量子场论粒子数本征态 Hilbert 空间是由量子态矢集合构成的完备的内积空间。如果这个态矢集合是粒子数算符的本征态集合（其实

来源: marketreflections 于 2011-05-11 12:46:55 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (63670 bytes)

回答: 没有色散的非线性方程：脉冲的不同点的速度不同，于是脉冲向前传播时因挤压变形由 marketreflections 于 2011-05-10 13:29:53

浅谈粒子数表象及它在量子领域的广泛运用

（YC）从Fock空间与场量子化胡侃开来

场的粒子数（或者场的振幅、能量等等

量子场论可以看作是场的量子力学，为方便计，我们只考虑自由场。
量子力学中，Hilbert 空间是由量子态矢集合构成的完备的内积空间。如果这个态矢集合是粒子数算符的本征态集合（其实也是能量本征态集合），那么这个Hilbert 空间就是Fock空间，还句话说，Fock空间是一个特殊的Hilbert 空间。

任何一个态矢可以用完备的基矢量集合展开；根据算符的谱表示可知，由基矢量和对偶矢量（例如基向量对应Dirac右矢|a>，则对偶矢量对应左矢<a|）之间的张量积构成的张量基，可以用来展开算符，即算符是Hilbert 空间中的二阶张量（态矢则是一阶张量）。例如，假定Fij是算符F在基向量集合{|a>}下的矩阵元：Fij=<i|F|j>，则算符F存在一下形式的谱表示：
F=Fij |i><j|，（由于我无法编辑求和符号，就按照Einstein求和约定，重复指标表示求和，即右边同时对i和j求和）
它可以看作是：作为二阶张量的算符F，可以用张量基{|i><j|} 展开。注意到|i>和|j>之间取运算<j|i>，属于内积运算，得到一个复数；而|i>和|j>之间取运算|i><j|，属于张量积运算（如同并矢式），得到一个算符。事实上，在给定表示空间，Dirac右矢表达的矢量|i>，可以用一个列矩阵表示（比如N×1矩阵），则同一组基向量中的左矢<j|，对应一个行矩阵（1×N矩阵），这样
内积<j|i>=(行矩阵)(列矩阵)=复数
张量积|i><j|= (列矩阵)(行矩阵)=(N×N矩阵)

如果上述完备的基矢量集合取作粒子数算符的本征态集合，得到的表象，被称作就是粒子数表象（又称占有数表象或Fock空间表象）。

我们知道，在场的量子化过程中，把场量的傅立叶展开系数由普通的数，升级为Fock空间中的算符（产生算符与湮灭算符，产生算符左乘湮灭算符，即是粒子数算符），便把场量由普通的函数变成场算子。用另一种眼光看，很粗略地说，把经典力学中的力学量升级为作用于波函数的算符，此时完成一次量子化手续，它使得粒子有了波动性；进一步把作为普通函数的波场函数升级为场算符，这反过来使得波场有了粒子性，这是二次量子化手续。但是“二次量子化”这种称呼，似乎只是一种历史过渡，人们宁愿称作“场量子化”。因为利用满足正则对易关系的广义坐标和广义动量概念，可以把一次量子化和二次量子化统一起来理解，只是原来的一次量子化中，满足正则对易关系的广义坐标和广义动量，是粒子在三维空间中的位置坐标和运动动量；而场量子化或二次量子化，涉及到有无穷多个自由度的、满足正则对易关系的广义坐标和广义动量。

三维空间中的任何运动（即不包含内部空间自由度上的运动，如粒子自旋），可以看作是不同简谐运动的叠加；而场可以看作简谐振子的集合。我们知道，简谐振子的量子力学，既可以用解Schrodinger方程的形式用数理方程手段得到（一次量子化方法），又可以通过引入占有数表象更为简单地获得（二次量子化方法）。这里也暗示：可以把一次量子化和二次量子化统一起来理解。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-25 10:34 编辑 ]

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blackhole 威望 +2 原创内容 2008-6-25 17:48

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前程如梦

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2^# 大中小发表于 2008-6-25 17:23 只看该作者

泛函分析没学完,永远会比各位慢后一步

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3^# 大中小发表于 2008-6-25 17:56 只看该作者

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原帖由 星空浩淼 于 2008-6-25 10:15 发表
量子力学中，Hilbert 空间是由量子态矢集合构成的完备的内积空间。如果这个态矢集合是粒子数算符的本征态集合（其实也是能量本征态集合），那么这个Hilbert 空间就是Fock空间，还句话说，Fock空间是一个特殊的Hilbert 空间。

这种说法可能有问题吧。一个线性空间取什么作为基矢，是任意的。不能取什么为基矢就把这个空间叫做某某空间。因为这些空间实际上是同一个空间。所以取粒子数算符本征态为基矢时，只能叫做Fock表象。也就是说，Fock应该只是对表象（基矢）的称呼，而不是对空间的称呼。

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原帖由 星空浩淼 于 2008-6-25 10:15 发表
三维空间中的任何运动（即不包含内部空间自由度上的运动，如粒子自旋），可以看作是不同简谐运动的叠加；

我疑心自旋是否能称为内部空间自由度。因为自旋角动量是角动量的一部分，而角动量是三维空间旋转的生成元。

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4^# 大中小发表于 2008-6-25 17:57 只看该作者

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原帖由 前程如梦 于 2008-6-25 17:23 发表
泛函分析没学完,永远会比各位慢后一步

这里面好像不用到专门的泛函。

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5^# 大中小发表于 2008-6-25 22:24 只看该作者

回blackhole兄：

1）“空间”也好，“表象”也罢，在这里只是习惯性、便利性称呼而已。由一组完备正交基矢，张成一个表示空间（坐标系），因此称作什么什么表示空间，是很自然的事情。你如果多看几本书，就不会对这些称呼感到奇怪。作为科普性文章，不能写自己杜撰的东西，只能写公认的知识。

2）地球的自旋运动，属于时空中的运动，肯定不属于内部自由度上的运动；但是量子力学中的粒子自旋，自从人们知道有它之后，有过许多尝试，试图把它归结为时空中的某种自转运动，但最后以失败告终（尤其是对于电子这种Fermi粒子而言）。在量子力学描述中，粒子自旋自由度属于内部自由度。至于
总角动量＝自旋＋轨道角动量＝守恒量
这表明自旋部分与轨道部分之间存在相互作用相互转换。这好比如，量子场论中，某个总的Hamiltonian是守恒的，但是它来自几个不同方面的贡献，有时空中的运动动能，有色相互作用能量，有电磁相互用能量，等等。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-25 22:25 编辑 ]

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6^# 大中小发表于 2008-6-25 22:38 只看该作者

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原帖由 星空浩淼 于 2008-6-25 22:24 发表
1）“空间”也好，“表象”也罢，在这里只是习惯性、便利性称呼而已。由一组完备正交基矢，张成一个表示空间（坐标系），因此称作什么什么表示空间，是很自然的事情。你如果多看几本书，就不会对这些称呼感到奇怪。作为 ...

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7^# 大中小发表于 2008-6-25 23:23 只看该作者

我感觉自旋与轨道角动量之间的作用，其实是自旋的进动在起作用，而不是自旋本身。自旋大小永远是不变的，只有自旋方向在变。

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8^# 大中小发表于 2008-6-25 23:36 只看该作者

查了一点资料，主要来自
http://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space

The Fock space is an algebraic system (Hilbert space) used in quantum mechanics to describe quantum states with a variable or unknown number of particles. It is named for V. A. Fock. The origin of the Fock space concept lies in physics. A construction made by the Russian physicist Fock in 1932 suggested the way of passing from states of single objects to states of collections of these objects.

Technically, the Fock space is the Hilbert space made from the direct sum of tensor products of single-particle Hilbert spaces:
$F_\nu (H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} S_\nu H^{\otimes n}$
where $S_\nu$ is the operator which symmetrizes or antisymmetrizes the space, depending on whether the Hilbert space describes particles obeying bosonic (ν = + ) or fermionic (ν = - ) statistics respectively. H is the single particle Hilbert space. It describes the quantum states for a single particle, and to describe the quantum states of systems with n particles, or superpositions of such states, one must use a larger Hilbert space, the Fock space, which contains states for unlimited and variable number of particles. Fock states are the natural basis of this space.

A useful and convenient basis for this space is the occupancy number basis. If φ_i is a basis of H, then we can agree to denote the state with n0 particles in state φ_0, n1 particles in state φ_1, ..., nk particles in state φ_k by
|n0,n1,...,nk》
Such a state is called a Fock state. Since φ_i are understood as the steady states of the free field, i.e., a definite number of particles, a Fock state describes an assembly of non-interacting particles in definite numbers. The most general pure state is the linear superposition of Fock states.

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9^# 大中小发表于 2008-6-25 23:43 只看该作者

有个疑问：象|n0,n1,...,nk》这样的态，它是 $H^{\otimes k}$ 中的基矢，（错误，见后面季候风的意见）意义明确。但|n0》+|n0,n1》这样的态表示什么？

英文输入状态下的单书名号在提交后居然显示为“>” 故只好用中文输入状态的双书名号。

[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-6-28 15:07 编辑 ]

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10^# 大中小发表于 2008-6-26 09:26 只看该作者

一旦所考虑的系统模式有k＋1个（比如有K＋1个不同谐振模式的光子系统），描述这样的系统所采用的基向量，对应每个模式的基向量的张量积，即
|n0,n1,...,nk>= |n0>|n1>|n2>...|nk>
它表示这样的态：模式为0的光子有n0个，模式为1的光子有n1个...模式为k的光子有nk个。
此时，类似
|n0>+|n0,n1>
这样的表达式是没有意义的。我们只能在同一种表示约定下进行描述。例如
|n0, 0, 0, ..., 0>+|n0,n1, 0, 0, ..., 0>
这样的表达式则是有意义的，它表示这样两个态的叠加：模式为0的光子数为n0而其他模式的光子数均为零的态，模式为0的光子数为n0、模式为1的光子数为n1、其他模式的光子数均为零的态，二者叠加。

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11^# 大中小发表于 2008-6-26 12:50 只看该作者

引用:

原帖由 星空浩淼 于 2008-6-26 09:26 发表
此时，类似|n0》+|n0,n1》这样的表达式是没有意义的。

但我引的那段中有direct sum一语。如果按其本意来说，这种和是允许的。而且Fock空间既然称为空间（当然应该理解为线性空间），那么其中任意两个矢量相加都应该是有意义的。如果|n0》+|n0,n1》真的没意义，那么Fock空间就不是线性空间了，也就不能说成是态矢空间了。
也许|n0》+|n0,n1》真就有意义？

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12^# 大中小发表于 2008-6-26 17:21 只看该作者

呵呵，关于直和和直积的概念，以前在繁星客栈争论得不亦乐乎，原来数学中与物理中同一概念常常有差别。

同一空间中任意两个矢量相加，当然是可以的。但是，|n0>和|n0,n1>不属于同一个空间中的矢量，它们相加，如同一个矢量与一个张量加在一起，即一个一阶张量与一个二阶张量加在一起。硬要加在一起，有：
|n0>+|n0,n1>=|n0>+|n0>|n1>=|n0>(1+|n1>)
右边的1+|n1>是没有意义的，因为1不是Fock空间中的矢量。

如果是k个一维矢量空间直和（数学中又称作直积，物理学中则把直积对应张量积），会得到一个K维矢量空间。

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13^# 大中小发表于 2008-6-26 17:34 只看该作者

我说的是，|n0>和|n0,n1>都是Fock空间中的矢量，为什么不能相加？如果不能，那么称Fock空间为“空间”就很有问题。

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14^# 大中小发表于 2008-6-26 17:44 只看该作者

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15^# 大中小发表于 2008-6-26 18:53 只看该作者

这样说的话，那么我在8楼贴的那个Fock空间的定义很成问题。
你的意思是：只有各 $S_\nu H^{\otimes n}(n=1,2,3,\cdots)$ 才是一系列的Fock空间。这些空间的直和 $\bigoplus_{n=0}^{\infty}$ 是没有意义的。（这里我对星空浩淼的理解有误，该陈述本身也有误。）

[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-6-28 15:09 编辑 ]

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16^# 大中小发表于 2008-6-26 20:45 只看该作者

|n0>+|n0,n1>不是直和运算
|n0>与|n1>之间才可能定义直和运算，|n0>、|n1>、|n3>三者之间可以定义直和运算...只要|ni>与|nj> （i不等于j）正交。

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北落师门

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17^# 大中小发表于 2008-6-26 21:04 只看该作者

$\exp(\lambda_1a_1^++\lambda_2a_2^++\lambda_3a_3^++...)$
作用在真空态上，会得到什么样的态？

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18^# 大中小发表于 2008-6-26 21:24 只看该作者

引用:

原帖由 北落师门 于 2008-6-26 21:04 发表
\exp(\lambda_1a_1^++\lambda_2a_2^++\lambda_3a_3^++...)
作用在真空态上，会得到什么样的态？

如果把指数这样改造：在你给出的现有指数的基础上，再减去这个指数的厄米共轭，那么用这样得到的新指数因子作用于真空，将得到一个多模相干态。

相干态最初是由Schrödinger于1926年所引入，原意是寻找这样一种量子态，使得坐标算符与Hamilton量算符在态平均的意义上完全等同于对应的经典运动。只有在势能函数不超过坐标的二次幂的形式时才有解。因此，可望在谐振子的某些叠加态里找到这种态。在60年代，相干态概念被广泛应用于量子光学等领域，Glauber(首先提出“相干态”coherent state这个词)等人广泛地应用相干态来处理光场的的相干性质和光子统计。例如，腔体(cavity)中的电磁辐射场往往表示成简正模式（normal modes）的叠加，辐射场被看作无穷多个谐振子组成的体系，而辐射场的状态就用谐振子能量本征态上的光子占有数来描述，但后来发现这种表象不太适合于描述辐射场的涉及相位和振幅变量的现象，而用相干态来描述却比较方便，易于展现光子之间的合作行为（cooperative behavior）。

在经典光场中，光场的相位是一个可观测量，因此在量子化理论中应该存在对应的相位算符。从量子理论来看，光场的振幅（或粒子数）与光场的相位是一对共轭量，粒子数算符和相位算符不对易，因此二者不能同时测准，存在Heisenberg测不准关系。因此处于粒子数算符的本征态时（也是自由能量本征态），场的相位完全不确定；处于相位算符本征态时，场的粒子数（或者场的振幅、能量等等）完全不确定。有时我们感兴趣的量子态，既非粒子数算符的本征态(粒子数或振幅确定而相位完全不确定的状态)，也非相位算符的本征态（相位确定而粒子数或振幅完全不确定的状态），而是同时兼顾振幅和相位的态（让振幅和相位都有一定的不确定度，但它们又不是完全不确定），此时相干态是一个很好的选择，它使得粒子数（或振幅）和相位的涨落之间满足最小不确定关系，而且量子相干场的量子力学平均正好对应振幅和相位同时确定的经典相干场，是与经典光场最接近的量子光场。

相干态集合有两个重要特点：1）虽然具有连续的本征值，却是可归一的（这一点跟动量本征态和坐标本征态不同，后二者具有连续的本征值但是只能归一到δ函数）；2）相干态之间不是正交的，但其集合却是完备的。实际上是超完备的。这两点是相互联系的，因为“本征值连续，本征态相互正交又构成完备集合”的情况，可以证明这些本征态是不能归一的（Dirac: Quantum Mechanics, p. 62, 39）.因而可以用相干态集合作为基底，光场的任意态矢量都可以表达为相干态的叠加。如果表示函数限制为全纯的，任意态矢量表达为相干态的展开是唯一的。这种表象就称为相干态全纯表象。把任意一个态矢用相干态展开。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-26 21:26 编辑 ]