:25:45

我还是怀疑相对论的正确性,还是更相信牛顿力学 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/08/2008 postreply 16:46:59

我女儿做的 -雪映梅花- 给 雪映梅花 发送悄悄话 雪映梅花 的博客首页 (132 bytes) () 11/15/2008 postreply 06:20:45

怎能肯定DE一定与圆O会相交呢? -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (160 bytes) () 11/16/2008 postreply 14:47:06

过A和B的圆不可能与圆O内切的充要条件: -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (62 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:01:31

过A和B的圆不可能与圆O外切的充要条件: -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (62 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:03:19

过A和B的圆只有一个与圆O外切一个与圆O内切的充要条件: -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (21 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:09:28

过A和B的圆只有一个与圆O相切并且是外切的充要条件: -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (45 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:37:40

过A和B的圆只有一个与圆O相切并且是内切的充要条件: -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (45 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:40:09

圆圆圆问题:作一个圆与三个给定的圆相切 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 21:58:32

点圆圆问题:过一个给定的点作一个圆与两个给定的圆相切 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:00:38

点点圆问题:过两个给定的点作一个圆与一个给定的圆相切,即此题 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:02:04

点点点问题:过三个给定的点作一个圆,大家都会 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:03:54

点点点问题:过三个给定的点作一个圆,大家都会 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:04:39

线线线问题:作一个圆与三条给定的直线相切,大家都会 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:06:58

点线线问题:过一个给定的点作圆和两个给定的直线相切 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:10:01

点点线问题:过两个给定的点作圆与给定的直线相切 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:12:13

类似有:线圆圆,线线圆,点线圆,等等问题 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:16:24

总之有ABC问题:A, B, C各自均可为点,线,圆 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:28:14

这都是一个问题而已,作一圆与三定圆相垂 -Mushy- 给 Mushy 发送悄悄话 (277 bytes) () 10/08/2008 postreply 02:49:43

回复:一道初中几何作图题,解法极简单巧妙,让我至今不忘 -tmp32990- 给 tmp32990 发送悄悄话 (110 bytes) () 10/11/2008 postreply 07:52:24

唯一无解的情形:A和B一个在圆O内,一个在圆O外,其他情形都有解 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:08:16

还有一个情形无解:A和B同时在圆O上 -竞选- 给 竞选 发送悄悄话 竞选 的博客首页 (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:12:15

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