量子场论某种粒子的产生和湮灭时，要确定是那种量子状态的粒子在产生或湮灭，因此表达产生算符和湮灭算符的符号

来源: marketreflections 于 2011-05-11 12:59:56 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (63023 bytes)

回答: 清华01 纸上乱弹物理学（11,11特别版）——孤子与单极由 marketreflections 于 2011-05-10 22:20:19

呵呵，师门兄在这里也粗心了一回（还让blackhole兄的看法左右摇摆，立场不坚定

）。
对于多模或多个不同量子状态粒子情形，真空|0>是简写，真实含义是：
|0>＝|0>|0>...|0>=|0,0,0,...0>
只有对于多模或多个不同量子状态粒子情形，你才能定义多个产生和湮灭算子——正如你在17楼提的问题中，表达式指数中有多个产生算子。如果是单模，你给的表达式中指数就只有一项，而不是多项之和。因此，你17楼给的表达式结果应该是（此时还不是相干态。我在18楼回帖中说的相干态，同时是其中任一个湮灭算符的本征态）：
A|0,0,0,...,0>+B|1,1,1,...,1>+C|2,2,,...,2>+......
而类似|n0>+|n0,n1>+....的写法，至少是不规范的

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-28 10:54 编辑 ]

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季候风

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23^# 大中小发表于 2008-6-28 11:54 只看该作者

星空兄对 Fock 记号的解释适用于多个谐振子的系统。在二次量子化中，自由全同粒子系统的态应该相当于一个振子的 Fock space. 有什么特别的理由需要考虑多种自由全同粒子（即多个振子）共同存在的状态吗？在场论中，粒子数和粒子种类数都可变，按你的解释，到底应该写出几个直积因子才够呢？我觉得直接用产生湮灭算子来定义 Fock 态更清楚明白。

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北落师门

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24^# 大中小发表于 2008-6-28 12:09 只看该作者

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25^# 大中小发表于 2008-6-28 12:27 只看该作者

回季兄：
是这样的，量子场相当于谐振子的集合。量子场中存在多个粒子时，不同粒子不一定处于完全相同的量子状态，每种量子态对应一种粒子的模式。处于完全相同量子状态的粒子之间不可分辨，而处于不同量子状态的粒子之间是可分辨的。当我们谈论某种粒子的产生和湮灭时，要确定是那种量子状态的粒子在产生或湮灭，因此表达产生算符和湮灭算符的符号，同时带有表达量子态的指标，带有不同指标的产生算符作用于真空，便产生不同量子态的粒子。例如|n0,n1,0,0...,0>表示场处于这样的一个量子态（粒子数态）：模式为0的粒子有n0个，模式为1的粒子有n1个，其他模式的粒子全部为零。

以电磁场为例，场正则量子化中，有时会采用“箱归一化”方法，即把无穷大的自由空间看作是一个正方体的箱子，让边长趋于无穷大，最后得到的结果跟无穷大自由空间中的场一样。
但是应用中，我们常常需要考虑电磁场在真实的、尺寸有限的腔体里，或其在部分空间自由度被约束的边界条件里（例如波导或者激光腔体里面），此时电磁波在被约束的方向上呈现驻波结构。驻波存在多种不同的波型（相当于存在多种不同量子状态的光子），每一种波型成为一种模式，多种波型同时并存时，称为“多模”情形。我们知道，光纤通信技术中，有时尽量让光纤（光纤就是一种波导）中只存在一种波型，此时称为单模光纤。

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季候风

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26^# 大中小发表于 2008-6-28 13:15 只看该作者

其实 blackhole 问的是个数学问题，我们都扯远了。首先应该注意的是，单粒子态空间 H 一般是无穷维的，基底记为 $\{ \phi_i\}_0^\infty$ . 现在假定系统包含有限个粒子，分别是 $n_{i_k}$ 个处于 $\phi_{i_k}$ 的态, k = 1,2, ..., t. 设 $N = n_{i_1}+\cdots+ n_{i_t}$ , 那么这个态应该记为

$S_N \Big( \phi_{i_1}^{\otimes n_{i_1}}\ \otimes \cdots \otimes \phi_{i_t}^{\otimes n_{i_t}} \Big)$ ,
它在空间 $H^{\otimes N}$ 里。

blackhole 的例子里， $|n_0> + |m_0m_1>$ , 如果 $n_0 = m_0+m_1 = N$ , 那么两项都属于 $H^{\otimes N}$ , 都代表有 N 个粒子的态，其和还属于 $H^{\otimes N}$ ；如果 $n_0 \neq m_0+m_1$ , 那么它们的和是形式和，仍然有意义，由叠加原理，系统可能有 $n_0$ 个粒子，也可能有 $m_0+m_1$ 个粒子。

[ 本帖最后由季候风于 2008-6-28 13:21 编辑 ]

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27^# 大中小发表于 2008-6-28 14:19 只看该作者

师门兄在24楼说得对。

如果
|n0>+|n0,n1>
代表的含义是
|n0, 0, 0, ..., 0>+|n0,n1, 0, 0, ..., 0>
就没有问题了。符号表达方式是人为的，但是含义要统一，才不会相互误解

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-28 14:23 编辑 ]

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blackhole

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28^# 大中小发表于 2008-6-28 14:47 只看该作者

引用:

原帖由 季候风 于 2008-6-28 11:54 发表
在二次量子化中，自由全同粒子系统的态应该相当于一个振子的 Fock space. 有什么特别的理由需要考虑多种自由全同粒子（即多个振子）共同存在的状态吗？

这个可能不对吧？我觉得应该是同种自由粒子的每个能量本征态、而不是每种粒子相当于一个谐振子（也就是“模式”mode）。量子力学中的谐振子由其圆频率 $\omega$ 表征，而在量子场论中，谐振子（或模式）由其动量 $\vec{p}$ 表征，该动量也确定了描述该谐振子的另一参数——能量（圆频率） $\omega=\sqrt{\vec{p}^2+m^2}$ 。这么说，
单体能量本征态＝模式（mode）＝谐振子；
处于某本征态上的粒子数＝处于这种模式的粒子数＝相应谐振子的量子数n＝量子的数目＝粒子数算符的某一本征值。
所以，在量子力学（而不是量子场论）中，“粒子数算符”的说法应该不太确切，称为“量子数算符”更好些。因为在单谐振子模型的量子力学中，从头到尾都只有一个“粒子”，但允许有多个“量子”。

引用:

原帖由 星空浩淼 于 2008-6-28 12:27 发表
处于完全相同量子状态的粒子之间不可分辨，而处于不同量子状态的粒子之间是可分辨的。

两粒子是否可分辨（全同）与它们是否状态相同没有关系吧？

引用:

原帖由 季候风 于 2008-6-28 13:15 发表
blackhole 的例子里， $|n_0> + |m_0m_1>$ , 如果 $n_0 = m_0+m_1 = N$ , 那么两项都属于 $H^{\otimes N}$ , 都代表有 N 个粒子的态，其和还属于 $H^{\otimes N}$ ；如果 $n_0 \neq m_0+m_1$ , 那么它们的和是形式和，仍然有意义，由叠加原理，系统可能有 $n_0$ 个粒子，也可能有 $m_0+m_1$ 个粒子。

正确。

[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-6-28 15:58 编辑 ]

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29^# 大中小发表于 2008-6-28 18:01 只看该作者

所以，在量子力学（而不是量子场论）中，“粒子数算符”的说法应该不太确切，称为“量子数算符”更好些。因为在单谐振子模型的量子力学中，从头到尾都只有一个“粒子”，但允许有多个“量子”。
--------------------------------------------------
你这个说法是不准确的。可能这跟我在前面说“量子场可看作是谐振子的集合”引起误解有关（尽管此种说法教材上很常见）。我这句话的真实含义是：量子场，是类似声子场那样的东西。声子是简谐振子激发的能量量子。尽管我们分析的简谐振子只有一个，但是简谐振子产生的声子不止一个，而且如果振子存在多种不同的振动模式，则会产生不同模式的声子。光子则是电磁天线（可以分解为简谐振动的电磁源）激发产生的能量量子。既然电磁能量量子对应物理世界中的实际粒子——光子，这种量子数当然也是粒子数。而一般地，比如自旋量子数，就不是粒子数。只有能量量子数才对应粒子数。另一方面，凝聚态物理中，一些相互作用集体合作效应产生的能量量子，即元激发，属于准粒子，因为它们不满足Einstein色散关系，此时能量量子数对应准粒子数。

我前面说过，简谐振子的量子力学描述，既可以用一次量子化方法，也可以用二次量子化方法，因此量子谐振子常常既是量子力学中的教学案例，又是给工科学生讲述电磁场量子化时的教学案例（先讲二次量子化方法下简谐振子运动的量子化，再类似地给出电磁场的量子化理论，此时场方程变成简谐振子方程）。因为无法跟工科学生讲述严格的场量子化理论，那些预备知识他们都没有学过。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-28 18:16 编辑 ]

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北落师门

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30^# 大中小发表于 2008-6-28 18:03 只看该作者

有什么特别的理由需要考虑多种自由全同粒子（即多个振子）共同存在的状态吗？

好像弦的一次量子化需要，我记得Virasoro算符用无穷多模式的产生湮灭算符表示出来。

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星空浩淼

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31^# 大中小发表于 2008-6-28 18:20 只看该作者

引用:

原帖由 北落师门 于 2008-6-28 18:03 发表
有什么特别的理由需要考虑多种自由全同粒子（即多个振子）共同存在的状态吗？

见我25楼和29楼的回答
比如在激光物理中，常常需要考虑激光所处的模式

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轩轩

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32^# 大中小发表于 2008-6-28 18:42 只看该作者

粒子数算符和相位算符不对易，因此二者不能同时测准，存在Heisenberg测不准关系。

我昨天看量子光学的书也看到这里产生一个民科的问题: 何以先验地知道粒子数算子和相位算子是dual的呢?

[ 本帖最后由轩轩于 2008-6-28 18:59 编辑 ]

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33^# 大中小发表于 2008-6-28 19:40 只看该作者

何以先验地知道，粒子数算子和相位算子是dual的呢?
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这个问题一点也不民科，毕竟很不直观（顺便说一句，共轭的英文单词有conjugate和adjoint，但好像没有用对偶dual来描述的）。

在量子力学中，量子化过程是把经典的Poisson括号{，}换成量子对易括号[，]/ih，其中i是虚数单位，这里用h表示除以2π之后的Planck常数，为方便计后来用自然单位制：h=c=1。在分析力学中，作正则变换之后的可积系统会有作用变量J和它的共轭角变量φ（广义坐标－动量对），它们满足Poisson括号{J，φ}＝1（满足这个方程可以看作是对正则共轭对的定义）。在进行量子化时，作用变量J量子化为粒子数算符N，角变量量子化为相位算符Φ，正好它们也满足量子力学对易关系：[N, Φ]=i，这就是粒子数算符和相位算符构成canonically conjugate pair的物理背景。更为具体的，只有靠自己去翻书了解了。

值得一提的是，由于角度或者相位取值范围是0到2π，而且粒子数算符是一个非负定的算符（即其本征值非负），而不是从负无穷到正无穷，这使得直接把相位算符Φ对应量子力学中的力学量时，存在严重的问题，会导致一些矛盾。对此问题的解决方案，存在许多争论。比如有人利用量子代数的循环表示来解决这个问题。在量子光学中，为了避免这个问题，通常取cosΦ或者sinΦ、而不是Φ本身，作为相位算符

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-28 22:27 编辑 ]

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blackhole 威望 +2 原来如此！ 2008-6-28 20:21

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blackhole

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34^# 大中小发表于 2008-6-28 19:40 只看该作者

回复 29# 的帖子

你的意见我同意。可能是我说法不准确，但又似乎找不到更准确的说法。我所谓的“量子数算符”的意思是“量子的数目对应的算符”，就像“粒子数算符”是指“粒子的数目对应的算符”一样，而不是“角量子数”、“磁量子数”、“好量子数”等意义。我紧接该句说，从头到尾只有一个“粒子”，但允许有多个“量子”，就是这个意思。
当然，如果在量子场论中，一个声子（量子），同时也可视为是一个粒子，此时“粒子数算符”就符合其本意了。

尽管我们分析的简谐振子只有一个，但是简谐振子产生的声子不止一个，而且如果振子存在多种不同的振动模式，则会产生不同模式的声子。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
如果谐振子只有一个，那么就只会有一种模式。谐振子或模式唯一地由其圆频率所确定。比如你接下来谈的谐振子的二次量子化，其中就只有一种模式（一个谐振子），所以才不需要角标来区分各种产生、湮灭算符。

[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-6-28 19:45 编辑 ]

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星空浩淼

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35^# 大中小发表于 2008-6-28 19:45 只看该作者

如果谐振子只有一个，那么就只会有一种模式。谐振子或模式唯一地由其圆频率所确定。比如你接下来谈的谐振子的二次量子化，其中就只有一种模式（一个谐振子），所以才不需要角标来区分各种产生、湮灭算符。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
你说得对

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轩轩

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36^# 大中小发表于 2008-6-28 19:57 只看该作者

在进行量子化时，作用变量J量子化为粒子数算符N，角变量量子化为相位算符Φ，

谢谢

PS 多日不做物理脑子已经坏掉我刚一开始是写"共轭" 后来突然觉得这个词似乎不对想起了"复共轭" 我把fourier共轭称为对偶 dual 变量

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北落师门

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37^# 大中小发表于 2008-6-28 20:47 只看该作者

随便想了一下，不计量纲（单位），通常的产生湮灭算符满足 $[a,a^+]=1$ ,如果做一个转动 $b=a\exp(i\theta)$ ,假定角度是个数，或者是与产生湮灭算符对易的算符，那么新的算符还是满足 $[b,b^+]=1$ .这就有个相位不确定性，
通常的产生湮灭算符取相位是零。如果不对易的话，转动的形式我想是 $b=\exp(-i\theta)a\exp(i\theta)$ , $b^+=\exp(-i\theta)a^+\exp(i\theta)$ ,还是满足 $[b,b^+]=1$ .不过粒子数算符变换为 $N'=\exp(-i\theta)N\exp(i\theta)$ .

[ 本帖最后由北落师门于 2008-6-28 21:18 编辑 ]

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星空浩淼

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38^# 大中小发表于 2008-6-28 22:29 只看该作者

师门兄数学推导方面比较厉害

搞学术如同练钢琴，丢下太久，容易忘记生疏。所以坚持写书，是防止生锈的好办法
D. Bohm当年无所事事，觉得自己熟悉量子力学。后来有人告诉他：弄通一门学问，就是写书。结果他写了量子力学（成为经典教材），写完之后，他觉得自己不懂量子力学了。于是他出了一些成果，让量子力学基础之争，由哲学变成物理，并且对后来的量子信息与量子计算科学发展起了间接或直接的推动作用。
——所以说，从懂量子力学到不懂量子力学，这是一种进步

，是一种螺旋式的上升过程
有人觉得D. Bohm应该能获诺贝尔奖。但如今他早已去世，谈论这个没有意义。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-28 22:37 编辑 ]

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轩轩

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39^# 大中小发表于 2008-6-29 06:51 只看该作者

这个故事很激励人

我要写书

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北落师门

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40^# 大中小发表于 2008-6-29 09:01 只看该作者

回复 38# 的帖子

上次开教育会议，行长也来了，听报告时候我坐在他旁边，我注意了一下，会议大部分时间，他在日常安排表上面推演几个矩阵公式，要么就是打瞌睡。老一辈的推理功底是很雄厚的，值得学习。

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量子场论 某种粒子的产生和湮灭时，要确定是那种量子状态的粒子在产生或湮灭，因此表达产生算符和湮灭算符的符号

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