一道初中几何作图题，解法极简单巧妙，让我至今不忘

读初中二年级时，遇到这样一个几何作图题：给定一个圆O和圆外两个定点A和B。要求过A和B作一个圆和圆O相切。

一开始，没做出来。后来走在路上突然间就想到了一个非常简单明显的作法（三句话就可把作图方法讲清楚）。其证明只要一行简单的叙述就行了。

所有跟帖： 

• 算了一下，四句话就可把作图方法讲清楚 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/04/2008 postreply 14:33:51

• 1)过A或B作线于O切。 2)3点作一圆。 -吕奉先- ♂ (0 bytes) () 11/20/2008 postreply 18:36:08

• 很显然，不行 -竞选- ♂ (0 bytes) () 11/21/2008 postreply 19:35:40

• 那时我14岁。你想试试吗？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/04/2008 postreply 14:45:19

• 有两个圆, 还没做出 :-( -灶王爷- ♂ (0 bytes) () 10/04/2008 postreply 23:14:56

• only straight-edge and compass allowed? -Mushy- ♂ (33 bytes) () 10/05/2008 postreply 03:00:02

• incomplete solution -Mushy- ♂ (909 bytes) () 10/05/2008 postreply 03:57:00

• 你以CD为直径的圆连A和B两点都美国 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 07:07:33

• 回复：你以CD为直径的圆连A和B两点都没过，所以不符合要求 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 07:09:00

• i am constructing the tangency point of the two circles. -Mushy- ♂ (83 bytes) () 10/06/2008 postreply 00:12:12

• 如果你不能证明你画的圆和给定的圆相切，就不能说你正确，那叫Mushy猜想 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 05:48:35

• the first paragraph proves it. the detail is here -Mushy- ♂ (1057 bytes) () 10/05/2008 postreply 06:17:13

• 几何作图题只许用圆规和直尺，此题一定有解 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 05:51:57

• 连AB,过AB中线做一腄线C. 再用圆亏以O为枝点, -xyz100- ♂ (35 bytes) () 10/05/2008 postreply 13:46:15

• 回复：连AB,过AB中线做一腄线C. 再用圆亏以O为枝点, -xyz100- ♂ (32 bytes) () 10/05/2008 postreply 13:50:03

• Cant believe I still remeber these after 30 years -xyz100- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 13:52:47

• 你怎么证明以D为圆心DA为半径的圆一定会与圆O相切？请看这个反例... -竞选- ♂ (85 bytes) () 10/05/2008 postreply 14:37:50

• 你是对的, 应该是OD=AD+O半经, 关键是找D点, -xyz100- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 14:43:51

• 连AB,过AB中线做一腄线C. 再用圆亏以浮动点D为支点, -xyz100- ♂ (130 bytes) () 10/05/2008 postreply 15:06:25

• 哈哈，那样的话，AB中垂线上将出现密密麻麻的窟窿... -竞选- ♂ (108 bytes) () 10/05/2008 postreply 15:26:43

• 应先练习简单的: 做圆过一直线外两点并与直线相切. -灶王爷- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 15:42:02

• 这个变形题和原题的解法差不多，会解其中之一另一个也会解 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 16:07:36

• 因为直线也是一个圆，半径为无穷大而已 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/05/2008 postreply 16:31:37

• 用圆规以O为圆心OA为半径画一个弧，交OB于A' -曲肱而枕- ♂ (91 bytes) () 10/05/2008 postreply 22:11:00

• 反例：让A和B靠近些，并让A和B远离圆O，再试试你的方法 -竞选- ♂ (44 bytes) () 10/05/2008 postreply 22:36:02

• 说得对，我想差了 -曲肱而枕- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:44:49

• 此问题的解 -竞选- ♂ (447 bytes) () 10/05/2008 postreply 23:07:46

• this is indeed elementary. -Mushy- ♂ (1156 bytes) () 10/06/2008 postreply 00:54:47

• 借此题再问一个问题：什么情况下所作的圆肯定与圆O外切？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 16:26:29

• 换句话说：什么情况下所作的圆不可能与圆O内切？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 16:30:52

• 准确地说：什么情况下过A和B的圆不可能与圆O内切？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 16:40:08

• 另外：什么情况下过A和B的圆不可能与圆O外切？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 16:56:35

• 另外2：什么情况下过A和B的圆只有一个与圆O外切一个与圆O内切？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:03:39

• 另外3：什么情况下过A和B的圆只有一个与圆O外切？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:04:49

• 另外4：什么情况下过A和B的圆只有一个与圆O内切？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:05:26

• 高，吾佩服。 -火球魔法- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:07:14

• 我就想让大家练习画圆 估计大家都画了不少圆吧？ -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:12:12

• 如果要求作一圆和三个给定的圆相切，那大家将要画更多的圆 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:42:53

• assume A and B are on the extension line -yma16- ♂ (65 bytes) () 10/06/2008 postreply 17:12:28

• 在圆O上任取一点C，作圆ABC交圆O于另一点D -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:19:52

• or，在圆O内任取一不在直线AB上的点，过此点与A和B两点作圆交圆O于C和D两点 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:02:54

• 高,我有巨复杂的解法,不好意思现了. -灶王爷- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 21:24:51

• 此论坛对简单巧妙的解法更感兴趣 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 21:52:42

• 好象此法不能解做过两点切一线的圆 -灶王爷- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 23:50:59

• 可以，作法几乎一样 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/08/2008 postreply 16:06:45

• 过A，B作一圆与直线相交与两点C和D，设直线AB和直线CD交于E -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:31:44

• 过E作圆的切线，设切点为F -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:33:46

• 以E为圆心EF为半径作圆交直线CD于G和H -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:39:35

• 过ABG作圆,过ABH作圆，则此两圆分别与直线CD相切于G和H两点 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:42:46

• 相对论在100多年前就被爱因斯坦发现了。我在8岁的时候也独立发现了 -华伦久费- ♂ (0 bytes) () 10/08/2008 postreply 14:25:45

• 我还是怀疑相对论的正确性，还是更相信牛顿力学 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/08/2008 postreply 16:46:59

• 我女儿做的 -雪映梅花- ♀ (132 bytes) () 11/15/2008 postreply 06:20:45

• 怎能肯定DE一定与圆O会相交呢？ -竞选- ♂ (160 bytes) () 11/16/2008 postreply 14:47:06

• 过A和B的圆不可能与圆O内切的充要条件： -竞选- ♂ (62 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:01:31

• 过A和B的圆不可能与圆O外切的充要条件： -竞选- ♂ (62 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:03:19

• 过A和B的圆只有一个与圆O外切一个与圆O内切的充要条件： -竞选- ♂ (21 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:09:28

• 过A和B的圆只有一个与圆O相切并且是外切的充要条件： -竞选- ♂ (45 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:37:40

• 过A和B的圆只有一个与圆O相切并且是内切的充要条件： -竞选- ♂ (45 bytes) () 10/06/2008 postreply 18:40:09

• 圆圆圆问题：作一个圆与三个给定的圆相切 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 21:58:32

• 点圆圆问题：过一个给定的点作一个圆与两个给定的圆相切 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:00:38

• 点点圆问题：过两个给定的点作一个圆与一个给定的圆相切，即此题 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:02:04

• 点点点问题：过三个给定的点作一个圆，大家都会 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:03:54

• 点点点问题：过三个给定的点作一个圆，大家都会 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:04:39

• 线线线问题：作一个圆与三条给定的直线相切，大家都会 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:06:58

• 点线线问题：过一个给定的点作圆和两个给定的直线相切 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:10:01

• 点点线问题：过两个给定的点作圆与给定的直线相切 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:12:13

• 类似有：线圆圆，线线圆，点线圆，等等问题 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:16:24

• 总之有ABC问题：A, B, C各自均可为点，线，圆 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/07/2008 postreply 22:28:14

• 这都是一个问题而已，作一圆与三定圆相垂 -Mushy- ♂ (277 bytes) () 10/08/2008 postreply 02:49:43

• 回复：一道初中几何作图题，解法极简单巧妙，让我至今不忘 -tmp32990- ♂ (110 bytes) () 10/11/2008 postreply 07:52:24

• 唯一无解的情形：A和B一个在圆O内，一个在圆O外，其他情形都有解 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:08:16

• 还有一个情形无解：A和B同时在圆O上 -竞选- ♂ (0 bytes) () 10/12/2008 postreply 13:12:15